朱周華

(西安科技大學 通信與信息工程學院, 陜西 西安　710054)

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“現(xiàn)代信號處理”課程中功率譜估計的實驗設計

朱周華

(西安科技大學 通信與信息工程學院, 陜西 西安710054)

針對“現(xiàn)代信號處理”中功率譜估計學習困難的問題,設計并實現(xiàn)了功率譜估計的綜合實驗,包括經典譜估計和現(xiàn)代譜估計的各種方法。實驗設計使學生能更好地理解和掌握本章節(jié)的基本理論,并能提高學生的應用能力,實踐表明,該實驗在課程的實驗教學中取得了良好的教學效果。

功率譜估計； 綜合實驗； 實驗設計

“現(xiàn)代信號處理”是信號處理學科高年級或者研究生一年級重要的一門專業(yè)課程。隨著學科之間的交叉與融合,“現(xiàn)代信號處理”課程已經滲透到現(xiàn)代通信和雷達工程以及控制科學與工程等學科,并促進和帶動其發(fā)展與進步。功率譜估計是“現(xiàn)代信號處理”課程中很重要的一章,在生物醫(yī)學信號、雷達信號等領域中有著廣泛的應用[1],其理論知識和算法繁雜、公式繁多,學生掌握起來有一定的困難。本文針對上述問題設計了綜合實驗,包括經典譜估計和現(xiàn)代譜估計的各種方法,并制作了良好的界面,可以深刻、直觀地理解各種方法的優(yōu)缺點。實踐表明,該實驗設計對增加學生的感性認識、理解譜估計的理論、掌握各種算法、提高學習興趣能起到積極的作用。

1　經典譜估計

經典譜估計方法包括周期圖法、BT法以及周期圖改進算法(Bartlett和Welch法)[1-2]。

1.1周期圖法

(1)

1.2BT法

(2)

其中

(3)

1.3改進的周期圖法

改進的周期圖法[3]的主要思想是把一長度為N的數(shù)據(jù)x(n)分成L段,分別求每段的功率譜,然后再加以平均,最終達到希望的目的，改進的有效的估計值。主要方法有:Bartlett法和Welch法。

1.3.1Bartlett法

Bartlett法[3-4]是先把序列x(n)分成L段,然后計算每組觀測數(shù)據(jù)的周期圖,最后將每組的周期圖求和,再進行平均作為功率譜的估計。

假設xi(n),i=1,2,…,L為隨機過程x(n)的L個互不相關的實現(xiàn),且每個xi(n)的長度為M,即n=0,1,…,M-1。

這樣,xi(n)的周期圖為

(4)

將得到的L個周期圖進行平均,作為功率譜估計,即

(5)

1.3.2Welch法譜估計

Welch法[5-6]對Bartlett法進行了2點改進。首先,Welch法將x(n)的分段方法進行了改進,它允許每一段的數(shù)據(jù)與相鄰的數(shù)據(jù)段可以有一定的重疊。其次,每一段的數(shù)據(jù)加窗可以不是矩形窗,如漢明窗和布萊克曼窗,這樣可以改善矩形窗旁瓣較大引起的譜失真。

(6)

U是歸一化因子,使用它是為了保證所得到的譜是漸近無偏估計

故Welch法譜估計的表達式為

(7)

對以上方法采用Matlab編程可以看到仿真結果，如圖1所示。

圖1　經典譜估計算法仿真結果圖

從圖1中4種估計方法的功率譜圖,很明顯可以看到直接法效果最差,而Welch法效果最好。

2　現(xiàn)代譜估計

現(xiàn)代譜估計的內容十分豐富,主要有AR模型法、MA模型法、ARMA模型法、PRONY指數(shù)模型法等參數(shù)模型法以及最小方差法、多信號分類MUSIC法等非參數(shù)模型[7-8]。在這里,主要設計了關于AR模型法的3種方法的功率譜估計。

2.1AR模型

AR模型[8]又稱為自回歸模型,該模型現(xiàn)在的輸出是現(xiàn)在的輸入和過去p個輸出的加權和,它是一個全極點模型。該模型現(xiàn)在的輸出是現(xiàn)在的輸入和過去p個輸出的加權和,時域模型、系統(tǒng)函數(shù)以及功率譜公式如(8)(9)(10)所示。

(8)

(9)

(10)

從公式(10)可以知道,AR模型為基礎的功率譜估計就必須指導模型階次p和p個AR系數(shù)以及模型激勵源的方差σ2,而將這些參數(shù)和自相關函數(shù)聯(lián)系起來的就是Yule-Walker方程。

2.2Levinson-Durbin遞推算法求解AR模型參數(shù)

Levinson-Durbin遞推算法[8]是一種比較快速求解Yule-Walker方程的遞推算法,其基本方法是依據(jù)Yule-Walker方程和自相關序列的遞推性,逐次增加模型的階數(shù)進行遞推計算。當?shù)鸵浑A的AR模型系數(shù)已知時,可由遞推來得到高一階的AR模型參數(shù)。先計算m=1時的預測系數(shù)a1(1)和ρ1,然后計算m=2時的預測系數(shù)a2(1),a2(2)和ρ2,一直計算到m=p階的預測系數(shù)aP(1),aP(2),……,aP(P)和ρp。當計算滿足要求時就可以停止遞推。

Levinson-Durbin遞推算法如下:

(11)

(12)

(13)

從上面3個算法公式可知,運用Levinson-Durbin算法時,需要知道自相關函數(shù),同時還需要給定初始值以及AR模型的階數(shù)p,實際應用中,常需根據(jù)信號的有限個取樣值來估計AR模型的參數(shù),應用的最多的有3種方法:自相關法、Burg法、協(xié)方差法[9]。

2.2.1自相關算法

自相關法是求解AR模型參數(shù)最簡單的一種方法,其出發(fā)點是選擇AR模型的參數(shù)使其前向預測誤差的功率最小。然后再由Lenvison-Durbin算法來解的AR模型的參數(shù),最后將求得的參數(shù)代入AR模型信號的功率譜表達式(10),求出功率譜。

2.2.2Burg法

自相關法需要先由觀測數(shù)據(jù)估計出自相關函數(shù),Burg算法不需要對自相關函數(shù)估計,直接用前后向線性預測系數(shù)的遞推關系,求出反射系數(shù),再由之前的遞推算法求得AR模型參數(shù)。由于Burg算法避免了估計自相關函數(shù),使得其短數(shù)據(jù)的譜估計比自相關法要精確。

2.2.3改進的協(xié)方差法

改進的協(xié)方差法是令前后預測誤差功率之和為最小來估計出AR模型參數(shù),進而求得估計信號的功率譜。改進的協(xié)方差法除了計算協(xié)方差系數(shù)cxx(j,k)不同外,也不可用Levinsion遞推算法求解,改進的協(xié)方差法適合估計正弦波頻率。雖然能夠得到高分辨率且統(tǒng)計穩(wěn)定的譜估計,但計算較麻煩,編程也較困難[9]。

對以上方法采用Matlab編程仿真,可得到如圖2所示的結果。由圖2結果可知,Burg算法比自相關算法有著較好的分辨率。改進協(xié)方差法的分辨率要優(yōu)于自相關法,能夠有效地估計正弦信號。

圖2　現(xiàn)代譜估計算法仿真結果圖

3　界面設計

為了讓學生在實驗中掌握界面設計的方法,更好地對比各種方法的性能,對經典譜估計和現(xiàn)代譜估計利用Matlab中的GUI功能可設計界面[10-11]圖3、圖4所示，分別為經典譜的估計算法比較和現(xiàn)代譜估計中AR的3種方法比較的界面設計。

在圖3中,上面坐標軸顯示加有高斯白噪聲的正弦信號時域圖,下面坐標軸顯示經典譜估計中周期圖法、BT法和Welch法的功率譜圖形的比較,可以明顯看到,Welch法的分辨率要優(yōu)于其他2種方法,在圖4中,也可以看到協(xié)方差法明顯優(yōu)于其他方法。

圖3　經典譜估計法比較

圖4　AR譜估計法比較

4　結語

綜上所述,通過對功率譜估計算法的學習,利用Matlab及其GUI功能所設計并實現(xiàn)各種算法的功率譜估計并加以比較,可以很清晰明了地看到算法的分辨率高低及其方差的大小,這樣在具體實踐中就可以選擇合適的算法[12],使學生有效地將理論與實踐結合在一起,激發(fā)了學生的學習興趣和學習動力,為后面相關方向的研究奠定堅實的理論基礎。

References)

[1] 姚天任,孫洪.現(xiàn)代信號處理[ M] .武漢:華中科技大學出版社,1999.

[2] John G Proakis,Dimitris G Manolakis.數(shù)字信號處理:原理、算法與應用[M].3 版.張曉林,譯.北京:電子工業(yè)出版社,2004.

[3] 沈捷,王莉.數(shù)字信號處理教學實驗軟件包的GUI設計與實現(xiàn)[J].實驗技術與管理,2008,25(2):88-91.

[4] 張賢達.現(xiàn)代信號處理[ M] .北京:清華大學出版社,1995.

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[6] 沈鳳麟,葉中付,錢玉美.信號統(tǒng)計分析與處理[ M] .合肥:中國科技大學出版社,2002.

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[10] 張佳明,馬秀榮.非參數(shù)模型譜估計算法性能比較J].天津理工大學學報,2009,25(4):19-22.

[11] KAY S M.Modem spectral estimation:theory and application[M]. NJ:Prentice Hall,1998.

[13] Laguna Moody Mark. Power spectral density of unevenly sampled Heart rate data[J].Digital Object Identifier,2002,1(2):157-159.

Experimental design of power spectrum estimation in Modern Signal Processing course

Zhu Zhouhua

(School of Communication and Information Engineering ,Xi’an University of Science and Technology, Xi’an 710054, China)

Aiming at the problem of learning difficulties on the power spectrum estimation in the Modern Signal Processing course, the experiment of spectrum estimation is designed and realized. It includes classical spectral estimation and modern spectral estimation methods. The design of experimental enables students to better understand and master the basic theory of this chapter,and can improve the students’ application ability. The practice shows that the experiments have a good effect in the teaching of the course.

power spectrum estimation; comprehensive experiment; experimental design

10.16791/j.cnki.sjg.2016.09.047

2016-03-10

省級質量工程“電子信息工程專業(yè)綜合改革試點項目”(陜教高[2014]15號)；西安科技大學2013年度校級研究生精品課程項目“數(shù)字信號處理(2)”(7305002)

朱周華,(1976—),女,陜西蒲城,碩士,副教授,碩士生導師,主要研究方向為信號處理及實現(xiàn).

E-mail：zhuzhouhua@xust.edu.cn

TN911.72

A

1002-4956(2016)9-0178-04