江芳英（武平縣第二中學(xué)，福建武平364300）

換元法在高中數(shù)學(xué)中的“魔法”應(yīng)用

江芳英
（武平縣第二中學(xué)，福建武平364300）

高中數(shù)學(xué)在教學(xué)中，以具體實(shí)例向?qū)W生介紹常見的整體換元、對(duì)稱換元、數(shù)字換元、均值換元、三角換元等方法，促進(jìn)學(xué)生使用換元法解決數(shù)學(xué)問題的思維水平。

整體換元；對(duì)稱換元；數(shù)字換元；均值換元；三角換元

換元法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，能夠讓復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，讓生疏問題熟悉化。

解題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化的方法叫換元法。常見的換元法有整體換元、對(duì)稱換元、數(shù)字換元、均值換元、三角替換等等。換元法在數(shù)學(xué)各分支具有廣泛的應(yīng)用，列舉如下：

一、在求函數(shù)解析式中的應(yīng)用

出現(xiàn)形如f［g（x）］=h（x）的問題中，常用整體換元。

二、在化簡(jiǎn)代數(shù)式中的應(yīng)用

即x3+3x-4=0，

此方程的唯一實(shí)根是1，故化簡(jiǎn)結(jié)果為1。

三、在解方程中的應(yīng)用

例3.解方程：x3+18x2+81x+8=0。

分析：這是三次方程，經(jīng)仔細(xì)觀察，若把9看成新的未知數(shù)，就可轉(zhuǎn)化為一元二次方程了.令9=t，得

xt2+（2x2+1）t+x3-1=0，

接下來，把t用數(shù)字換回，就可進(jìn)一步解出x了。

四、在求條件值域中的應(yīng)用

例4.已知x2-y2=4，求的取值范圍。

分析：利用三角替換，令x=2secθ，y=2tanθ（θ∈［0，

∴w∈（-6，10）。

常見三角替換有：已知a2+b2=1，令a=cosθ，b=sinθ，

已知|x|≤1，令x=cosθ，

已知|x|＞1，令x=secθ，

已知x∈R，令x=tanθ。（注意各參變量角度的范圍）

五、在三角函數(shù)中的應(yīng)用

例5.求W=sin3θ+cos3θ+sinθcosθ+sinθ+cosθ的取值范圍。

分析：考慮到sinθ+cosθ和sinθcosθ的關(guān)系，可令

∴Wmin=f（-1）=-2。

本例通過換元法，把比較復(fù)雜的三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)的值域，達(dá)到用導(dǎo)數(shù)解決問題的目的。

六、在數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)列中的換元法，往往和構(gòu)造新數(shù)列聯(lián)系在一起，其意圖大都是把一般數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差（比）數(shù)列。

例6.設(shè)b＞0，數(shù)列｛an｝滿足a1=b，

（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

分析：①因?yàn)閍1=b＞0，由已知得：

∴｛bn｝是一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，易得an=2，

∴｛bn｝是一個(gè)首項(xiàng)為的等比數(shù)列，

②根據(jù)（1）的結(jié)論，用分析法和綜合法（均值不等式）易證，從略。

七、在不等式中的應(yīng)用

在不等式的問題中，換元法也有很普遍的應(yīng)用。如已知a+b=1，比較的大小，可作均值換元，

例7.正數(shù)a、b、c適合a2+b2+c2=1，求證：

設(shè)a3+b3+c3=A，由1=a2+b2+c2，得

即a3+b3+c3。

本題用換元法容易從個(gè)數(shù)和指數(shù)方面加以推廣：

關(guān)于其它方面的問題，換元法還廣泛應(yīng)用于微積分中，如一些導(dǎo)數(shù)公式的推導(dǎo)，不定積分的求法等等。因篇幅所限，不再討論。通過上面事例，可發(fā)現(xiàn)換元法有如下特征：①?gòu)臅鴮懙慕嵌瓤?，解題中用到換元法時(shí)，最后要還原成原來變量；②新、舊變量的取值范圍及其關(guān)系，常是關(guān)注的焦點(diǎn)；③換元的一致性，即換元必須干凈、徹底；④換元法絕不是簡(jiǎn)單的“無中生有”，它需要較強(qiáng)的觀察力。只有具備了“大局觀”，并能妥善處理整體與局部的關(guān)系，才能更好地使用換元法。

［1］盧正勇.數(shù)學(xué)解題思路［M］.福州：福建教育出版社，1986.

［2］王欽敏.如何對(duì)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行有益的拓展與改造［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（1）.

［3］龍巖市普通教育教學(xué)研究室.2015屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)指導(dǎo)意見［Z］.2014.

（責(zé)任編輯：王欽敏）