閔蒙蒙，何尚錄，羅宏偉

（蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

生產(chǎn)效率為二次函數(shù)的邊生產(chǎn)邊需求的EPQ模型

閔蒙蒙，何尚錄，羅宏偉

（蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

基于部分短缺量拖后的非瞬時(shí)補(bǔ)貨的EOQ模型，進(jìn)一步考慮生產(chǎn)效率為工作人員數(shù)目的二次函數(shù)的情況下，建立生產(chǎn)效率為二次函數(shù)的邊生產(chǎn)邊需求的EPQ模型。采用數(shù)值模擬和仿真的方法分析了人員數(shù)目對最優(yōu)解的影響，結(jié)果表明人員數(shù)目的增減可以改變補(bǔ)貨時(shí)間，卻不能改變總費(fèi)用。

工作人員數(shù)目；生產(chǎn)效率；補(bǔ)貨時(shí)間；邊生產(chǎn)邊需求

庫存管理是生產(chǎn)管理系統(tǒng)中極其重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，不僅有利于企業(yè)合理地計(jì)劃和安排生產(chǎn)，提高生產(chǎn)效率，而且可以大幅度地節(jié)省資金。而傳統(tǒng)的EOQ模型或EPQ模型具有嚴(yán)格假設(shè)條件，其假設(shè)計(jì)劃周期內(nèi)的采購價(jià)格、銷售價(jià)格、采購成本、市場需求、單位時(shí)間的庫存成本均為常數(shù)，且研究的物品不考慮變質(zhì)。隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，在現(xiàn)實(shí)生活中這些假設(shè)條件不可能同時(shí)成立，且任何物品都有其使用年限和保質(zhì)期，隨著物品的保存時(shí)間的延長，均會(huì)出現(xiàn)或多或少的變質(zhì)問題。近年來國內(nèi)外許多學(xué)者對經(jīng)典的EOQ模型進(jìn)行了推廣，將其中的若干個(gè)參數(shù)變量化。例如以需求和采購成本為變量的EOQ模型［1］，閔杰等提出的具有時(shí)變短缺量拖后率的EOQ模型［2］，毛曉麗提出的變庫存費(fèi)的變質(zhì)物品的EOQ模型［3］，羅兵等給出的一種邊生產(chǎn)邊需求的EOQ模型［4］等。在文獻(xiàn)［1-5］中，大多數(shù)假定需求完全依賴于庫存水平或是具有一定的短缺率；在文獻(xiàn)［6-11］中，眾多學(xué)者把需求和采購價(jià)格以及變質(zhì)系數(shù)作為影響最終的庫存策略決策的因素，從不同的角度給出了合理的解釋。

然而在孫士雅等的EOQ模型［6］中，其假設(shè)系統(tǒng)周期內(nèi)的生產(chǎn)速度和需求率均是常數(shù)，然而現(xiàn)實(shí)生活中由于需求的不同或者遇到突發(fā)情況時(shí)需要加快生產(chǎn)，從而必須改變生產(chǎn)速度，合理地配置人員也可以提高生產(chǎn)效率。本文在部分短缺量拖后的非瞬時(shí)補(bǔ)貨的EOQ模型基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮人員的合理配置對補(bǔ)貨時(shí)間的影響，也就是在同等生產(chǎn)效率的前提下應(yīng)該安排幾人可以達(dá)到提高效率同時(shí)節(jié)省資金。

1　符號與假設(shè)

基于孫士雅等人的EOQ模型［6］的假設(shè)，本文的假設(shè)如下。

（1）需求是連續(xù)均勻且依賴于庫存水平，即需求率。

（2）生產(chǎn)速度也就是生產(chǎn)效率。

其中a代表時(shí)間對生產(chǎn)效率的影響因子（a≠0），b代表生產(chǎn)效率增加因子（b≥0），c代表單位生產(chǎn)效率。

（3）每次生產(chǎn)的固定配置裝備費(fèi)用為K，每人的薪資為r。

（4）單位存儲(chǔ)費(fèi)用為c1，丟失定單損失費(fèi)用cr，單位缺貨費(fèi)用為c2。

（5）生產(chǎn)計(jì)劃周期時(shí)長為T，最大缺貨量為B1，最大庫存量為S。

（6）允許一定量的缺貨，補(bǔ)充需要一段時(shí)間。

2　模型建立

根據(jù)錢頌迪提出的允許缺貨且補(bǔ)貨需要一定時(shí)間的模型［7］，一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的庫存流量變化見圖1。根據(jù)圖1，假設(shè)庫存系統(tǒng)按照以下的規(guī)律重復(fù)運(yùn)行：（1）假設(shè)計(jì)劃生產(chǎn)周期是［0，T］，t1時(shí)刻開始生產(chǎn)。（2）［0，t1］期間庫存水平為零，B1為最大缺貨量，由于庫存水平為零，此間存在一定量的丟失定單損失。（3）［t1，t2］期間生產(chǎn)的產(chǎn)品部分用于滿足銷售需求，部分增補(bǔ)［0，t1］期間的缺貨，剩余的量儲(chǔ)存下來，期間實(shí)際的庫存水平仍然為零，也存在一定的損失費(fèi)用。（4）［t2，t3］期間內(nèi)生產(chǎn)的產(chǎn)品除了滿足銷售需求外，剩余產(chǎn)品儲(chǔ)存，以致庫存水平以v（x）-R的速度增加，直到t2時(shí)刻達(dá)到最大的庫存水平，停止生產(chǎn)。（5）［t3，T］時(shí)間內(nèi)庫存水平R的速度下降，直至庫存水平為零。

圖1　庫存流量變化圖

根據(jù)庫存水平變化流量圖以及上述假設(shè)可知，計(jì)劃生產(chǎn)期內(nèi)的最大缺貨量

將式（1）代入上式得

［t1，t2］時(shí)間段的丟失定單總量為

把式（1）代入B3化簡整理得

最大庫存水平量S=（V（x）-R）（t3-t2）或S=R（T-t3），從而解得

根據(jù)以上所得，整個(gè)計(jì)劃生產(chǎn)周期內(nèi)的總費(fèi)用由存儲(chǔ)費(fèi)用、丟失定單損失費(fèi)、缺貨費(fèi)用、固定生產(chǎn)配備費(fèi)和人工薪資5部分構(gòu)成。

①物品存儲(chǔ)費(fèi)用C1。

將式（4）代入上式求得

③丟失定單損失費(fèi)用Cr。

把式（2）、（3）代入上式整理可得

④固定生產(chǎn)配備費(fèi)用K。

⑤人工薪資rx。

綜合以上可知在［0，T］時(shí)間內(nèi)的總費(fèi)用是

考慮到邊生產(chǎn)邊需求的模型中，需要嚴(yán)格掌握庫存開始增加時(shí)刻（補(bǔ)貨時(shí)間）t2和計(jì)劃生產(chǎn)周期時(shí)長T。本文以min E（x，t2，T）為目標(biāo)函數(shù)，求出最佳的計(jì)劃生產(chǎn)周期時(shí)長T和庫存開始增加的時(shí)刻（補(bǔ)貨時(shí)間）t2。

3　模型分析與求解

3.1解析分析

根據(jù)以上分析，問題就轉(zhuǎn)化為求約束極值問題

由文獻(xiàn)［5］證明，當(dāng)x=x0時(shí)E（x，t2，T）是變量t2、T的凸函數(shù)，其關(guān)于變量t2、T的一階偏導(dǎo)數(shù)分別為

求得庫存開始增加時(shí)刻

進(jìn)一步得出最佳生產(chǎn)計(jì)劃周期時(shí)長

從而把式（13）、（14）代入式（8）可以得出在工作人員數(shù)目 x=x0時(shí)，生產(chǎn)周期內(nèi)的總費(fèi)用最優(yōu)值為

3.2算例與數(shù)值分析

為了進(jìn)一步分析工作人員數(shù)目對最優(yōu)值的影響，本文采用數(shù)值模擬的方法針對人員數(shù)目的不同取值求出對應(yīng)的庫存開始增加的時(shí)刻（補(bǔ)貨時(shí)間）和計(jì)劃生產(chǎn)周期長。

設(shè)單位的產(chǎn)品庫存保管費(fèi)用c1=6.5元，失去銷售機(jī)會(huì)造成的單位產(chǎn)品機(jī)會(huì)成本cr=7.0元，單位產(chǎn)品缺貨費(fèi)用c2=8.5，單位需求量R=10，生產(chǎn)效率V（x）=ax2+bx+c，每次生產(chǎn)設(shè)備費(fèi)用K=145元，每個(gè)人的單位時(shí)間的薪資 r=15，丟單系數(shù)α=0.5。

仿真步驟：

（1）取a=1.5，b=2.5，c=15，將x0=0，1，2，3，4，5循環(huán)代入式（13-15）求出對應(yīng)的，見圖2、圖3。

圖2　人員數(shù)目對庫存開始減少時(shí)刻的影響

圖3　人員數(shù)目對計(jì)劃時(shí)長的影響

根據(jù)圖2、圖3可知，當(dāng)單位效率一定時(shí)，如果工作人員數(shù)目增加，則庫存水平開始增加時(shí)刻（補(bǔ)貨時(shí)間）逐漸減小，而計(jì)劃生產(chǎn)時(shí)長先減小后增大，存在最小點(diǎn)。這一點(diǎn)反映了增加工作人員數(shù)目可以達(dá)到縮短補(bǔ)貨時(shí)間，但是同時(shí)也增加了總的花費(fèi)開支。

（2）當(dāng)x=x0=0，對a=1.5，b=2.5，

c=15，16，…，22，根據(jù)式（13-15）求出對應(yīng)的。然后繪出a、b、c對最優(yōu)庫存開始增加時(shí)刻t2（圖4）和計(jì)劃生產(chǎn)周期時(shí)長T的影響圖（圖5）。

據(jù)圖4、圖5可知，在不增加工作人員數(shù)時(shí)，若單位效率增加，則庫存開始增加時(shí)刻和計(jì)劃生產(chǎn)時(shí)長均逐漸減小。這說明在工作人員一定的前提下，通過提高單位生產(chǎn)效率可以達(dá)到縮短補(bǔ)貨時(shí)間和計(jì)劃生產(chǎn)周期，但是同時(shí)總的費(fèi)用也在逐步增加。

圖4　單位效率對庫存開始增加時(shí)刻的影響

圖5　單位效率對計(jì)劃時(shí)長的影響

綜合圖2～5可知，在工作人員數(shù)目為2時(shí)，通過其他方式不斷的提高單位生產(chǎn)效率可以做到既能提高效率又能節(jié)省資金的目的。

4　結(jié)語

本文在孫士雅等人的短缺量部分拖后的非瞬時(shí)補(bǔ)貨的EOQ模型的基礎(chǔ)上，修正了生產(chǎn)效率為工作人員數(shù)目的二次函數(shù)的邊生產(chǎn)邊需求的EPQ模型即式（13），進(jìn)一步分析了生產(chǎn)效率對庫存開始增加時(shí)刻和計(jì)劃生產(chǎn)周期以及最小平均費(fèi)用的影響，得出了通過提高單位生產(chǎn)效率，增加工作人員數(shù)目以便達(dá)到縮短補(bǔ)貨時(shí)間的結(jié)論。這些對于部分小型企業(yè)的生產(chǎn)計(jì)劃有一定的指導(dǎo)意義，可以節(jié)省資金和提高效率。若對于部分產(chǎn)品需要加快生產(chǎn)而時(shí)間為有限的情況下還可以構(gòu)設(shè)生產(chǎn)效率為時(shí)間線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的決定形式模型會(huì)進(jìn)一步復(fù)雜，將是接下來的研究工作。

［1］PADMANABHAN G，PREM VRAT.EOQ models for perishable item under stock dependent selling rate［J］.European Journal of Operational Research，1995，86（2）：281-292.

［2］閔杰，周永務(wù).帶有時(shí)變短缺量拖后率且需求依賴庫存水平的EOQ模型［J］.系統(tǒng)管理學(xué)報(bào)，2010，19（2）：222-227.

［3］毛曉麗.變庫存費(fèi)的變質(zhì)性物品的最優(yōu)訂貨策略［J］.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2001，18（3）：70-74.

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An EPQ Model of Production with Time-varying Demand Under Production Rate Dependent Quadratic Function

MIN Mengmeng，HE Shanglu，LUO Hongwei
（Department of Mathematics and Physics，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，Gansu，China）

In this paper，an EPQ Model of production with Time-varying Demand under production rate dependent quadratic function was established，which is based on the EOQ model for non-instantaneous replenishment with partial backlogging through further consideration of the production rate dependent Quadratic function of the number of staff.The influence of the number of people on the optimal solution is analyzed by numerical simulation method.The results show that the increase or decrease in the number of personnel can change the replenishment time，but not the total cost.

the number of staff；production rate；replenishment time；production demand

O227

A

1672-2914（2016）02-0045-04

2015-11-11

閔蒙蒙（1991—），男，陜西商洛市人，蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院碩士研究生，研究方向?yàn)檫\(yùn)籌學(xué)存儲(chǔ)論。

何尚錄，教授，Email：heshl@mail.lzjtu.cn。