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        帶有類p-Laplacian算子的Kirchhoff型方程的多重解

        2016-11-16 02:39:48張申貴西北民族大學數(shù)學與計算機科學學院甘肅蘭州730030
        高校應用數(shù)學學報A輯 2016年2期
        關(guān)鍵詞:研究

        張申貴,劉 華(西北民族大學數(shù)學與計算機科學學院,甘肅蘭州730030)

        帶有類p-Laplacian算子的Kirchhoff型方程的多重解

        張申貴,劉華
        (西北民族大學數(shù)學與計算機科學學院,甘肅蘭州730030)

        研究一類帶有類p-Laplacian算子的K irchhoff型方程.利用對稱山路定理,得到了多重解存在的充分條件,推廣和改進了已有結(jié)果.

        Kirchhoff型方程;類p-Lap lacian算子;Dirich let邊值問題;臨界點

        1 引言

        考慮D irichlet邊值問題

        問題(1.1)中帶有類p-Lap lacian算子,許多量子力學和流體力學中的數(shù)學模型都可以歸結(jié)為該問題,例如“毛細現(xiàn)象”中廣義Cap iliarity方程為

        近年來,學者們開始利用臨界點理論對帶有類p-Lap lacian算子和類p(x)-Lap lacian算子的方程進行了研究,如文[1-9].當p=2時,P.H.Rabinow itz給出著名的條件:(AR)存R 在μ>2,L>0,使得0<μF(x,u)≤f(x,u)u,對所有x∈Ω和|u|≥L成立,其中F(x,s)=f(x,t)d t.特別地,文獻[1]和[2]在條件(AR)成立時,研究了問題(1.1)解的存在性.條件(AR)可以保證非線性項f(x,u)關(guān)于變量u在無窮遠處是超線性的.(AR)條件被廣泛的用于橢圓型偏微分方程邊值問題、狄拉克方程、波方程、薛定諤方程和Ham ilton系統(tǒng)解存在性的研究中,但是很多超線性函數(shù)并不滿足條件(AR).文[3-5]將條件(AR)推廣為更廣泛的超線性條件對x∈Ω一致成立,并在此條件下研究了問題(1.1)解的存在性.

        在研究古典D’Alembert波方程的彈性弦自由振動的過程中,德國物理學家G.Kirchhoff建立了Kirchhoff方程.高維Kirchhoff模?型可以Z表達為?

        該模型可用于描述生物的種群密度等平均量,其對應的穩(wěn)態(tài)方程為

        其中a,b為正常數(shù).近年來,變分原理和臨界點理論已用于研究K irchhoff穩(wěn)態(tài)方程的可解性.本文中,研究Kirchhoff型方程Dirichlet邊值問題

        Ω是RN中具有光滑邊界的有界區(qū)域.

        對所有x∈Ω和s∈R成立.其中p?表示Sobolev臨界指數(shù)

        (M 0)設(shè)M(s)∈CR(R+,R+),存在m0>0,有M(s)≥m0.

        易見,問題(1.1)對應于問題(1.2)中M(s)≡1的特殊情形.另外,本文假設(shè)非線性項滿足局部超線性條件:

        (F1)設(shè)Ω0為Ω的一個正測度子集,使得一致成立,存在h∈ L1(Ω),有F(x,s)≥-h(x),對所有x∈Ω和s∈R成立.

        在局部超線性條件下,將利用臨界點理論中的對稱山路定理得到問題(1.1)多重解存在性的充分條件.

        2 預備知識

        定義2.1[9]設(shè)E為Banach空間,若泛函φ∈C1(E,R)滿足:對任何{un}?E,由{φ(un)}有有收斂子列,則稱泛函φ滿足(C)條件.

        引理2.1[9](對稱山路定理)設(shè)E為實Banach空間,E=V⊕X,其中dim V<+∞.若泛

        (i)存在常數(shù)ρ,α>0,使得φ|?Bρ∩X≥α.

        3 主要結(jié)果

        假設(shè)以下條件成立:

        (F2)存在常數(shù)L>0,C1>0,當|s|≥L時,有F(x,s)≥C1|s|.

        (F3)存在常數(shù)L>0,C2>0,當|s|≥L時,有

        (F4)f(x,-s)=-f(x,s),對所有x∈Ω和s∈R成立.

        本文的主要結(jié)果如下:

        定理3.1設(shè)條件(M 0)-(M 1),(F0)-(F4)成立,則對任意的自然數(shù)n,問題(1.2)至少有2n個非平凡解.

        證利用引理2.1(對稱山路定理)證明定理3.1.

        由條件(M 0),(M 1),式(3.2),有

        當n充分大時,根據(jù)條件(F3)和式(3.1),有

        由條件(M 0)及式(2.1),有

        注意到當n→∞時,有‖un‖→∞.由式(3.1),當n充分大時,有

        對所有x∈Ω和s∈R成立.

        對u∈Zk,利用條件(M 0),(M 1),式(3.10),有

        注3.1當M(s)=1,Ω=Ω0,p=2時,則η=1.條件(AR)可以推出條件(F1)-(F3)成立[10],另一方面,令f(x,u)=a(x)u ln(1+|u|),a(x)>0,則f滿足定理3.1中條件,但不滿足條件(AR).令M(s)=a+bs,p=2,其中a,b為正常數(shù).則M滿足(M 0),(M 1).事實上,令p

        此時,η=2,m0=a,則問題(1.1)可以退化為方程

        注3.2文獻[2]中研究的問題為

        易見,問題(3.14)是更為一般的方程.對比文獻[2]中主要結(jié)果(Theorem 9),本文中的可解性條件更弱.另外,利用本文中類似討論,也可以得到問題(3.14)多重解的存在性結(jié)果.

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        M R Su b jec t C lassifica tion:34B 15

        M u ltip licity of solu tions for K irchhoff type equation involv ing the p-Lap lacian-like op erator

        ZHANG Shen-gui,LIU Hua
        (College of M athematics and Com puter Science,Northwest University for Nationalities,Lanzhou 730030,China)

        This paper dealsw ith a class of K irchhoff type equation involving the p-Lap lacian-like operator.Base on sysmm etric m ountain pass theorem,som e su fficient cond itions for the ex istence of mu ltiplicity of solutions are obtained,which generalize and im p rove the existing ones.

        K irchhoff type equation;p-Lap lacian-like operator;D irichlet boundary value p roblem;critical point

        O 175.14

        A

        1000-4424(2016)02-0153-08

        2015-11-27

        2016-03-25

        國家自然科學基金(31260098);天元數(shù)學基金(11326100)

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