楊　瑜，周金玲（浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院，浙江杭州310012）

一類具有擴(kuò)散和Beddington-DeAngelis反應(yīng)函數(shù)的病毒模型的全局穩(wěn)定性

楊瑜，周金玲
（浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院，浙江杭州310012）

研究了一類具有擴(kuò)散和Beddington-DeAngelis反應(yīng)函數(shù)的病毒模型.通過(guò)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，證明了模型的感染平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.

病毒模型；擴(kuò)散；Lyapunov函數(shù)；全局穩(wěn)定性

1　引言

考慮到病毒的空間遷移效應(yīng)對(duì)病毒感染過(guò)程的影響，文獻(xiàn)［1］研究如下反應(yīng)擴(kuò)散模型

這里u（x，t），v（x，t）和w（x，t）分別表示未感染細(xì)胞，感染細(xì)胞和游離病毒在空間位置x處和時(shí)刻t的濃度.γ，α，β，p，k，s都是正常數(shù).d＞0是病毒的擴(kuò)散系數(shù).Δ是Lap lace算子.

在系統(tǒng)（1）的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［2］利用比較原理研究一類具有時(shí)滯和Holling-II反應(yīng)函數(shù)的反應(yīng)擴(kuò)散病毒感染模型的全局穩(wěn)定性.而文獻(xiàn)［3］通過(guò)構(gòu)造Lyapunov泛函研究一類具有Beddington-DeAngelis反應(yīng)函數(shù)的時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散病毒模型的全局穩(wěn)定性和行波解的存在性.利用Lyapunov函數(shù)（泛函）研究反應(yīng)擴(kuò)散模型（時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散模型）的全局穩(wěn)定性是一種比較有效的方法.在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［4］和［5］通過(guò)構(gòu)造Lyapunov泛函分別研究具有更一般反應(yīng)函數(shù)的時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散病毒模型的全局穩(wěn)定性.注意到上述文獻(xiàn)中均假定病毒可以自由遷移，而未感染細(xì)胞和感染細(xì)胞不能遷移.而文獻(xiàn)［6］和［7］考慮未感染細(xì)胞，感染細(xì)胞和病毒均可自由遷移.

最近，文獻(xiàn)［8］討論如下一類具有擴(kuò)散和Beddington-DeAngelis反應(yīng)函數(shù)的病毒模型

其中a和b是正常數(shù).Ω∈Rn是有界光滑區(qū)域，且邊界?Ω充分光滑，ν是邊界上的單位外法向量.結(jié)果表明：當(dāng)基本再生數(shù)R0＜1時(shí)，未感染平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的；當(dāng)基本再生數(shù)R0＞1時(shí)，感染平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的.但是，感染平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性并未被討論.

本文將通過(guò)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)研究系統(tǒng)（2）的感染平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性.該方法已被一些學(xué)者用來(lái)研究不同反應(yīng)擴(kuò)散模型的全局穩(wěn)定性（見(jiàn)文獻(xiàn)［9-16］）.

本文內(nèi)容安排如下：§2給出一些基本結(jié)果.§3證明系統(tǒng)（2）的感染平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的. §4通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證所得理論結(jié)果的正確性.

2　基本結(jié)果

本節(jié)給出系統(tǒng)（2）已有的一些結(jié)果，見(jiàn)文獻(xiàn)［8］.系統(tǒng)（2）的基本再生數(shù)

當(dāng)R0≤1時(shí)，系統(tǒng)（2）只有一個(gè)未感染平衡點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)（2）還有一個(gè)感染平衡點(diǎn)E?=（u?，v?，w?），其中

定理2.2當(dāng)R0＜1時(shí)，E0是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0＞1時(shí)，E?是局部漸近穩(wěn)定的，E0是不穩(wěn)定的.

定理2.3當(dāng)R0＜1時(shí)，E0是全局漸近穩(wěn)定的.

3　感染平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

本節(jié)，通過(guò)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)討論感染平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性.為計(jì)算方便，記

定理3.1當(dāng)R0＞1時(shí)，E?是全局漸近穩(wěn)定的.

證定義Lyapunov函數(shù)

其中

這里函數(shù)g（y）=y-1-ln y.易證g（y）在區(qū)間（0，+∞）的最小值為g（1）=0.

注意到

從而有

其中

通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算，得

和

利用

以及

可得

4　討論與數(shù)值模擬

在文獻(xiàn)［8］的基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步研究一類具有擴(kuò)散和Beddington-DeAngelis反應(yīng)函數(shù)的病毒模型.通過(guò)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，證明了系統(tǒng)（2）的感染平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.

下面通過(guò)數(shù)值模擬來(lái)說(shuō)明本文所得理論結(jié)果的正確性.

圖1　當(dāng)R 0=0.7212＜1時(shí)，未感染平衡點(diǎn)E0=（125，0，0）是全局漸近穩(wěn)定的

首先，取γ=15，α=0.12，β=0.00002，a=0.2，b=0.02，p=0.01，k=30，s=0.4和d=0.2.容易計(jì)算R0=0.7212＜1.由定理2.3知，系統(tǒng)（2）的未感染平衡點(diǎn)E0=（125，0，0）是全局漸近穩(wěn)定的，見(jiàn)圖1.

其次，取β=0.00006，而其它參數(shù)的取值不變.此時(shí)，R0=2.1635＞1.定理3.1意味著系統(tǒng)（2）的感染平衡點(diǎn)E?=（123.3425，19.8904，1491.8）是全局漸近穩(wěn)定的，見(jiàn)圖2.

圖2　當(dāng)R0=2.1635＞1時(shí)，感染平衡點(diǎn)E?=（123.3425，19.8904，1491.8）是全局漸近穩(wěn)定的

［1］Wang Kaifa，Wang Wendi.Propagation of HBV w ith spatial dependence［J］.Mathematical biosciences，2007，210（1）:78-95.

［2］Xu Rui，M a Zhien.An HBV m odel w ith d iffusion and tim e delay［J］.Journal of Theoretical Biology，2009，257（3）:499-509.

［3］Zhang Yiyi，Xu Zhiting.Dynam ics of a diffusive HBV model w ith delayed Beddington-DeAngelis response［J］.Non linear Analysis:RealW orld A pp lications，2014，15:118-139.

［4］Hattaf K，Yousfi N.A generalized HBV m odel w ith diffusion and two delays［J］.Com puters &M athematicsw ith Applications，2015，69（1）:31-40.

［5］M cCluskey C C，Yang Yu.G lobal stability of a diffusive virus dynam icsmodelw ith general incidence function and tim e delay［J］.Non linear Analysis:Real W orld App lications，2015，25:64-78.

［6］Stancevic O，Angstmann C N，M urray JM，et al.Turing patterns from dynam ics of early HIV in fection［J］.Bulletin of M athematical Biology，2013，75（5）:774-795.

［7］Lai X iu lan，Zou Xingfu.Repu lsion effect on superin fecting virions by infected cells［J］.Bulletin of M athematical Biology，2014，76（11）:2806-2833.

［8］楊文彬，李艷玲，王珊珊.一類帶有擴(kuò)散和B-D反應(yīng)項(xiàng)的病毒模型的穩(wěn)定性分析［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2014，31（1）:57-66.

［9］Fan Yonghong，LiWantong.G lobal asym p totic stability of a ratio-dependent predator-prey system w ith d iffusion［J］.Jou rnal of Com pu tational and App lied M athem atics，2006，188（2）: 205-227.

［10］Hattaf K，YousfiN.G lobal stability for reaction-diffusion equations in biology［J］.Com puters &M athematicsw ith Applications，2013，66（8）:1488-1497.

［11］KoW，Ryu K.Qualitative analysis of a p redator-p reymodelw ith Holling type II functional response incorporating a p rey refuge［J］.Journal of Differential Equations，2006，231（2）:534-550.

［12］彭銳，王明新.一個(gè)具有擴(kuò)散和比例依賴響應(yīng)函數(shù)捕食模型的定性分析［J］.中國(guó)科學(xué)，2008，38（2）:135-148.

［13］Peng Rui.Qualitative analysis on a d iffusive and ratio-dependent predator-prey m odel［J］. IMA Journal of Applied Mathematics，2013，78（3）:566-586.

［14］Shi Hongbo，LiW antong，Lin Guo.Positive steady states of a diffusive predator-prey system w ith m odified Holling-Tanner functional response［J］.Non linear Analysis:Real W orld Applications，2010，11（5）:3711-3721.

［15］Tian Yan ling，Weng Peixuan.Stability analysis of diffusive p redator-p rey modelw ith modified Leslie-Gower and Holling-type III schem es［J］.App lied M athem atics and Com pu tation，2011，218（7）:3733-3745.

［16］Yang Wensheng，Li Yongqing.Dynam ics of a diffusive p redator-p rey model w ith modified Leslie-Gower and Holling-type III schem es［J］.Com pu ters&M athem aticsw ith App lications，2013，65（11）:1727-1737.

M R Su b jec t C lassifica tion:37B 25；92D 25

G lobal stability of a d iffusive v irus dynam ics m odel w ith Bedd ington-D eA ngelis incidence function

YANG Yu，ZHOU Jin-ling
（School of Science and Technology，Zhejiang International Stud ies University，Hangzhou，310012，China）

A diffusive virus dynam ics model w ith Beddington-DeAngelis incidence function is investigated.By constructing Lyapunov function，it is shown that the infection equilibrium is globally asym p totically stab le.

virusmodel；diffusion；Lyapunov function；global stability

O175

A

1000-4424（2016）02-0161-06

2015-08-10

2016-02-03

國(guó)家自然科學(xué)基金（11501519）；浙江省自然科學(xué)基金（LQ14A 010004）