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自然數(shù)的幾何解析

貴州省凱里市第一中等職業(yè)學(xué)校吳志海

在數(shù)論中，研究素?cái)?shù)的分布規(guī)律及檢驗(yàn)方法依然是熱點(diǎn)問題，許多數(shù)學(xué)工作者曾試圖通過不同方式或用各種方法建立起素?cái)?shù)模型或鑒別方程，但建模大多采用歸納法，而且是不完全歸納法，以至于對素?cái)?shù)模型的普適性檢驗(yàn)難于建立模型。由于素?cái)?shù)分布不具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律，所以用統(tǒng)計(jì)方法研究素?cái)?shù)分布函數(shù)或素?cái)?shù)模型已行不通。因此，從正整數(shù)全局出發(fā)研究素?cái)?shù)或奇素?cái)?shù)，抑或全部正整數(shù)深層本質(zhì)的其他表現(xiàn)形式，或許能從普遍規(guī)律中發(fā)現(xiàn)更普遍的規(guī)律。

研究表明，家喻戶曉的素?cái)?shù)難題哥德巴赫猜想不純粹是關(guān)于素?cái)?shù)的問題，而是全部正整數(shù)之間相互關(guān)系的問題?；谶@個(gè)認(rèn)識(shí)，本文則從正整數(shù)的全局出發(fā)，對正整數(shù)進(jìn)行幾何化處理，以幾何原理來反映正整數(shù)的性質(zhì)，并通過平面坐標(biāo)來研究正整數(shù)中各類數(shù)之間的關(guān)系。同時(shí)基于正整數(shù)的幾何特征，根據(jù)分形幾何原理把哥德巴赫猜想“1+1”的問題轉(zhuǎn)換成“2-1”的問題，從而對哥德巴赫猜想的原題進(jìn)行證明（即證明猜想的正確性，哥德巴赫猜想的方程化方法證明有賴于建立普適的奇素?cái)?shù)模型）。

一、正整數(shù)分類

目前許多數(shù)論文獻(xiàn)都把正整數(shù)分為奇數(shù)與偶數(shù)和素?cái)?shù)與合數(shù)。經(jīng)分析，正整數(shù)中1和2具有其特殊性：1是奇數(shù)但不是素?cái)?shù)，2既是偶數(shù)又是素?cái)?shù)。把1和2除外，其他數(shù)則可以分為三類：奇素?cái)?shù)、偶合數(shù)和奇合數(shù)。由于1和2有其特殊性和雙重性，而其他三類數(shù)卻具有單一普遍性性質(zhì)，故在研究素?cái)?shù)時(shí)，1和2干擾了對素?cái)?shù)與偶數(shù)之間關(guān)系的研究。況且，哥德巴赫猜想也就是關(guān)于奇素?cái)?shù)與偶合數(shù)之間的關(guān)系的問題。所以，應(yīng)該把正整數(shù)分為1、2、奇素?cái)?shù)、奇合數(shù)和偶合數(shù)［1］。

二、正整數(shù)的幾何形及坐標(biāo)表示

上文已對正整數(shù)進(jìn)行了分類，正整數(shù)的分類及其鑒別是基于它們的運(yùn)算關(guān)系。實(shí)際上，數(shù)的概念源于有形物體的抽象。再回歸到自然數(shù)的本質(zhì)，從數(shù)與形的相互聯(lián)系出發(fā)，結(jié)合平面坐標(biāo)與圖形面積的關(guān)系，賦予正整數(shù)以幾何形的表現(xiàn)形式，這樣就可以通過正整數(shù)的幾何特征形象地反映正整數(shù)的性質(zhì)。

根據(jù)正整數(shù)單位為1的特點(diǎn)，那么，所有正整數(shù)的幾何形則由各邊長為1、面積為1的立方形堆積而成［2］，如圖1所示。

圖1

一定數(shù)量的方格子在平面上的堆積就形成具有某一形狀的幾何形方格子陣，即正整數(shù)的幾何化。由于方格子的堆積的面積與數(shù)的量具有對應(yīng)關(guān)系，故可以用坐標(biāo)來表示正整數(shù)。由于偶合數(shù)可以表示為2MN，奇合數(shù)可以表示為（2n+1）（2m+1），其中M，N，m，n為任意正整數(shù)，所以，偶合數(shù)的坐標(biāo)則表示為（2M，N）或者（M，2N），奇合數(shù)的坐標(biāo)表示為（2m+1，2n+1），如圖2所示。由于方格子在二維方向上無論怎樣堆積，奇素?cái)?shù)不可能排列成矩形狀，故奇素?cái)?shù)沒有坐標(biāo)表示。

圖2

三、正整數(shù)的幾何特征

方格子堆積時(shí)，方格子陣表現(xiàn)出其獨(dú)特的幾何特征。由正整數(shù)的幾何形及坐標(biāo)表示可知，偶合數(shù)和奇合數(shù)的幾何化形狀具有矩形的特征，并且偶合數(shù)的幾何形還具有對稱性，如圖2所示。因奇素?cái)?shù)不能用坐標(biāo)表示，其幾何形則具有非矩形的特征。除1和2的幾何形以外，其他正整數(shù)的幾何形對應(yīng)的幾何特征如下：（1）對稱矩形——偶合數(shù)；（2）非對稱矩形——奇合數(shù)；（3）非矩形——奇素?cái)?shù)。所以，可以把偶數(shù)的幾何形稱為對稱矩形，奇合數(shù)的幾何形稱為非對稱矩形，奇素?cái)?shù)的幾何形則稱為非矩形。

四、正整數(shù)的加減運(yùn)算幾何描述

基于正整數(shù)的幾何特征，對某一圖形進(jìn)行拆分和組合，就是正整數(shù)加減運(yùn)算關(guān)系的幾何化描述，即正整數(shù)之間的運(yùn)算關(guān)系與格子圖形的拆分、組合相對應(yīng)，如圖3所示。下面就來討論上文所定義的對稱矩形、非對稱矩形和非矩形之間的關(guān)系。

圖3

從分形理論可知［3］，如果從某一對稱矩形中分解出一個(gè)非矩形，余下的部分可能是非矩形，或者是非對稱矩形。那么，可以得到這樣的推論：對稱矩形是可以分解出多個(gè)不同的非矩形或非對稱矩形。

五、奇合數(shù)與奇素?cái)?shù)之間的關(guān)系

由上述可知，對稱矩形可以分解為不同的非對稱矩形或非矩形。那對稱矩形能分解出幾種不同的非對稱矩形或非矩形呢？即對于任一偶合數(shù)，其所包含的奇素?cái)?shù)個(gè)數(shù)或奇合數(shù)個(gè)數(shù)有多少。下面就來討論偶合數(shù)中奇合數(shù)與奇素?cái)?shù)的關(guān)系：

當(dāng)偶合數(shù)2MN≥6時(shí)，由坐標(biāo)表示可知，有N≥3，M≥1或者M(jìn)≥3，N≥1。對于偶合數(shù)2MN，其包含大于1的奇數(shù)個(gè)數(shù)為：j=MN-1［4］。在不考慮奇合數(shù)有重復(fù)的情況下【根據(jù)坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，奇合數(shù)可表示為（2m+1，2n+1）或者（2n+1，2m+1），雖然坐標(biāo)表示不同，但卻是相同的奇合數(shù)，所以就有重復(fù)的可能】，偶合數(shù)（2M，N）所包含的奇合數(shù)個(gè)數(shù)為：

其中h1、h2的表達(dá)式是包含重復(fù)的奇合數(shù)，在不考慮奇合數(shù)重復(fù)時(shí)，則偶合數(shù)（2M，N）包含素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)為：

分別比較s1與h1，s2與h2。假設(shè)：N為偶數(shù)時(shí)，s1＞h1；N為奇數(shù)時(shí)，s1＞h1，即

式（1）等價(jià)于：MN+2M+N＞MN-2M-N+6……（3）

式（2）等價(jià)于：MN+M+N＞MN-M-N+4………（4）

在2MN≥6的條件下，不等式（3）（4）成立，故假設(shè)成立，即s1＞h1，s1＞h1。

綜合以上證明，可得出這樣的結(jié)論：任一大于等于6的偶數(shù)包含的奇素?cái)?shù)大于奇合數(shù)，即s＞h。如果在考慮奇合數(shù)的重復(fù)的情況下，假設(shè)重復(fù)數(shù)為H，那么偶合數(shù)所包含的奇合數(shù)的個(gè)數(shù)為：=h-H，偶合數(shù)所包含奇素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)則為：。由于s＞h，所以。這也就證明了任意大于等于6的偶合數(shù)所包含的奇素?cái)?shù)多于奇合數(shù)。

由前文可知，從一個(gè)對稱矩形里分解出一個(gè)非矩形后，余下部分有可能是非矩形或者是非對稱矩形。由于已證，并在2MN≥6的條件下，-1＞同樣成立，所以，對于方格子數(shù)大于等于6的對稱矩形任意分解出一個(gè)非矩形后，余下部分必有非矩形，即對稱矩形必能分解出兩個(gè)非矩形。反之，對稱矩形必能由兩個(gè)非矩形組合而成。

因此，本文的“2-1”的分形原理間接地證明了哥德巴赫猜想“1+1”的原命題。

［1］宋樹魁，宋昊.破解素?cái)?shù)奧秘：哥德巴赫猜想原題的證明［M］.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2008.

［2］Pappas，T.李中譯.數(shù)學(xué)還是這么有趣［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2008.

［3］沙震，阮火軍.分形與擬合［M］.杭州：浙江大學(xué)出版社，2005（3）.

［4］G.H.Hardy，E.M.Wright.張明堯，張凡 譯.數(shù)論導(dǎo)引［M］..北京：人民郵電出版社，2008.