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        等積替換解幾何難題

        2016-11-14 20:36:29聶莉
        讀寫算·高年級(jí) 2016年11期
        關(guān)鍵詞:等積邊長(zhǎng)四邊形

        聶莉

        有些較復(fù)雜的幾何題直接求解比較困難,但我們?nèi)绻芮擅畹剡\(yùn)用等積替換的方法,就往往可以化難為易,輕松地解決問題。

        【例1】 如圖1,在長(zhǎng)方形ABCD中,AD=15厘米,AB=8厘米,陰影部分面積是70平方厘米,求四邊形EFGO的面積。

        【分析與解】題目要求的是一個(gè)不規(guī)則四邊形的面積,不少同學(xué)可能會(huì)感到束手無策,其實(shí)只要巧妙地進(jìn)行替換轉(zhuǎn)化,很快就能解決問題。

        因?yàn)椤鰽BF與△DBF同底等高,所以它們的面積相等,把它們的面積同時(shí)減去△EBF的面積,差也相等,即S△ABE=S△DEF。這樣就可以用△DEF的面積替代△ABE的面積,如圖2,很顯然,四邊形EFGO的面積就等于陰影部分的面積減去長(zhǎng)方形ABCD面積的一半,即70 15=10(平方厘米)。

        【例2 】 圖3中有兩個(gè)正方形,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12厘米,求圖中陰影部分的面積。

        【分析與解】這道題只知道一個(gè)正方形的邊長(zhǎng),要求陰影三角形的面積,似乎條件不足,但若采用替換法,問題就能順利解決。

        【解法一】因?yàn)樘菪蜟EFD的面積等于三角形EFB的面積(都是大、小正方形邊長(zhǎng)的和乘小正方形的邊長(zhǎng),再除以2),所以它們同時(shí)去掉梯形CEFO以后,面積仍相等。因此S△DOF可用S△BCO替代,陰影部分面積為S正方形ABCD,即122=72(平方厘米)。

        【解法二】連接CF(圖3中的虛線),因?yàn)镾△BCF=S△DCF(都是大正方形的邊長(zhǎng)乘小正方形的邊長(zhǎng),再除以2),所以它們同時(shí)去掉三角形CFO以后,面積仍相等,即S△BCO=S△DOF。因此S△DOF可用S△BCO替代,顯然,陰影部分的面積為122=72(平方厘米)。

        【例3】如圖4所示,已知三角形ABC的面積等于156平方厘米,是平行四邊形DCFE面積的2倍。三角形AED的面積等于多少平方厘米? 【分析與解】連結(jié)EC。因?yàn)镋D平行于AC,可知三角形AED與三角形EDC等高,因此三角形AED與三角形EDC的面積相等,即只要求出三角形EDC的面積就求出了三角形AED的面積。三角形EDC的面積等于平行四邊形DCFE的面積的一半,平行四邊形DCFE的面積又等于三角形ABC面積的一半,所以三角形EDC的面積等于156=39(平方厘米)。由此可得三角形AED的面積為39平方厘米。

        【例4】圖5是由一大一小兩個(gè)正方形組合而成,已知小正方形的邊長(zhǎng)是6厘米,請(qǐng)算出三角形ACB(陰影部分)的面積是多少平方厘米。

        【分析與解】連結(jié)AD。因?yàn)槿切蜛DB的面積等于小正方形的邊長(zhǎng)乘大正方形的邊長(zhǎng)再除以2,而三角形ADC的面積也等于小正方形的邊長(zhǎng)乘大正方形的邊長(zhǎng)再除以2,所以三角形ADB的面積等于三角形ADC的面積,又因?yàn)槿切蜛DF是這兩個(gè)三角形的公共部分,所以又可以得出三角形AFB的面積等于三角形DCF的面積。現(xiàn)在把三角形AFB的面積替換成三角形DCF的面積,因此,陰影部分的面積即為三角形BDC的面積:6=18(平方厘米)。

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