歐陽成，汪維剛，石蘭芳，莫嘉琪（.湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江湖州000；.桐城師范高等?？茖W(xué)校理工系，安徽桐城0；.南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇南京00；.安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，安徽蕪湖00）

一類廣義非線性Schr¨odinger擾動(dòng)方程的泛函漸近解法

歐陽成1，汪維剛2，石蘭芳3，莫嘉琪4
（1.湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江湖州313000；2.桐城師范高等?？茖W(xué)校理工系，安徽桐城231402；3.南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇南京210044；4.安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，安徽蕪湖241003）

研究了一類非線性Schr¨odinger擾動(dòng)耦合系統(tǒng).利用近似解相關(guān)聯(lián)的特殊方法，首先討論了對應(yīng)的線性系統(tǒng)，并得到了其精確解.再利用泛函迭代的方法得到了非線性Schr¨odinger擾動(dòng)耦合系統(tǒng)的泛函漸近解析解.這個(gè)漸近解是一個(gè)解析式，還可對它進(jìn)行解析運(yùn)算.這對使用簡單的模擬方法得到的近似解是達(dá)不到的.

非線性方程；耦合系統(tǒng)；近似解

1　引言

眾所周知，非線性Schr¨odinger方程在凝聚態(tài)物理，量子物理，流體力學(xué)，光學(xué)等領(lǐng)域中有很廣泛的研究.其求解的方法不斷地在改進(jìn)和創(chuàng)新.很多學(xué)者做了許多工作［1-5］.目前，用近似解析方法就是一個(gè)新的求解的方法.它改變了單純用數(shù)值模擬來求解的性態(tài)，而是由解析理論方法得到解的近似表達(dá)式.它的好處是可以由近似表達(dá)的解析式進(jìn)一步通過解析運(yùn)算來對解的性態(tài)作更深入的研討［6-7］.目前許多近似解析方法在發(fā)展，包括平均法，合成展開發(fā)，邊界層法，匹配法，同倫映射法和多重尺度法等等［8-11］.作者等也用近似解析方法討論了一些非線性方程的問題［12-23］.因?yàn)楣鈧鞑r(shí)具有波，粒二重性，Schr¨odinger方程就是這類光學(xué)模型之一.非線性Schr¨odinger方程已經(jīng)被廣泛應(yīng)用在現(xiàn)代光通信技術(shù)中.而光通信的理論就是涉及光的傳播.它具有廣泛的研究背景和前景.本文是利用一種改進(jìn)的泛函迭代近似解析方法研究了一類廣義Schr¨odinger擾動(dòng)耦合模型.

考慮如下一類廣義非線性Schr¨odinger擾動(dòng)耦合模型：

其中u（x，t），v（x，t）為對應(yīng)系統(tǒng)的物理場函數(shù)；ai，bj（i=1，2，3，j=1，2）為對應(yīng)物理量的加權(quán)參數(shù)；f.g為物理場函數(shù)的擾動(dòng)項(xiàng)，hi（i=1，2，3）為場函數(shù)的初始函數(shù)，它們是在相應(yīng)的變化范圍內(nèi)的充分光滑的函數(shù).本系統(tǒng)代表了一類光導(dǎo)纖維中光傳播并具有受到場函數(shù)的速率非線性擾動(dòng)廣義傳播系統(tǒng)的模型.馬松華等［24］研究了該系統(tǒng)脈沖解，飛秒孤波的激勵(lì)，以及討論了傳播解間的彈性相互作用.其詳細(xì)物理背景參見文獻(xiàn)［24-25］.現(xiàn)用一個(gè)簡單而有效的解析方法來求得廣義Schr¨odinger擾動(dòng)耦合模型（1）-（3）的近似解析解.

2　無擾動(dòng)耦合系統(tǒng)

先考慮如下對應(yīng)的無擾動(dòng)情形簡單的耦合系統(tǒng)

并滿足初始條件（3）的解.顯然，（4），（5）的解為

于是問題（3）-（5）的解為

作為一個(gè)特殊情形，由（1）-（3）式，當(dāng)ai=bj=1（i=1，2，3，j=1，2），h1=sin t，h2=h3= 0時(shí)，由（6），（7）式得到的問題（3）-（5）的場函數(shù)u（x，t），v（x，t）的曲面圖形分別由圖1和圖2所示.

圖1　問題（3）-（5）的場函數(shù)的曲面圖

圖2　問題（3）-（5）的函數(shù)的曲面圖

3　構(gòu)造非線性擾動(dòng)模型漸近解的迭代式

由于非線性耦合模型（1）-（3）一般不能得到有限項(xiàng)初等函數(shù)形式的精確解.因此需要求出非線性擾動(dòng)Schr¨odinger耦合模型（1）-（3）解的近似表示式.

為了求得廣義非線性Schr¨odinger擾動(dòng)耦合模型（1）-（3）的近似解.現(xiàn)構(gòu)造如下泛函F［u］∈C1（R）：

在（9）式中，令δF=0.可得到Lagrange乘子應(yīng)滿足的關(guān)系式：

由（10）式，不難得到：

由（8），（11）式，現(xiàn)構(gòu)造如下的漸近解的廣義迭代式：

其中（13）式的un由（12）式表示.由漸近解的廣義泛函迭代式（12）和（13）式，并適當(dāng)選取初始迭代u0，v0，便可依次地得到廣義非線性耦合模型（1）-（3）的任意次近似解.

4　擾動(dòng)耦合模型的泛函漸近解

首先選取（1）-（3）相關(guān)的線性齊次問題（3）-（5）的解（6），（7）為漸近解的泛函迭代式（12），（13）的初始迭代u0，v0.即

由漸近解的泛函迭代（12）和（13）式，可以得到廣義非線性Schr¨odinger擾動(dòng)耦合模型（1）-（3）的一次泛函迭代解u1app，v1app：

其中u0，v0由（14），（15）式表示，（17）式中的u1app由（16）式表示.

繼續(xù)由漸近解的泛函迭代（12）和（13）式，可以得到廣義非線性Schr¨odinger擾動(dòng)耦合模型（1）-（3）的二次泛函迭代解u2app，v2app：

其中u1app，v1app由（14）-（17）式表示，（19）式中的u2app由（18）式表示.

同樣，由（12）和（13）式，可以依次得到廣義非線性Sch r¨od inger擾動(dòng)耦合模型（1）-（3）的各次泛函迭代解unapp，vnapp.

可以用泛函分析和不動(dòng)點(diǎn)理論證明［26-27］，由上述得到的近似解析函數(shù)序列｛unapp，vnapp｝在自變量的有限區(qū)域范圍內(nèi)是一致收斂的.

設(shè)

將（12）和（13）式兩邊取極限n→∞，顯然，由（20）式確定的極限函數(shù)（u（x，t），v（x，t））就是廣義非線性Schr¨odinger擾動(dòng)耦合模型（1）-（3）的一組精確解（uexa（x，t），vexa（x，t））.因而，

就是擾動(dòng)方程模型（1）-（3）對應(yīng)精確解（uexa（x，t），vexa（x，t））的n次泛函近似解析解.

5　舉例

為簡單起見，考慮一個(gè)特殊的非線性Sch r¨od inger擾動(dòng)耦合模型，其系數(shù)為ai=bi=1（i= 1，2），a3=ε，h1=sin t，h2=h3=0，f=εu2，g=0，其中ε為正的小參數(shù).這時(shí)由模型（1）-（3）得到的廣義非線性Schr¨odinger擾動(dòng)耦合模型為

采用漸近解的廣義迭代方法來求廣義非線性Schr¨odinger擾動(dòng)耦合模型（21）-（23）的近似解析解.由（14），（15）式得到初始迭代：

再由（16），（17）式可得廣義非線性Schr¨odinger擾動(dòng)耦合模型（21）-（23）的一次近似解u1app，v1app：

圖3　問題（21）-（23）的場函數(shù)u（x，t）

圖4　問題（21）-（23）的場函數(shù)v（x，t）

由（26）式，并取t=2以及ε=0.5和ε=0.05，可以用模擬的方法畫出場函數(shù)的近似解析式u1app和精確式uexa的曲線比較圖形（參見圖3，圖4）.又從圖3-4看出，用廣義泛函漸“接近”而且隨參數(shù)ε越小，近似程度就越高.同樣，場函數(shù)v也有相同的情形.

繼續(xù)地，由（18）-（19）式可以得到廣義非線性Schr¨odinger擾動(dòng)耦合模型（21）-（23）的二次泛函近似解u2app，v ：

其中u1app，v1app由（26），（27）表示，（29）式中的u2app由（28）式表示.

同樣，由漸近解的廣義泛函迭代（12）和（13）式，可以依次得到廣義非線性Schr¨odinger擾動(dòng)耦合模型（21）-（23）的各次泛函近似解unapp，vnapp（n=3，4，···）.

又因?yàn)閺V義非線性Schr¨odinger擾動(dòng)耦合模型（21）-（23）的ε為正的小參數(shù)，所以還能用攝動(dòng)理論以及不動(dòng)點(diǎn)定理證明，非線性Schr¨odinger擾動(dòng)耦合模型（21）-（23）的第n次攝動(dòng)漸近解有如下的估計(jì)式

因此，利用本文提出的近似方法得到的近似解從上述側(cè)面來看，也具有較好的精確度.

6　廣義泛函迭代方法討論

用廣義泛函迭代方法來求非線性方程的物理問題的近似解析解是當(dāng)前發(fā)展起來的一種方法，其方法和理論還在不斷的創(chuàng)新中.本文就是在經(jīng)過改進(jìn)的方法上來討論廣義非線性Schrodinger模型，并取得了良好的結(jié)果.

本方法得到的是用數(shù)學(xué)解析式來表述對應(yīng)模型的近似解，因而對所得的各次近似式還可以進(jìn)行微分，積分等解析運(yùn)算.所以它能得到與原未知函數(shù)有關(guān)物理量的近似表達(dá)式.然而，使用常規(guī)的龍格庫塔法，差分法，有限元法，模擬法等數(shù)值方法一般是不能的.特別，本廣義泛函迭代方法對于解具有突變型的特異性態(tài)的近似表達(dá)式能較簡便地得到.但使用傳統(tǒng)的數(shù)值解法，其運(yùn)算過程就比較煩雜，而且一些較古典的方法往往會(huì)對具有突變等性態(tài)的區(qū)域內(nèi)，諸如孤波，沖擊層，轉(zhuǎn)向點(diǎn)等的鄰域內(nèi)，其物理特性也往往會(huì)被忽略，因此在這些區(qū)域內(nèi)會(huì)有與真實(shí)解有較大地偏離.

對非線性物理問題，利用解析式來表達(dá)問題的解，近來已經(jīng)有一些研究，例如Jacobi橢圓函數(shù)法，雙曲函數(shù)展開法，修正的CK方法，非經(jīng)典李群方法，齊次平衡法等.這些方法在一定的場合下，能得到很好的結(jié)果.但是這些方法的求解，往往只使用于具體的特殊非線性方程.可求解的面受到一定的限制.然而，本文所涉及的廣義泛函迭代方法求近似解的面比較廣，它對方程的非線性項(xiàng)的表示式不必很具體.甚至是一般表示式也能通過本廣義泛函迭代的通式，得到相應(yīng)問題的各次泛函近似解析解.

此外，廣義泛函迭代方法還有一個(gè)與其它求近似解析解的方法不同的特點(diǎn)，就是廣義泛函迭代方法是建立在泛函分析的函數(shù)空間下進(jìn)行的，因此討論的對象無論是物理模型的結(jié)構(gòu)，還是近似解都是可在泛函分析的廣義函數(shù)空間意義下進(jìn)行的.在量子力學(xué)，彈性力學(xué)，熱力學(xué)，激波理論等等的物理學(xué)科中許多問題都涉及到廣義函數(shù)的概念，譬如”點(diǎn)源函數(shù)”就是在許多現(xiàn)代物理學(xué)科中出現(xiàn)的一個(gè)廣義函數(shù).

在本文中得到了廣義非線性Schr¨odinger擾動(dòng)耦合模型的近似解析解，是采用廣義泛函迭代方法與其它方法相結(jié)合的情況下得出的近似解.先用其它相應(yīng)的方法求出Schr¨odinger非線性方程的退化問題解，然后以此解析解為廣義泛函迭代關(guān)系式的初始近似，然后利用廣義泛函迭代式依次地得到各次泛函近似解析式.

同時(shí)，用廣義泛函迭代方法求解廣義Sch r¨od inger非線性擾動(dòng)耦合模型的近似解析解，在一定的意義下，還可以較快地得到近似解析解所要求的精度.例如，在本文的舉例中就說明了用廣義泛函迭代方法求解非線性擾動(dòng)耦合模型的泛函近似解析解具有良好的精度.

7　近似解析解的物理意義

用廣義泛函迭代方法求解廣義Schr¨odinger非線性擾動(dòng)耦合模型的泛函近似解析解及其得到的模擬圖，可以看出對應(yīng)系統(tǒng)的物理場函數(shù)的通量，峰值和其它有關(guān)的物理量的趨勢等性態(tài)，并且可以看出其結(jié)果符合實(shí)際情況的規(guī)律的程度.而且還可看出對應(yīng)系統(tǒng)的物理場函數(shù)其強(qiáng)度和其它有關(guān)參數(shù)，使得模型的物理場函數(shù)達(dá)到最佳狀態(tài).根據(jù)所述的分析和計(jì)算，以及用廣義解析的方法來獲得解的解析表達(dá)式.并通過數(shù)學(xué)解析表示式對模型的各物理量性態(tài)可作更深入的解析分析，使得對問題的發(fā)展趨勢有一個(gè)更好的結(jié)果.

由上述提供的方法還可繼續(xù)得到更高次的泛函近似解析解.以便得到更精確的結(jié)果，使得與模型的實(shí)際情況更接近.

8　結(jié)論

非線性Schr¨odinger擾動(dòng)方程出自于一類復(fù)雜的自然現(xiàn)象.因此需要簡化它為基本模型.利用近似方法求解這類模型是非線性理論的重要方面.本文就是利用廣義泛函迭代原理構(gòu)造了一個(gè)簡單而有效地非線性Sch r¨od inger耦合系統(tǒng)模型的近似解析解.

由廣義泛函迭代方法求出對應(yīng)廣義非線性Schr¨odinger擾動(dòng)耦合模型（21）-（23）的泛函近似解析解，不同于一般單純的由模擬得到的數(shù)值近似解，因?yàn)橛蓮V義泛函方法得到的廣義泛函近似解是具有解析形式的結(jié)構(gòu)，因此它還可以進(jìn)行微分，積分等解析運(yùn)算，從而能進(jìn)一步地對相應(yīng)解的其它物理量得到更深入的性態(tài)研究.

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M R Sub ject C lassification:35B25

A class of functional asym p totic m ethod for the generalized non linear d istu rbed Sch r¨od inger equation

A class of the generalized disturbed non linear Schr¨odinger coup led system is studied. Using the specific technique relates to the approxim ate solu tions，the corresponding linear system is first considered and its exact solution is obtained.Then，the functional asym p totic analytic solution of the non linear Schr¨odinger d istu rbed coup led m odel is found by using a valid m ethod.The obtained asym p totic solution is an analytic expression，so it cou ld also carry on analytic operations.These cannot happen to the sim ple simu latemethod.

non linear equation；coup led system；app roximate solution

O 175.29

A

1000-4424（2016）02-0176-09

2015-02-12

2016-03-10

國家自然科學(xué)基金（11202106）；浙江省自然科學(xué)基金（LY 13A 010005）；江蘇省自然科學(xué)基金（13KJB 170016）