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感受“軸對(duì)稱”的洪荒之力

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在圖形世界中，有著“點(diǎn)”的靈動(dòng)、“線”的灑脫、“面”的恢弘，其中，有一類圖形變換，看上去成雙成對(duì)，在圖形世界中獨(dú)放異彩.在此，讓我們以“將軍飲馬”為模型，感受一下“軸對(duì)稱”帶給我們的“洪荒之力”吧！

數(shù)學(xué)模型

傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者海倫，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)問(wèn)題.如圖1，將軍每天從軍營(yíng)A出發(fā)，先到河邊l飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開(kāi)會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？從此，這個(gè)被稱為“將軍飲馬”的問(wèn)題廣泛流傳，據(jù)說(shuō)海倫略加思索就解決了它.

圖1

圖2

解決方法

如圖2，過(guò)點(diǎn)A作關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，與l相交于C，則C點(diǎn)就是飲馬的地方，經(jīng)過(guò)C點(diǎn)走，行走路程最短，為AC+CB=A′C+CB= A′B的長(zhǎng)度.

如果將軍在點(diǎn)C外任一點(diǎn)C′處飲馬，所走的路程就是AC′+C′B，連接A′C′，由于AC′+ C′B=A′C′+C′B＞A′B.可見(jiàn)，在C點(diǎn)外任何一點(diǎn)C′處飲馬，所走的路程都要遠(yuǎn)一些.

這里有兩點(diǎn)需要說(shuō)明：（1）由作法可知，河流l相當(dāng)于線段AA′的中垂線，所以AC=A′C，AC′=A′C′，理論依據(jù)為“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”；（2）A′C′+C′B＞A′B的理論依據(jù)為“兩點(diǎn)之間線段最短”.

方法總結(jié)

1.審題確定關(guān)鍵要素：定點(diǎn)（A、B）、動(dòng)點(diǎn)（C）、對(duì)稱軸（l）；2.根據(jù)動(dòng)點(diǎn)（C）所在直線確定對(duì)稱軸（l）；3.畫(huà)出定點(diǎn)（A）關(guān)于對(duì)稱軸（l）的對(duì)稱點(diǎn)（A′）；4.連接所畫(huà)對(duì)稱點(diǎn)（A′）和另一個(gè)定點(diǎn)（B），所得線段（A′B）的長(zhǎng)度即為最短距離.

這是“將軍飲馬”模型的解決方法，其解題核心是借助“軸對(duì)稱”的性質(zhì)將線段“化折為直”.但數(shù)學(xué)的魅力在于它的變化莫測(cè)，題中定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)、位置的變化都會(huì)影響解題，但“萬(wàn)變不離其宗”，接下來(lái)讓我們看一看由此模型帶來(lái)的演變和拓展吧！

例1如圖3，在△ABC中，AC=BC，∠ACB= 90°，D是BC邊中點(diǎn)，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，要使EC+ED值最小，請(qǐng)畫(huà)出滿足該條件的點(diǎn)E的具體位置.

圖3

圖4

解析：如圖4，在線段EC、ED端點(diǎn)中，E為動(dòng)點(diǎn)，C、D為定點(diǎn)；動(dòng)點(diǎn)E所在直線AB為對(duì)稱軸；在定點(diǎn)C、D中任取一點(diǎn)C作關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)C′；連接所作對(duì)稱點(diǎn)C′與另外一定點(diǎn)D，線段C′D的長(zhǎng)度即為EC+ED的最小值，C′D與對(duì)稱軸AB的交點(diǎn)即為點(diǎn)E.

說(shuō)明：動(dòng)點(diǎn)的作用是確定對(duì)稱軸，一定點(diǎn)的作用是確定該定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，另一定點(diǎn)的作用是連接它與所作對(duì)稱點(diǎn)得一線段，該線段即為“最短距離”；動(dòng)點(diǎn)的具體位置為連線和對(duì)稱軸的交點(diǎn).本題關(guān)鍵首先是利用“軸對(duì)稱”的性質(zhì)“化折為直”，其次是依據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”.

例2如圖5，在等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線，M是AD上一動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，如果使ME+MC值最小，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出動(dòng)點(diǎn)E和M的具體位置.

圖5

圖6

解析：如圖6，線段ME、MC端點(diǎn)中的M、E為動(dòng)點(diǎn)，C為定點(diǎn)；動(dòng)點(diǎn)M、E所在直線AD或AC為對(duì)稱軸，但定點(diǎn)C在AC上，所以確定直線AD為對(duì)稱軸；作定點(diǎn)C關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)C′

（由等邊三角形的軸對(duì)稱性可知點(diǎn)C′與點(diǎn)B重合）；連接所作對(duì)稱點(diǎn)C′與另外一動(dòng)點(diǎn)E，得一線段（如圖C′E），因?yàn)辄c(diǎn)E在AC邊上滑動(dòng)，所以當(dāng)C′E⊥AC時(shí)，C′E才是最短的，此時(shí)E在E′處，C′E′的長(zhǎng)度即為ME+MC的最小值，垂足E′即為動(dòng)點(diǎn)E的具體位置，C′E′與AD的交點(diǎn)M′即為動(dòng)點(diǎn)M的具體位置.

說(shuō)明：例2與例1不同之處在于首先出現(xiàn)2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，因此在對(duì)稱軸的確定上需根據(jù)定點(diǎn)C的位置確定（若以直線AC為對(duì)稱軸，則定點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為本身，從而無(wú)法深入解題）；其次例1連接的是兩定點(diǎn)，而本例連接的是一定（C′）一動(dòng)（E），因此解題關(guān)鍵在于利用“軸對(duì)稱”的“化折為直”，再利用“點(diǎn)線之間，垂線段最短”.

例3如圖7，在四邊形ABCD中，∠BAD= 120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使得△AMN的周長(zhǎng)最小，并求此時(shí)∠AMN+∠ANM的度數(shù).

圖7

圖8

解析：如圖8，△AMN三頂點(diǎn)中M、N為動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)；動(dòng)點(diǎn)M、N所在直線BC、DC為對(duì)稱軸；作定點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，作定點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A″；連接所作對(duì)稱點(diǎn)A′與A″，線段A′A″的長(zhǎng)度即為△AMN周長(zhǎng)的最小值，A′A″與BC、DC的交點(diǎn)即為動(dòng)點(diǎn)M、N的具體位置；利用三角形和軸對(duì)稱的相關(guān)性質(zhì)求得∠AMN+∠ANM的度數(shù)為120°.

說(shuō)明：例3與例1、例2的不同在于△AMN周長(zhǎng)為三邊長(zhǎng)之和，是求AM+AN+MN的最小值，因此在“化折為直”的宗旨下，作了兩次軸對(duì)稱，將三條線段拼在了一條線段A′A″上，因?yàn)辄c(diǎn)A′、A″均為定點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，所以本題的理論依據(jù)為“點(diǎn)點(diǎn)之間，線段最短”.

以上3例均是圍繞“將軍飲馬”模型而展開(kāi)的，似變非變，各放異彩.同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)本章內(nèi)容、解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)，如果充分利用“軸對(duì)稱”的“洪荒之力”，必定會(huì)在“將軍飲馬”模型類題目的解決中所向披靡，百戰(zhàn)百勝！

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市新吳區(qū)第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校、江蘇省無(wú)錫市新吳區(qū)教師發(fā)展中心）