孫晶明

(1. 中國(guó)電子科技集團(tuán)公司 智能感知技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,　南京 210039)(2. 南京電子技術(shù)研究所，　南京 210039)

?

·信號(hào)處理·

CS-DOA估計(jì)中觀測(cè)矩陣性能分析

孫晶明1,2

(1. 中國(guó)電子科技集團(tuán)公司 智能感知技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210039)(2. 南京電子技術(shù)研究所，南京 210039)

利用壓縮感知(CS)理論解決陣列信號(hào)波達(dá)方向角(DOA)估計(jì)問題，具有對(duì)快拍數(shù)據(jù)量要求低、可處理相關(guān)源等優(yōu)點(diǎn)。CS-DOA估計(jì)中的一個(gè)關(guān)鍵問題是構(gòu)建合適的觀測(cè)矩陣。文中對(duì)比分析了均勻線陣與隨機(jī)稀布陣兩種陣列流形的稀疏重構(gòu)性能，分析結(jié)果表明在實(shí)際應(yīng)用中基于隨機(jī)稀布陣構(gòu)建的觀測(cè)矩陣性能更優(yōu)。仿真實(shí)驗(yàn)從三個(gè)方面比較了兩種觀測(cè)矩陣的DOA估計(jì)性能，驗(yàn)證了隨機(jī)稀布陣性能的優(yōu)越性，在不增加陣元數(shù)的前提下，能有效提高陣列的空間角分辨率。

壓縮感知；波達(dá)方向角估計(jì)；觀測(cè)矩陣；隨機(jī)稀布陣

0　引　言

隨著壓縮感知(CS)理論的不斷完善與發(fā)展，其在陣列波達(dá)方向角(DOA)估計(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用也受到了學(xué)者的廣泛關(guān)注，體現(xiàn)出比傳統(tǒng)的空間譜估計(jì)方法更加優(yōu)越的性能。CS理論是Donoho、Candès、Romberg和Tao等[1-3]在泛函分析和逼近論的理論基礎(chǔ)上，于2004年根據(jù)信息論的研究成果建立的。CS理論指出：利用滿足一定條件的隨機(jī)觀測(cè)矩陣，可將稀疏的高維信號(hào)投影到低維的空間，投影后的信號(hào)包含了足夠的信息，通過非線性的優(yōu)化方法，便能高概率地重構(gòu)高維原始信號(hào)。DOA估計(jì)問題中，空間目標(biāo)僅占少量空間分辨單元，因此空域目標(biāo)滿足稀疏性約束，結(jié)合目標(biāo)空域稀疏性的DOA 估計(jì)算法進(jìn)而得到了廣泛研究。

Cetin和Malioutov等[4-5]最早從2002年開始將稀疏性的思想引入到陣列DOA估計(jì)中，通過對(duì)空間角度的離散化建立稀疏重構(gòu)模型，然后利用均勻線陣結(jié)合L1-SVD算法對(duì)空間目標(biāo)進(jìn)行稀疏估計(jì)，獲得了角度高分辨，但觀測(cè)矩陣的有限等距性質(zhì)(RIP)特性較差，且求解算法運(yùn)算量較大。CS-DOA估計(jì)問題的兩個(gè)要素是：觀測(cè)矩陣與算法，但現(xiàn)有相關(guān)文獻(xiàn)都主要側(cè)重于算法研究[6-12]，只有少量文獻(xiàn)涉及到觀測(cè)矩陣研究[13-15]，且缺少對(duì)觀測(cè)矩陣性能的理論分析。

針對(duì)上述問題，本文對(duì)比分析了均勻線陣與隨機(jī)稀布陣兩種陣列流形的稀疏重構(gòu)性能，分析結(jié)果表明在實(shí)際應(yīng)用中基于隨機(jī)稀布陣構(gòu)建的觀測(cè)矩陣性能更優(yōu)，其RIP特性更好，能保證DOA估計(jì)的準(zhǔn)確性和魯棒性。

1　CS-DOA估計(jì)原理分析

1.1CS基本原理

設(shè)x是長(zhǎng)度為n的信號(hào)，稀疏度為k(即x最多含有k個(gè)非零值)，Φ為m×n階觀測(cè)矩陣(m

我們需要求解如下最優(yōu)化問題

(1)

Candès等[2]指出，欲精確恢復(fù)k-稀疏的信號(hào)x，只要觀測(cè)值個(gè)數(shù)m(即y的長(zhǎng)度)滿足m=O(k·lgn)，并且矩陣Φ滿足RIP[16]。

然而最小L0范數(shù)問題是一個(gè)NP難問題，通常需要對(duì)該問題加以轉(zhuǎn)化，如將最小L0范數(shù)問題轉(zhuǎn)化為最小L1范數(shù)問題以方便求解，即

(2)

由于一般的自然信號(hào)x本身并不是稀疏的，因此，需要在某種稀疏變換域上對(duì)它進(jìn)行稀疏表示，即x=Ψa，其中，Ψ是稀疏變換矩陣，a是x的稀疏系數(shù)向量，且‖a‖0≤k。這時(shí)，CS方程為y=Φx=ΦΨa=Θa，其中，Θ=ΦΨ稱為恢復(fù)矩陣。我們需要求解如下問題

(3)

在實(shí)際測(cè)量過程中，不可避免地會(huì)引入噪聲，即y=Φx+n，于是優(yōu)化求解問題變?yōu)?/p>

(4)

1.2CS-DOA估計(jì)模型

在CS理論框架下研究DOA估計(jì)問題，需要對(duì)輻射源信號(hào)進(jìn)行稀疏化表示以滿足CS理論的前提條件。顯然，輻射源信號(hào)是自然的空間稀疏信號(hào)，采用某種空間網(wǎng)格劃分可以實(shí)現(xiàn)其稀疏性表示，從而將信號(hào)與其空間位置實(shí)現(xiàn)一一對(duì)應(yīng)，為從信號(hào)重構(gòu)的角度實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)提供了依據(jù)。這里我們主要討論利用陣列單快拍接收數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)CS-DOA估計(jì)的問題模型。

設(shè)K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)入射到空間某均勻線性天線陣列上，其中，陣列由M個(gè)陣元組成，于是該陣列在t時(shí)刻接收信號(hào)的數(shù)學(xué)模型為

y(t)=Ax(t)+n(t)

(5)

其中，M×K階陣列流形矩陣A為

A=[a1(ω0)a2(ω0)…ak(ω0)]

(6)

導(dǎo)向矢量aq(ω0)(q=1,2,…,K)為

(7)

由此可見，陣列流形矩陣A的每一列對(duì)應(yīng)了一個(gè)輻射源信號(hào)的空間位置，即陣列流形矩陣包含了輻射源信號(hào)的方位信息。

圖1　輻射源信號(hào)的空域稀疏化表示

將輻射源信號(hào)所在空間按方位角劃分為{θ1,θ2,…,θN}，并假設(shè)每一個(gè)方位角都對(duì)應(yīng)一個(gè)潛在輻射源信號(hào)xn(n=1,2,…,N )，如圖1所示。圖中，“●”表示實(shí)際存在的輻射源，“○”表示實(shí)際不存在的輻射源。由輻射源信號(hào)的空域稀疏性可知，潛在的輻射源個(gè)數(shù)比實(shí)際存在的輻射源個(gè)數(shù)大得多，即N>>K。這樣就構(gòu)造了一個(gè)N×1階稀疏信號(hào)x，且x中只有K個(gè)位置有非零元素。于是，DOA估計(jì)模型轉(zhuǎn)化為

y=Ax+n

(8)

式中：y為某時(shí)刻陣列接收的M×1階信號(hào)；x為包含實(shí)際輻射源信號(hào)的N×1階稀疏信號(hào)；A為信號(hào)稀疏化表示后對(duì)應(yīng)的M×N階陣列流形矩陣，其結(jié)構(gòu)只與布陣規(guī)則和空域稀疏化方式有關(guān)，而n則代表陣列接收的噪聲信號(hào)。

利用CS理論來解決DOA估計(jì)問題，本質(zhì)上就是由已知的陣列接收信號(hào)y和陣列流形矩陣A來重構(gòu)稀疏信號(hào)x，進(jìn)而根據(jù)x與θ的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系就能得到輻射源信號(hào)的DOA估計(jì)。因此，CS-DOA估計(jì)問題即轉(zhuǎn)化為求解如下最優(yōu)化問題

(9)

式中：ε為噪聲功率估計(jì)值。

至此，我們已經(jīng)建立了CS-DOA估計(jì)模型。根據(jù)以上問題描述可知，陣列流形矩陣A相當(dāng)于CS理論中的觀測(cè)矩陣Φ。因此，為了精確重構(gòu)輻射源信號(hào)并得到準(zhǔn)確的DOA估計(jì)，矩陣A需要具備較好的RIP特性。

2　觀測(cè)矩陣性能分析

由于文獻(xiàn)[15]已經(jīng)證明，基于等正弦空間稀疏化方式得到的陣列流形矩陣具有比等角度劃分產(chǎn)生的陣列流形矩陣更優(yōu)越的稀疏重構(gòu)性能，因此，我們后面的分析都只考慮基于等正弦空間稀疏化方式得到的陣列流形矩陣。

(10)

隨機(jī)稀布陣與均勻線陣的區(qū)別在于其陣元間距不相等，因此，隨機(jī)稀布陣的陣列流形矩陣可視為均勻線陣的陣列流形矩陣的行隨機(jī)抽取子陣。

在CS理論框架下，觀測(cè)矩陣需要滿足的稀疏重構(gòu)條件是RIP準(zhǔn)則。從幾何角度來講，RIP準(zhǔn)則的要求是待重構(gòu)的稀疏信號(hào)在觀測(cè)矩陣Φ的作用下必須保持幾何性質(zhì)相一致，即必須保證Φ不會(huì)把兩個(gè)不同的k-稀疏信號(hào)投影到同一個(gè)采樣集合中。然而在實(shí)際應(yīng)用中，判定一個(gè)給定的矩陣是否滿足RIP是一個(gè)NP難問題。因此，一般采用另一個(gè)與RIP等價(jià)的稀疏重構(gòu)條件作為判定準(zhǔn)則，即：觀測(cè)矩陣任意兩列之間的相關(guān)性越小，其稀疏重構(gòu)性能越強(qiáng)。

定義1[1]：將M×N階觀測(cè)矩陣Φ表示為Φ=[Φ1,Φ2,…,ΦN]，Φi為Φ的第i列，i=1,2,…,N，則矩陣Φ的相關(guān)性定義為

(11)

為便于理論分析，這里給出一定條件下均勻線陣與隨機(jī)稀布陣的相關(guān)性數(shù)值對(duì)比結(jié)果，如圖2所示。取M=32，N=401，根據(jù)式(10)可得均勻線陣的32×401階陣列流形矩陣A。為了保證隨機(jī)稀布陣與均勻線陣的陣列流形矩陣階數(shù)相等，隨機(jī)稀布陣的陣列流形矩陣B為200×401階均勻線陣陣列流形矩陣的32×401階行隨機(jī)抽取子陣。

圖2　兩種觀測(cè)矩陣的相關(guān)性對(duì)比

從圖中可以獲得兩點(diǎn)信息：(1)由式(11)可知，μ(A)=0.99，μ(B)=0.83，所以μ(B)<μ(A)，即隨機(jī)稀布陣的相關(guān)性比均勻線陣的相關(guān)性小，反映出隨機(jī)稀布陣的RIP特性優(yōu)于均勻線陣；(2)對(duì)比兩條曲線在0°附近的主瓣3 dB寬度可知，均勻線陣的空間角分辨率約為6°，而隨機(jī)稀布陣的空間角分辨率約為1.2°。

由此我們可以得到一個(gè)結(jié)論：隨機(jī)稀布陣的DOA估計(jì)性能優(yōu)于均勻線陣。下面的仿真實(shí)驗(yàn)將驗(yàn)證這一點(diǎn)。

3　仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

仿真實(shí)驗(yàn)將從多個(gè)方面比較隨機(jī)稀布陣與均勻線陣的DOA估計(jì)性能，重構(gòu)算法采用正交匹配追蹤(OMP)算法。基本參數(shù)設(shè)置如下：M×N階觀測(cè)矩陣中N=401，即將角度空間按等正弦劃分為401個(gè)格點(diǎn)；隨機(jī)稀布陣構(gòu)建的觀測(cè)矩陣為200×401階均勻線陣觀測(cè)矩陣的M×401階行隨機(jī)抽取子陣；輻射源信號(hào)個(gè)數(shù)為3，且幅度均為1。

實(shí)驗(yàn)1：不同陣元數(shù)M對(duì)DOA估計(jì)性能的影響。

本實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置陣元數(shù)M=15,16,…,50，輻射源信號(hào)的方位角分別為-8°, 0°, 8°，信噪比為10 dB。對(duì)于每個(gè)設(shè)定的M，分別進(jìn)行100次仿真實(shí)驗(yàn)，并統(tǒng)計(jì)DOA準(zhǔn)確估計(jì)概率。如圖3所示，隨著陣元數(shù)M的逐漸增加，兩種觀測(cè)矩陣的DOA估計(jì)性能都逐漸提高，且隨機(jī)稀布陣的DOA估計(jì)性能明顯優(yōu)于均勻線陣。在陣元數(shù)較少(M在30左右)時(shí)，均勻線陣無法實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的DOA估計(jì)，而隨機(jī)稀布陣仍能保持較高的DOA準(zhǔn)確估計(jì)概率(超過90%)。

實(shí)驗(yàn)2：不同信噪比對(duì)DOA估計(jì)性能的影響。

本實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置陣元數(shù)M=45，輻射源信號(hào)的方位角分別為-8°, 0°, 8°，信噪比為5 dB～25 dB。對(duì)于每個(gè)設(shè)定的信噪比，分別進(jìn)行100次仿真實(shí)驗(yàn)，并統(tǒng)計(jì)DOA準(zhǔn)確估計(jì)概率。如圖4所示，隨著信噪比的逐漸提高，兩種觀測(cè)矩陣的DOA估計(jì)性能都逐漸提高，且隨機(jī)稀布陣的DOA估計(jì)性能明顯優(yōu)于均勻線陣。在信噪比較低(5 dB左右)時(shí)，均勻線陣較難實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的DOA估計(jì)，而隨機(jī)稀布陣仍能保持較高的DOA準(zhǔn)確估計(jì)概率(超過90%)。

圖3　不同陣元數(shù)M下DOA準(zhǔn)確估計(jì)概率

圖4　不同信噪比下DOA準(zhǔn)確估計(jì)概率

實(shí)驗(yàn)3：不同方位角間隔對(duì)DOA估計(jì)性能的影響。

本實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置陣元數(shù)M=32，輻射源信號(hào)的方位角間隔為0°∶10°，信噪比為15 dB。對(duì)于每個(gè)設(shè)定的方位角間隔，分別進(jìn)行100次仿真實(shí)驗(yàn)，并統(tǒng)計(jì)DOA準(zhǔn)確估計(jì)概率。如圖5所示，隨著方位角間隔的逐漸增大，兩種觀測(cè)矩陣的DOA估計(jì)性能都逐漸提高，且隨機(jī)稀布陣的DOA估計(jì)性能明顯優(yōu)于均勻線陣。在方位角間隔較小(1.2°左右)時(shí)，均勻線陣無法實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的DOA估計(jì)，而隨機(jī)稀布陣仍能保持較高的DOA準(zhǔn)確估計(jì)概率(超過90%)。本實(shí)驗(yàn)也驗(yàn)證了圖2所示的兩種觀測(cè)矩陣的空間角分辨能力，且說明基于隨機(jī)稀布陣的DOA估計(jì)具有更強(qiáng)的魯棒性。

圖5　不同方位角間隔下DOA準(zhǔn)確估計(jì)概率

通過以上各組實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比可知，基于隨機(jī)稀布陣構(gòu)建的觀測(cè)矩陣的DOA估計(jì)性能明顯優(yōu)于均勻線陣，而且在陣列的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)上具有更大自由度，具有更加優(yōu)越的抗噪性和更高的空間角分辨能力。

4　結(jié)束語

本文針對(duì)CS-DOA估計(jì)中的觀測(cè)矩陣構(gòu)建問題，從觀測(cè)矩陣相關(guān)性和空間角分辨能力兩方面，對(duì)比分析了均勻線陣與隨機(jī)稀布陣兩種陣列流形的稀疏重構(gòu)性能，分析結(jié)果表明在實(shí)際應(yīng)用中基于隨機(jī)稀布陣構(gòu)建的觀測(cè)矩陣性能更優(yōu)，其RIP特性更好。仿真實(shí)驗(yàn)從多個(gè)方面比較了兩種觀測(cè)矩陣的DOA估計(jì)性能，驗(yàn)證了隨機(jī)稀布陣性能的優(yōu)越性，能保證DOA估計(jì)的準(zhǔn)確性和魯棒性，且在不增加陣元數(shù)的前提下，能有效提高陣列的空間角分辨率。

[1]DONOHO D L. Compressed sensing[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(4): 1289-1306.

[4]CETIN M, MALIOUTOV D M, WILLSKY A S. A variational technique for source localization based on sparse signal reconstruction perspective[C]// Proceedings of IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing. [S.l.]: IEEE Press, 2002.

[5]MALIOUTOV D M, CETIN M, WILLSKY A S. A sparse signal reconstruction perspective for source loca1ization with sensor arrays[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2005, 53(8): 3010-3022.

[6]MODEL D, ZIBULEVSKY M. Signal reconstruction in sensor arrays using sparse representation[J]. Signal Processing, 2006, 86(3): 624-638.

[7]TZAGKARAKIS G, MILIORIS D, TSAKALIDES P. Multiple measurement bayesian compressed sensing using GSM priors for DOA estimation[C]// Proceedings of IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing. [S.l.]: IEEE Press, 2010: 2610-2613.

[8]JONG M K, OK K L, JONG C Y. Compressive MUSIC: revisiting the link between compressive sensing and array signal processing[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2012, 58(1): 278-301.

[9]HYDER M M, MAHATA K. Direction-of-arrival estimation using a mixed L2,0 norm approximation[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2010(58): 4646-4655.[10]WANG J, HUANG Z, ZHOU Y. Direction-of-arrival estimation based on joint sparsity[J]. Sensors, 2011(11): 9098-9108.

[11]王超宇, 朱曉華, 李洪濤, 等. 一種魯棒的壓縮感知高分辨率DOA估計(jì)方法[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2014, 35(5): 590-596.

WANG Chaoyu, ZHU Xiaohua, LI Hongtao, et al. A robust high-resolution DOA estimation algorithm based on compressive sensing[J]. Journal of Astronautics, 2014, 35(5): 590-596.

[12]王秀紅, 毛興鵬, 張乃通. 基于CS的脈沖壓縮雷達(dá)單快拍DOA估計(jì)[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2014, 36(9): 1737-1743.

WANG Xiuhong, MAO Xingpeng, ZHANG Naitong. Single-snap DOA estimation based on compressed sensing in pulse compression radar system[J]. Systems Engineering and Electronics, 2014, 36(9): 1737-1743.

[13]賀亞鵬, 李洪濤, 王克讓, 等. 基于壓縮感知的高分辨DOA估計(jì)[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2011, 32(6): 1344-1349.

HE Yapeng, LI Hongtao, WANG Kerang, et al. Compressive sensing based high resolution DOA estimation[J]. Journal of Astronautics, 2011, 32(6): 1344-1349.

[14]王桂良, 鄭輝, 路友榮, 等. 基于壓縮感知的新型DOA估計(jì)算法[J]. 電信技術(shù)研究, 2012(6): 7-13.

WANG Guiliang, ZHENG Hui, LU Yourong, et al. A new DOA estimation algorithm based on compressed sensing[J]. Research on Telecommunication Technology, 2012(6): 7-13.

[15]林波, 張?jiān)鲚x, 朱炬波. 基于壓縮感知的DOA估計(jì)稀疏化模型與性能分析[J]. 電子與信息學(xué)報(bào), 2014, 36(3): 589-594.

LIN Bo, ZHANG Zenghui, ZHU Jubo. Sparsity model and performance analysis of DOA estimation with compressive sensing[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2014, 36(3): 589-594.

孫晶明男，1984年生，博士，工程師。研究方向?yàn)閴嚎s感知，雷達(dá)成像與目標(biāo)識(shí)別，雷達(dá)信號(hào)處理。

Performance Analysis of Measurement Matrices in CS-DOA Estimation

SUN Jingming1,2

(1. Key Laboratory of Intelli Sense Technology, CETC, Nanjing 210039, China)(2. Nanjing Research Institute of Electronics Technology,Nanjing 210039, China)

The method of direction-of-arrival (DOA) estimation of array signals based on compressed sensing (CS) theory has advantages such as fewer snapshots requirement and the capacity of dealing with the coherent sources. One of the key issues of CS-DOA estimation is to construct an appropriate measurement matrix. A comparative analysis about the sparse recovery performance of two kinds of array manifold named uniform linear arrays and random thinning arrays is provided in this paper, and the analysis result shows that the performance of measurement matrices constructed by random thinning arrays is better in practical applications. Finally, in the simulation experiments the DOA estimation performance of the two kinds of measurement matrices is compared from three respects, and the advantage of the performance of random thinning arrays is verified that without increasing the number of array elements, random thinning arrays can improve the spatial angular resolution effectively.

compressed sensing; direction-of-arrival estimation; measurement matrices; random thinning arrays

10.16592/ j.cnki.1004-7859.2016.09.010

孫晶明Email：sjm@hust.edu.cn

2016-04-26

2016-06-28

TP971.1

A

1004-7859(2016)09-0046-04