陳茜茜，鄧曉波，張廣磊

(中航工業(yè)雷華電子技術(shù)研究所,　江蘇 無錫 214063)

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·信號處理·

峰均功率比約束下擴展目標波形優(yōu)化

陳茜茜，鄧曉波，張廣磊

(中航工業(yè)雷華電子技術(shù)研究所,江蘇 無錫 214063)

針對包絡(luò)約束條件下擴展目標最優(yōu)檢測波形設(shè)計，提出了峰均功率比約束條件下最優(yōu)檢測波形優(yōu)化方法。首先，建立了擴展目標信號模型；然后，通過將恒定包括約束轉(zhuǎn)換成峰均功率比約束，推導(dǎo)出該約束下擴展目標最優(yōu)檢測波形優(yōu)化模型；并將該非凸模型轉(zhuǎn)換成易于求解的凸優(yōu)化模型，由此獲得了恒定包絡(luò)和低起伏包絡(luò)條件下的最優(yōu)檢測波形；最后，以某典型擴展目標為例，仿真對比了不同約束參數(shù)下波形的檢測性能，驗證了優(yōu)化所得恒定包絡(luò)、低起伏包絡(luò)波形相比于傳統(tǒng)Barker碼波形具有更好的檢測性能。

波形優(yōu)化；擴展目標；峰均功率比；恒定包絡(luò)

0　引　言

雷達發(fā)射波形不僅決定了信號處理方法，而且直接影響系統(tǒng)的分辨力、測量精度、以及雜波抑制等性能。早在20世紀60年代，一些研究者就開始關(guān)注通過發(fā)射波形優(yōu)化提升雜波與干擾抑制能力。DeLong[1]以最大化輸出信號與雜波噪聲比(SCNR)為目標函數(shù)，設(shè)計了點目標檢測的最優(yōu)發(fā)射波形及匹配接收機。20世紀90年代，Bell[2]以最大化互信息為目標函數(shù)，研究了擴展目標的最優(yōu)檢測波形及匹配接收機。近年來，隨著硬件水平的進步，通過波形優(yōu)化設(shè)計提高目標檢測性能得到了越來越多學(xué)者的關(guān)注。Friedlander[3]以SCNR為目標函數(shù)，研究了子空間信號的最優(yōu)檢測波形。Kay[4]以檢測概率為目標函數(shù)設(shè)計了點目標的最優(yōu)檢測波形。以上研究大都只考慮發(fā)射能量一定條件下的最優(yōu)目標檢測波形設(shè)計，在實際應(yīng)用中，雷達波形常需要滿足一些其他的條件，如恒定包絡(luò)、低脈壓旁瓣、高分辨等[5-6]。因而如何在這些約束條件下，優(yōu)化設(shè)計最優(yōu)檢測波形還有待進一步研究。

在工程應(yīng)用中，雷達發(fā)射機通常工作在飽和放大狀態(tài)，為了使其發(fā)揮最大效能，要求信號具有恒定包絡(luò)；此外，為了避免放大器的非線性導(dǎo)致發(fā)射波形失真，也要求雷達發(fā)射波形具有恒定包絡(luò)。因此，在設(shè)計最優(yōu)檢測波形時，考慮恒定包絡(luò)約束非常重要。Patton[1]研究了恒定包絡(luò)約束條件下的波形設(shè)計，并仿真分析下不同優(yōu)化算法的性能。Maio[8]把恒定包絡(luò)約束條件轉(zhuǎn)化為峰均功率比約束，提出了峰均功率比的約束條件下，點目標最優(yōu)檢測波形優(yōu)化方法。

本文主要考慮擴展目標檢測，提出了峰均功率比約束條件下，擴展目標最優(yōu)檢測波形優(yōu)化方法。在此基礎(chǔ)上，以某典型擴展目標為例，仿真分析了恒定包絡(luò)、低起伏包絡(luò)約束條件下的最優(yōu)檢測波形，并對比分析了優(yōu)化波形與傳統(tǒng)Barker碼波形的檢測性能。

1　擴展目標信號模型

考慮發(fā)送相送編碼脈沖串的單基地雷達，假設(shè)發(fā)送信號的復(fù)包絡(luò)為u(t)

(1)

式中：[a(0),a(1),a(N-1)]∈N為雷達的相位編碼(即a(i)=exp[jφi]，i=0,1, …,N-1);φi是隨機待優(yōu)化相位；p(t)為發(fā)送矩形脈沖；Tr為脈沖重復(fù)時間(PRT)；波形脈沖的時寬Tp≤Tr，且能量為單位能量。令s(t)表示接收端的脈沖串信號，即

s(t)=αtu(t)exp(j2πf0t+φ))

(2)

式中：αt為發(fā)送信號的幅度；f0為載頻。隨著雷達分辨率的提高，目標將被分辨成多個主散射點，占據(jù)多個距離單元，形成距離擴展目標。假設(shè)目標的主散射點個數(shù)為L，占據(jù)P個距離單元，經(jīng)過延時τ后接收信號可以表示為

(3)

式中：αrl為雷達接收端第l個目標散射點的散射幅度值；fd為目標的多普勒頻移；n(t)為由雜波和熱噪聲造成的加性干擾。

接收信號經(jīng)過下變頻、匹配濾波后，系統(tǒng)輸出為

χp(t-iTr-τl, fd)+w(t)

(4)

式中：χp(λ,f)表示波形的模糊函數(shù)，即

(5)

w(t)是經(jīng)過下變頻和匹配濾波后的噪聲干擾部分。將信號v(t)離散化，令tk=τl+kTr，k=0,1,…,N-1，則擴展目標接收端的離散信號為

w(tk), k=0,1, …, N-1

(6)

式中：αl=αrle-j2πf0τl，由于χp(0,fd)并不依賴于編碼信號a(k)，我們令χp(0,fd)=1，因而，可以將v(tk)簡化為

k=0,1,…,N-1

(7)

令矩陣H為(P+N-1)×N維卷委積矩陣

式中：hi表示第i個距離單元上的目標散射點的散射幅度值，i=1,2,…,N。假設(shè)c=[a(0),a(1), …,a(N-1)]T為N維的編碼向量，p=[1, ej2πfdTr, …, ej2π(N-1)fdTr]T為時域?qū)蚴噶浚瑆=[w(t0),w(t1), …,w(tN-1)]T為噪聲向量，那么接收到的回波信號的矩陣形式可表示為

v=H(c⊙p)+w

(8)

式中：⊙表示Hadamard點積。

2　峰均功率比約束下波形優(yōu)化

通常情況下，如果直接將波形的包絡(luò)設(shè)定為恒定值來優(yōu)化波形將是一個NP(non-deterministic polynomial)難的優(yōu)化問題[9]。恒定包絡(luò)約束可以轉(zhuǎn)化為更具有普通意義的峰均功率比約束。

本文著重考慮峰均功率比與恒定能量約束下的最優(yōu)波形設(shè)計。能量恒定條件下，‖c‖2=N。峰均功率比(PAR)為波形峰值功率與平均功率的比值，可以表示為

(9)

如果PAR=1，優(yōu)化波形為恒定包絡(luò)波形，如果PAR略大于1，優(yōu)化波形為低起伏包絡(luò)波形。

在H0和H1假設(shè)下，回波信號可以表示為

(10)

式中：w表示背景雜波和噪聲，設(shè)其服從均值為零；協(xié)方差為M的高斯分布，M=E[wwH]為半正定矩陣。H0和H1假設(shè)下，回波的統(tǒng)計分布可以表示為

(11)

(12)

對數(shù)似然比l(v)可以表示為

l(v)=vHM-1H(c⊙ p)-

(13)

把與數(shù)據(jù)無關(guān)的項放入門限當中，檢測統(tǒng)計量T可以表示為

T=vHM-1H(c⊙p)>G′

(14)

對于給定的虛警概率pfa，現(xiàn)在推導(dǎo)檢測概率Pd，令E(T;Hi)和var(T;Hi)分別表示Hi條件下的檢測統(tǒng)計量的期望值和方差，由于噪聲與信號不相關(guān)，因此

E(T; H0)=E[wHM-1H(c⊙p)]=0

(15)

E(T; H1)=E[(H(c⊙p)+w)HM-1(H(c⊙p))]=(c⊙p)HHHM-1H(c⊙p)

(16)

var(T; H0)=E[(wHM-1H(c⊙p))2]=(c⊙p)HHHM-1H(c⊙p)

(17)

根據(jù)文獻[10]，偏移系數(shù)d2可以表示為

(c⊙p)HHHM-1H(c⊙p)

(18)

偏移系數(shù)決定了檢測性能，也等效于匹配濾波輸出端的信雜噪比(SINR)

SNR=(c⊙p)HHHM-1H(c⊙p)

(19)

檢測概率pd可表示為

(20)

SNR=(c⊙p)H(HHM-1H)(c⊙p)

(21)

(22)

根據(jù)式(20)可知，給定虛警概率，檢測概率是信噪比SNR單調(diào)遞增函數(shù)，而SNR又與波形c相關(guān)，因此可以通過優(yōu)化波形c來提高檢測概率，提高信噪比。同時，信噪比最大化等效于檢測概率的最大化。

因此，峰均功率比與恒定能量約束下的最優(yōu)波形設(shè)計可以表述為以下優(yōu)化問題

(23)

式中：γ為峰均功率比參數(shù)，為了將式(23)轉(zhuǎn)化成SDP(Semi-definite programming)優(yōu)化問題，令C=ccH，C的秩rank(C)=1，式(23)優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)換為以下SDP優(yōu)化問題

(24)

(2)運用MATLAB的優(yōu)化工具包CVX[9]，求解SDP式(24)獲得優(yōu)化波形C#；

(4)產(chǎn)生服從復(fù)合高斯分布的隨機數(shù)N(0，D-(C#+(I-D-D))D-)，并從中選擇一組隨機的向量ζ∈N；

3　仿真分析

本節(jié)將通過仿真實驗分析峰均功率比約束下擴展目標最優(yōu)檢測波形優(yōu)化性能?？紤]發(fā)送相位編碼的單基地雷達，將峰均功率比的約束參數(shù)分別設(shè)定為γ={1,1.3,1.9,2.5}，雜波和噪聲的協(xié)方差矩陣M設(shè)為

(25)

下面以文獻[11]中擴展目標SR-71模型為例，驗證峰均功率比約束下波形優(yōu)化方法的有效性，并分析其性能。SR-71占據(jù)的距離單元數(shù)P=20，主散射點數(shù)為5個，主散射點的分布如圖1所示。

圖1　擴展目標的時域特性圖

根據(jù)文獻[11]，SR-71主散射點散射強度可以表示為σ0={0.005, 0.020, 0.020, 0.025, 0.025}。設(shè)σ=ησ0，η為比例系數(shù)。圖2給出了檢測概率與峰均功率比約束參數(shù)γ的關(guān)系。其中γ=1表示恒定包絡(luò)波形，其他為低起伏包絡(luò)波形?？梢园l(fā)現(xiàn)：隨著γ的增大，波形峰均功率比約束條件放松，波形的檢測性能提升。當系數(shù)η=3時，檢測概率能夠達到1.0。

圖2　擴展目標檢測概率圖

為了更加直觀地表示優(yōu)化波形，圖3檢出了恒定包絡(luò)約束下的優(yōu)化波形與傳統(tǒng)Barker碼波形的相位分布圖，可見優(yōu)化波形的相位分布比較隨機，并沒有嚴格規(guī)律。

圖3　擴展目標的相位對比圖

檢測概率是輸出信噪比的單調(diào)遞增函數(shù)，為了驗證優(yōu)化波形的檢測性能，圖4比較了幾種不同峰均功率比約束參數(shù)下，優(yōu)化波形與傳統(tǒng)Barker碼波形的輸出信噪比示意圖(系數(shù)η=4)，表1給出了優(yōu)化波形與Barker碼波形相比輸出信噪比的改善值?？梢园l(fā)現(xiàn)，與Barker碼波形相比，本文設(shè)計的優(yōu)化波形輸出信噪比明顯增大；另外，優(yōu)化后的恒定包絡(luò)波形(γ=1)信噪比比傳統(tǒng)Barker碼波形提高2.8 dB左右。

表1　擴展目標的SINR改善值

圖4　擴展目標的信雜噪比提高圖

雷達系統(tǒng)測距和測速的精度往往取決于模糊函數(shù)圖的主峰沿τ軸和fd軸的寬度，同時雷達系統(tǒng)分辨能力與模糊圖的主峰的寬度有關(guān)[12-16]。圖5分別給出了優(yōu)化波形的模糊函數(shù)圖、模糊度圖(-6 dB)、距離模糊函數(shù)圖、速度模糊函數(shù)圖。通過比較圖5各圖可以發(fā)現(xiàn)：優(yōu)化所得波形的模糊函數(shù)呈圖釘狀，多普勒容差小，對速度敏感。

圖5　優(yōu)化波形模糊函數(shù)圖

4　結(jié)束語

本文針對擴展目標的恒定包絡(luò)最優(yōu)檢測波形優(yōu)化問題，提出了一種峰均功率比約束下擴展目標最優(yōu)檢測波形優(yōu)化方法。該方法通過將恒定包絡(luò)約束轉(zhuǎn)換成峰均功率比約束，以某典型擴展目標為例，仿真對比了優(yōu)化所得恒定包絡(luò)波形和低起伏包絡(luò)波形與傳統(tǒng)Barker碼的檢測性能。仿真結(jié)果表明：相比于傳統(tǒng)Barker碼波形，優(yōu)化波形檢測性能得到明顯地改善，同時輸出信雜噪比改善隨峰均功率比約束參數(shù)γ增大而增大。特別地，在恒定包絡(luò)約束條件下(即γ=1)時，輸出信雜比改善為2.8 dB左右。

[1]DELONG D, HOFSTETTER E. On the design of optimum radar waveforms for clutter rejection[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1967, 13(3): 454-463.

[2]BELL M R. Information theory and radar waveform design[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1993, 39(5): 1578-1597.

[3]FRIEDLANDER B. A subspace framework for adaptive radar waveform design[C]// 2005 Thirty-Ninth Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers. [S.l.]: IEEE Press, 2005.

[4]STEVEN Kay. Optimal signal design for detection of Gaussian point targets in stationary Gaussian clutter/reverberation[J]. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Porcessing, 2007, 1(1): 31-41.

[5]YANG Y, BLUM R S. Radar waveform design using minimum mean-square error and mutual information[C]// IEEE Workshop on Sensor Array and Multichannel Processing. [S.l.]: IEEE Press, 2006: 234-238.

[6]SEARLE S J, HOWARD S D, MORAN W. Formation of ambiguity functions with frequency separated gobly coded pulses[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2009, 45(4): 1580-1597.

[7]PATTON L K, RIGLING B D. Modulus constraints in adaptive radar waveform design[C]// 2008 IEEE Radar Conference. [S.l.]: IEEE Press, 2008: 8-13.

[8]MAIO A D, HUANG Y W, PIEZZO M, et al. Design of optimized radar codes with a peak to average power ratio constraint[J]. IEEE Transctions on Signal Processing, 2011, 59(6): 2683-2696.

[9]BOYD S, VANDENBERGHE L. Vandenberghe, convex optimization[M]. Cambridge, U.K: Cambridge University Press, 1985.

[10]KAY S M. Fundamentals of statistical signal processing: detection theory[M]. Englewood Clifis, NJ: Prentice-Hall, 1988.

[11]LESHEM A, NAPASTEK O, NEHORAI A. Information theoretic adaptive radar waveform design for multiple extended targets[J]. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, 2007, 1(1): 42-55.

[12]PILLAI S U, OH H S, YOULA D C, et al. Optimal transmit-receive design in the presence of signal-dependent interference and channel noise[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2000, 46(2): 577-584.

[13]SIRA S, COCHRAN D, PAPANDREOU S A, et al. Adaptive waveform design for improved detection of low-RCS targets in heavy sea clutter[J]. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, 2007, 1(1): 56-66.

[14]De MAIO A, De NICOLA S, HUANG Y W, et al. Code design to optimize radar detection performance under accuracy andsimilarity constraints[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2008, 56(11): 5618-5629.

[15] 公緒華, 譚懷英, 袁振濤, 等. 檢測性能約束下目標估計和波形優(yōu)化設(shè)計[J]. 現(xiàn)代雷達, 2014, 36(3): 34-39.

GONG Xuhua, TAN Huaiying, YUAN Zhentao, et al. Waveform optimization for target estimation under detection constraint[J]. Modern Radar, 2014, 36(3): 34-39.

[16]顏志升. 步進頻波形優(yōu)化設(shè)計及處理技術(shù)[J]. 現(xiàn)代雷達, 2015, 37(9): 40-43.

YAN Zhisheng. Optimized design of the stepped-frequency signal waveform and its processing technology[J]. Modern Radar, 2015, 37(9): 40-43.

陳茜茜女，1989年生，碩士，工程師。研究方向為雷達信號處理、波形優(yōu)化。

鄧曉波男，1982年生，博士，高級工程師。研究方向為雷達信號處理、微弱目標檢測、波形優(yōu)化。

張廣磊男，1986年生，碩士，工程師。研究方向為雷達信號處理、MIMO雷達、陣列信號處理。

Waveform Design for Extended Target Detection under a Peak to Average Power Ratio Constraint

CHEN Xixi，DENG Xiaobo，ZHANG Guanglei

(AVIC Leihua Electronic Technology Institute, WUxi 214063, China)

Optimal waveform design for extended taret detection under the constraint of constant modulus is investigated. Firstly, the probability of detection as a function of the waveform is established. Then, considering the optimization of detection waveform for extended target under the constraint of constant modulus is a concave prblem, a method to transform the concave optimization problem to a convex optimization problem by converting the constant modulus constraint to peak to average power ratio (PAR) constraint is proposed. Finally, detection performance of the derived waveform is analyzed for a typical extended target model. Simulation results demonstrate that the optimized waveform has better performance than Barker code.

waveform design; extended target; peak to average power ratio; constant modulus

10.16592/ j.cnki.1004-7859.2016.09.007

陳茜茜Email：xixichen99@163.com

2016-04-22

2016-06-25

TP911.5

A

1004-7859(2016)09-0032-05