江蘇省江陰市利港中學(xué)八（11）班 韓昕豪

于折疊中尋“奧妙”

江蘇省江陰市利港中學(xué)八（11）班 韓昕豪

責(zé)任編輯：沈紅艷 見習(xí)編輯：李詩 email：czsshy@126.com

原題呈現(xiàn)：（1）小明將三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點(diǎn)A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展平紙片（如圖1）；再次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF（如圖2），小明認(rèn)為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請(qǐng)說明理由.（2）實(shí)踐與應(yīng)用：將長方形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為BE（如圖3）；再沿過點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)D落在BE上的點(diǎn)D′處，折痕為EG（如圖4）；再展平紙片（如圖5），求圖5中∠α的大小.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

這題在試卷中出現(xiàn)時(shí)我是第一次碰到，當(dāng)時(shí)看到題就有些心慌，雖然明白題目（1）的意思但卻不會(huì)書寫，由于書寫比較凌亂，直接導(dǎo)致第（2）問沒有做.正因?yàn)榇祟}的失誤讓我這次考試沒有得到理想的分?jǐn)?shù).試卷發(fā)下來后，我回家認(rèn)真靜心思考與訂正，我發(fā)現(xiàn)這題并不是很難.關(guān)鍵在于解題思路要清晰，書寫格式要規(guī)范，雖然題目比較長，但只要認(rèn)真閱讀，抓住折疊的本質(zhì)，這分就易得了.

我在訂正時(shí)，首先把心靜下來，趕走因題目太長帶來的煩躁不安，然后認(rèn)真閱讀，邊讀邊圈畫，按照老師一直強(qiáng)調(diào)的看到一個(gè)條件就開始聯(lián)想.比如：三角形紙片ABC（AB＞AC）沿過點(diǎn)A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展平紙片（如圖1），我就把目光集中在圖1，這里可以得到∠BAD=∠CAD；再次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF（如圖2），我就把目光集中在圖2上，感覺圖2的信息很多，假設(shè)AD和EF交于點(diǎn)O，那么AO=OD，EO=OF，AE=AF，如果這樣的話，那么△AEF就已經(jīng)是等腰三角形了，再次陷入考試時(shí)的死結(jié).我突然想到老師平時(shí)對(duì)做這類題目的要求，不會(huì)做的時(shí)候，按題目要求動(dòng)手操作，于是我就裁剪了一個(gè)三角形，然后按要求進(jìn)行翻折，當(dāng)?shù)诙畏蹠r(shí)，為了讓點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，我不斷進(jìn)行調(diào)整，這時(shí)發(fā)現(xiàn)E、F也在動(dòng)，頓時(shí)我就明白了，第二次翻折的時(shí)候，AE和AF是不能夠直接得到相等的，當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)D重合時(shí)，壓平展開后發(fā)現(xiàn)得到第二條折痕EF，AO=OD，但EO=OF是不能直接得到的.問題是AO=OD與證明三角形△AEF是等腰三角形無關(guān)，這讓我再次陷入困境.我又按要求操作了一遍，突然發(fā)現(xiàn)這兩條折痕是垂直的，加上∠BAD=∠CAD，這樣就可以利用三角形內(nèi)角和得到∠AEF=∠AFE，最后由等角對(duì)等邊得到△AEF為等腰三角形.這一結(jié)論讓我興奮不已，當(dāng)有了這個(gè)結(jié)論后，我又發(fā)現(xiàn)利用三角形全等也可以解決.

解：（1）由第一次折疊得：∠1=∠2，由第二次折疊得：EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°，在△AEO和△AFO中，∠1=∠2（已證），AO=AO（公共邊），∠AOE=∠AOF（已證），∴△AEO≌△AFO

（ASA），∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形.

（2）由第一次折疊得：∠BEF=45°，∠FED= 90°，∴∠BED=∠BEF+∠FED=135°，由第二次折疊得：∠BEG=∠BED=67.5°，∠BEF+∠α=∠BEG，∴∠α=∠BEG-∠BEF=22.5°.

當(dāng)我把此題訂正好后，突然想到第（1）題第二次折疊過程中，點(diǎn)A和點(diǎn)D關(guān)于折痕EF對(duì)稱，即EF為對(duì)稱軸，那么就可以得到AD⊥EF，AO=DO，馬上想到課堂上老師講過：軸對(duì)稱圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段的垂直平分線是該圖形的對(duì)稱軸，想通了就發(fā)現(xiàn)此題真的很簡單，自己考試時(shí)犯的錯(cuò)誤在于沒全面了解翻折得到的信息，現(xiàn)在我明白了圖形的翻折，折痕是對(duì)稱軸，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段的垂直平分線是該圖形的對(duì)稱軸.

另外，我還從此題訂正的過程中得到一個(gè)經(jīng)驗(yàn)，那就是遇到類似折紙等操作類題目，可先按要求動(dòng)手操作，操作的過程中，往往問題就可以輕松解決.

【教師點(diǎn)評(píng)】小作者能通過對(duì)一道考試錯(cuò)誤的題目進(jìn)行訂正，訂正時(shí)發(fā)現(xiàn)思路得不到突破，于是想到動(dòng)手操作，過程一波三折，可謂精彩.目前動(dòng)手翻折問題在各地中考試卷中是一個(gè)熱門題型，小韓同學(xué)把周考時(shí)的心里話說出來了：“第一次碰到，當(dāng)時(shí)考試時(shí)看到此題就有些心慌，雖然明白題目（1）的意思但卻不會(huì)書寫，由于書寫比較凌亂，直接導(dǎo)致第（2）問沒有做.”劉老師把它放在試卷最后一題，本題難就難在第一小問，如果同學(xué)們不動(dòng)手操作的話，思路會(huì)很混亂，而且不會(huì)書寫.只有通過自己靜心思考、操作后，在頭腦中清晰地浮現(xiàn)出操作過程，才能進(jìn)而發(fā)現(xiàn)此題考查的本質(zhì).劉老師之所以選中這篇反思，一是因?yàn)橄霌Q一種方式提醒和告誡同學(xué)們，今后遇到此類題目必須動(dòng)手操作；二是因?yàn)樵撐闹刑岬搅苏J(rèn)真閱讀，抓住折疊的性質(zhì)，這很好.后面馬上要學(xué)習(xí)勾股定理，此類翻折的題目將會(huì)大量出現(xiàn)，一定要?jiǎng)邮植僮鳎涀≌酆劬褪菍?duì)稱軸，然后去發(fā)現(xiàn)不變的角和線段之間的關(guān)系.

數(shù)學(xué)就是要這樣去研究.陷入其中者，愛之惜之樂之；門外轉(zhuǎn)悠者，畏之棄之恨之.

（指導(dǎo)教師：劉杰）

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