宋學(xué)峰

（西北大學(xué) 數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)史研究中心，陜西 西安 710127）

論高斯在保形投影方面的貢獻(xiàn)

宋學(xué)峰

（西北大學(xué) 數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)史研究中心，陜西 西安 710127）

1822年高斯提出使任意兩曲面在最小部分保持相似的投影（即保形投影）的一般解法，并將這一結(jié)果以論文的形式發(fā)表于1825年。由于大地測(cè)量工作的需要，促使高斯考慮任意兩曲面間的保形投影問(wèn)題。高斯利用曲面的第一類基本量將問(wèn)題條件解析化；從曲面的參數(shù)方程出發(fā)，通過(guò)參數(shù)變換及消元法，在任意兩曲面間建立保形投影。高斯這一工作深刻影響著他后來(lái)的大地測(cè)量學(xué)以及內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)。

高斯；大地測(cè)量；保形投影；一般解法

從古至今，數(shù)學(xué)一直是大地測(cè)量學(xué)的重要基石，而實(shí)質(zhì)上大地測(cè)量學(xué)是幾何學(xué)在地球上的綜合應(yīng)用，是一門研究地球形狀大小和地球重力場(chǎng)，以及測(cè)定地面點(diǎn)幾何位置的學(xué)科。因此，將地球保形（即保持最小部分相似）地投影到平面是研究大地測(cè)量學(xué)的一個(gè)有效方法，而保形投影問(wèn)題早已開始被研究。早在希臘時(shí)期，托勒密（C Ptolemy，約100—170）在《平球法》中用到球極平面投影［1］131；1569年，墨卡托（G Mercator，1512—1594）作出一幅地圖，用到著名的墨卡托投影［1］193；18世紀(jì)末，蘭伯特（J H Lambert，1728—1777）、歐拉（L Euler，1707—1783）及拉格朗日（J L Lagrange，1736—1813）對(duì)球面到平面的保角投影都進(jìn)行過(guò)不同程度的分析［2］；1825年高斯（C F Gauss，1777—1855）發(fā)表論文《將一給定曲面投影到另一曲面而使最小部分保持相似的一般解法》，首次對(duì)任意兩曲面間的保形投影進(jìn)行詳細(xì)探究。［3］

就解決保形投影問(wèn)題方法來(lái)看，高斯的一般解法最具有一般性，它可以在任意兩曲面間建立保持最小部分相似的投影，因此，它可以被看作是解決保形投影問(wèn)題乃至微分幾何學(xué)的一個(gè)歷史轉(zhuǎn)折點(diǎn)。那么，高斯為什么會(huì)想到要給出一個(gè)一般解法？高斯是如何分析保形投影的一般解法？該一般解法的具體步驟是怎樣的？文獻(xiàn)［4-8］在介紹高斯的大地測(cè)量工作以及后期的內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)時(shí)提到高斯解決了任意兩曲面間的保形投影問(wèn)題，文獻(xiàn)［9］論述了高斯發(fā)表的論文《將一給定曲面投影到另一曲面而使最小部分保持相似的一般解法》產(chǎn)生的背景。本文將在前人研究的基礎(chǔ)上，從原始文獻(xiàn)出發(fā)，對(duì)高斯的這一工作進(jìn)行分析，探究高斯本人對(duì)保形投影問(wèn)題的想法。

1　一般解法的提出

18世紀(jì)末到19世紀(jì)初，隨著拿破侖戰(zhàn)爭(zhēng)的發(fā)動(dòng)以及歐洲經(jīng)濟(jì)發(fā)展的需要，迫使許多國(guó)家開始了全國(guó)的天文大地測(cè)量工作，其主要目的是為繪制全國(guó)地形圖提供大量地面上點(diǎn)的精確幾何位置，要進(jìn)行這項(xiàng)工作就必須有各等三角測(cè)量的精密大地控制網(wǎng)。1816年，高斯的學(xué)生、德國(guó)天文學(xué)家舒馬赫（H C Schumacher，1780—1850），受丹麥政府委托鋪設(shè)從斯卡根（Skagen）到勞恩堡（Lauenburg）的三角網(wǎng)，并進(jìn)行子午圈弧度測(cè)量，最后又將測(cè)量向南延伸到漢諾威王國(guó)的邊界［4］。次年，舒馬赫詢問(wèn)高斯是否有興趣合作并向南部延續(xù)丹麥網(wǎng)。高斯曾第二次在不倫瑞克期間進(jìn)行過(guò)一些大地測(cè)量的工作，他立刻被這個(gè)想法吸引［5］，于是向漢諾威政府提交了一份詳細(xì)報(bào)告，說(shuō)明弧度測(cè)量的必要性，很快他的計(jì)劃和所需要的經(jīng)費(fèi)都得到批準(zhǔn)，本人被任命為該項(xiàng)任務(wù)的領(lǐng)導(dǎo)者。因此高斯從事的整個(gè)大地測(cè)量工作及這方面的研究都和完成漢諾威弧度測(cè)量相關(guān)聯(lián)［6］。當(dāng)時(shí)高斯決定在地面上選取三座山峰Brocken、Hohehagen和Inselsberg的頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)大三角網(wǎng)，利用回照器以及最小二乘法測(cè)量推算兩端點(diǎn)間的弧度。也正是為了該漢諾威三角網(wǎng)，高斯擬定并應(yīng)用了旋轉(zhuǎn)橢球面到平面的保形投影。由于后期大地測(cè)量工作的需要，他又設(shè)計(jì)將旋轉(zhuǎn)橢球面保形地投影到球面。高斯深刻地意識(shí)到任意兩個(gè)曲面間的保形投影對(duì)于測(cè)量工作的重要性，且在1816年7月5日，高斯寫信給舒馬赫：

我想到一個(gè)有趣的問(wèn)題，即：一般地，將一給定曲面投影到另一（給定）曲面，使得在最小部分的圖像與原像是相似的。一個(gè)特殊情形是，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)曲面是一個(gè)球面第二個(gè)是一個(gè)平面時(shí)，球極平面投影和墨卡托投影是特殊解法，然而，我們希望有一種對(duì)于任意類型的曲面都適用的一般的解法，它涵蓋了所有這些特殊解法。［10］

舒馬赫利用職務(wù)之便建議哥本哈根科學(xué)院將上述問(wèn)題設(shè)為1821年的征獎(jiǎng)競(jìng)賽問(wèn)題，可是時(shí)經(jīng)一年該問(wèn)題仍沒(méi)有得到解答。最后，這個(gè)問(wèn)題由高斯于1822年12月11日正式解決［11］，且于1825年以題為《將一給定曲面投影到另一曲面而使最小部分保持相似的一般解法》的論文在一本天文學(xué)雜志Astronomischen Abhandlungen上發(fā)表，并具體給出其一般解法。

2　高斯對(duì)一般解法的分析

高斯首先對(duì)投影進(jìn)行具體討論，將一個(gè)曲面投影到另一個(gè)曲面實(shí)際上就是在兩個(gè)曲面間建立一個(gè)映射。他詳知曲面有三種表示形式，分別為一般方程、蒙日形式以及參數(shù)方程，對(duì)于該保形投影問(wèn)題，我們看出高斯采用最后一種形式，分別設(shè)兩個(gè)曲面為

其中t，u及T，U的值與各自曲面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，為曲面的曲紋坐標(biāo)。對(duì)此，高斯在論文中明確指出：“這（映射）可以通過(guò)設(shè)T，U等于兩個(gè)變量t，u的確定的函數(shù)來(lái)完成?！保?2］193也就是當(dāng)兩個(gè)曲面的參數(shù)t，u與T，U間建立關(guān)系時(shí)，那么這兩個(gè)曲面間的投影就建立了。

曲面間的投影有很多種，每一種都要滿足各自相應(yīng)的條件，因此，T，U關(guān)于t，u的函數(shù)就不再是任意的。它們需滿足：（1）由兩個(gè)曲面的性質(zhì)決定的條件，比如平面和球面之間不能建立保長(zhǎng)映射，這曾被歐拉論證過(guò)［2］；（2）投影要滿足的條件，比如在最小部分保持相似。

對(duì)于保形投影，高斯采用無(wú)窮小分析法將這個(gè)具體問(wèn)題數(shù)學(xué)化，把最小部分投影圖像相似轉(zhuǎn)化為任意對(duì)應(yīng)小三角形相似，也就是對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)成比例以及對(duì)應(yīng)夾角相等，且由弧長(zhǎng)比值來(lái)衡量其相似程度。他利用勾股定理求出兩對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)微元成比例也即兩曲面的第一基本形式成比例，又因比例與dt、du無(wú)關(guān)得出第一個(gè)曲面上的第一類基本量a2+b2+c2，aa′+bb′+cc′，a′2+b′2+c′2與第二個(gè)曲面上第一類基本量A2+B2+C2，AA′+BB′+CC′，A′2+B′2+C′2對(duì)應(yīng)成比例。利用余弦公式求出對(duì)應(yīng)夾角的余弦，并由前面討論的兩曲面對(duì)應(yīng)的第一類基本量成比例可推出對(duì)應(yīng)夾角的余弦相等，因此他論述道：“第二個(gè)條件已蘊(yùn)含在第一個(gè)條件之中?！保?2］195這里的“第一個(gè)條件”指的是對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)成比例，“第二個(gè)條件”是對(duì)應(yīng)夾角相等。最后得出該問(wèn)題的條件可以解析地表示為即兩曲面對(duì)應(yīng)的第一類基本量成比例，它是t和u的函數(shù)。高斯把它設(shè)為m2，稱m為“放大率比例”［12］19，且用它來(lái)刻畫該投影的保形性。特殊情況下，比值會(huì)是一個(gè)常數(shù)，此時(shí)兩曲面在有限部分是相似的；當(dāng)比值為1時(shí)，這個(gè)有限部分的相似就會(huì)成為相等，也就是兩個(gè)曲面可以相互展開。因此，綜合以上分析可知，高斯解決保形投影問(wèn)題的關(guān)鍵就在于該如何確立兩曲面參數(shù)間的關(guān)系，并求出對(duì)應(yīng)的放大率比例。

3　一般解法的步驟

高斯詳細(xì)給出了該問(wèn)題一般解法的具體步驟，即確定滿足條件的T，U關(guān)于t，u的函數(shù)，求出對(duì)應(yīng)的m。首先，為方便計(jì)算，他將原曲紋坐標(biāo)（t，u），（T，U）變換為等溫參數(shù)系下的坐標(biāo)（p，q），（P，Q）。設(shè)第一個(gè)曲面上的弧長(zhǎng)微元的平方為

現(xiàn)今稱其為該曲面的第一基本形式。又設(shè)ω=0并將其因式分解為關(guān)于dt和du的兩個(gè)一次因式乘積的形式，即

因此，上述兩因子中至少有一個(gè)為零。高斯憑借把實(shí)解析函數(shù)看做復(fù)解析函數(shù)的技巧，利用兩個(gè)變量的一次微分形式的積分因子的存在性，先令上述dt和du的兩個(gè)因式均為零，再對(duì)其積分，最后設(shè)得出的結(jié)果為 p±iq=常量，其中 p，q是t，u的實(shí)函數(shù)。因此有

同理可得

這里P、Q、N均是T、U的實(shí)函數(shù)。其次，由上一部分對(duì)問(wèn)題條件的分析可知如果兩曲面在最小部分相似，那么它們的第一基本形式就得滿足關(guān)系Ω=m2ω，因此有

高斯由此推出滿足前面條件的P，Q與p，q之間的關(guān)系。由于上式右邊一定是關(guān)于t，u的一個(gè)函數(shù)，那么上式左邊的分子一定會(huì)被分母整除，因此對(duì)應(yīng)于兩種情況，也就是兩種解法：dP+idQ可被dp+idq整除且dP-idQ可被dp-idq整除或者是dP+idQ可被dp-idq整除且dP-idQ可被dp+idq整除。對(duì)于第一種情況，如果dp+idq=0，那么必有dP+idQ=0，即如果p+iq=常量，那么P+iQ=常量，因此P+iQ是 p+iq的函數(shù)，同理P-iQ是p-iq的函數(shù)。對(duì)于第二情況，P+iQ為p-iq的函數(shù)，P-iQ為p+iq的函數(shù)。因此他設(shè)第一種情況為

f為任意函數(shù)，由 f的性質(zhì)選取合適的 f′。為了使數(shù)組（p，q）分別經(jīng)上述 f和 f′作用后得到的數(shù)組（P，Q）是相同的，如果 f中的系數(shù)全為實(shí)數(shù)，那么 f′與 f相同，否則 f′僅取 f的共軛即可。由于P，Q為T，U的實(shí)函數(shù)，p，q為t，u的實(shí)函數(shù)，因此通過(guò)上式相互約減可得

最后，由消元法可推出滿足問(wèn)題條件的T，U與t，u之間的函數(shù)關(guān)系。第二種解法得出的結(jié)果也是兩曲面在最小部分相似，只是將第一種解法的結(jié)果位置顛倒。到此高斯總結(jié)性地說(shuō)：“由此預(yù)先給定的問(wèn)題就被完全地和非常一般地解決了?！保?2］198

作為一般解法的結(jié)果，高斯由前面的推導(dǎo)具體給出了當(dāng) f和 f′選定后投影的放大率比例的計(jì)算公式。設(shè)對(duì) f和 f′微分后的函數(shù)分別為φ和φ′，因此會(huì)有

根據(jù)式（1），高斯定義：放大率比例由式（2）確定。［12］199

式中?=φ（p+iq）·φ′（p-iq）。 dp2=（dp）2，同理dq2=（dq）2，dP2=（dP）2，dQ2=（dQ）2。也即

為了說(shuō)明解法的一般性，高斯在1825年的論文中給出五個(gè)例子，首先他用平面到平面的投影具體解釋了它們之間是如何相似的，其次又分別列舉出從直錐面、球面、旋轉(zhuǎn)橢球面到平面的保形投影，最后給出將旋轉(zhuǎn)橢球面保形地投影到球面的例子。1844年和1847年在舒馬赫的雜志中刊登了高斯的兩篇通稱“大地測(cè)量學(xué)研究”的論文，這兩篇論文中，高斯在上面第五個(gè)例子的基礎(chǔ)上又引入一個(gè)常量，設(shè) fυ=αυ-ilnk，對(duì)如何用旋轉(zhuǎn)橢球面在球面上的保形投影理論來(lái)解決大地測(cè)量問(wèn)題作出解答［4］。

4　結(jié)語(yǔ)

由于漢諾威弧度測(cè)量的需要，高斯意識(shí)到任意兩個(gè)曲面間建立保形投影的重要性，并且詳細(xì)地給出了該投影的一般解法。他首先將保形投影的條件解析化，從曲面的參數(shù)方程出發(fā)，為了方便計(jì)算將原曲紋坐標(biāo)（t，u），（T，U）變換為等溫參數(shù)系下的坐標(biāo)（p，q），（P，Q），然后根據(jù)第一基本形式要滿足的問(wèn)題的解析條件推出P，Q與p，q之間的關(guān)系，再通過(guò)消元法得出T，U與t，u之間滿足條件的關(guān)系，最后由放大率比例計(jì)算公式得出對(duì)應(yīng)的放大率比例m。

高斯對(duì)保形投影一般解法的研究不僅解決了自己在1816年提出的問(wèn)題，而且對(duì)他后期大地測(cè)量研究工作以及后來(lái)高斯-克呂格投影的形成具有重要意義。此外，高斯在解法中用到的曲紋坐標(biāo)及給出的曲面的第一基本形式對(duì)其后來(lái)內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)的誕生做了很重要的鋪墊，并在1827年發(fā)表的論文《關(guān)于曲面的一般研究》中提出“一個(gè)曲面本身就是一個(gè)空間”的內(nèi)蘊(yùn)幾何思想。

［1］莫里斯·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想：第1冊(cè)［M］.張理京，張錦炎，江澤涵，等，譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2014.

［2］STRUIK D J.Outline of a history of differential Geometry:I［J］.Isis，1933（19）：92-120.

［3］袁向東.高斯［C］//吳文俊.世界著名數(shù)學(xué)家傳記.北京：科學(xué)出版社，1995：749-773.

［4］吳世杰，謝世杰.高斯在大地測(cè)量學(xué)上的成就［J］.測(cè)繪通報(bào)，1988（6）：1-5.

［5］BüHLER W K.Gauss:a biographical study［M］.New York：Springer-Verlag，1981：95-96.

［6］巴格拉圖尼P D.卡·弗·高斯——大地測(cè)量研究簡(jiǎn)述［M］.許厚澤，王廣運(yùn)，譯.北京：測(cè)繪出版社，1957：16-17.

［7］PETER D.Differential geometry-150 years after gauss’disquisitiones generales circa superficies curves［J］.Asterisque，1979，62：1-153.

［8］KOLMOGOROV A N，YUSHKEVICH A P.Mathematics of the 19thcentury，geometry，analytic function theory［M］.Boston：Birkhauser Verlag，1966：7-16.

［9］陳惠勇.高斯哥本哈根獲獎(jiǎng)?wù)撐募捌鋵?duì)內(nèi)蘊(yùn)微分幾何的貢獻(xiàn)［J］.內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007，36（6）：771-774.

［10］GAUSS C F.Gauss werke VIII［M］.Herausgegeben von der K.Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen，1900：370-371.

［11］STACKEL P.Gauss als Geometer［M］//Gauss Werke X（2），Abhandlung 4.Herausgegeben von der K.Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen，1900：90-92.

［12］GAUSS C F.Gauss werke IV［M］.Herausgegeben von der K.Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen，1880.

Gauss’s Research in Terms of the Conformal Projection

SONG Xuefeng
（Center for the History of Mathematics and Science，Northwest University，Xi’an 710127，Shaanxi，China）

In 1822，Gauss proposed a general solution of the projection（Conformal projection）of keeping the smallest parts of any two surfaces similar，and published this result in the form of papers in 1825.Due to the need of Geodetic works，which encouraged Gauss to consider the problem of Conformal projection between any two surfaces；he used the the first fundamental amount of surface to brief the conditions of problem；from the parameters equation of the surface and by the parameter conversion and elimination method to establish conformal projection between any two surfaces.At last noting that this work of Gauss impact on his later Geodesy and intrinsic geometry deeply.

Gauss；geodesy；conformal projection；general solution

N09

A

1672-2914（2016）02-0025-04

2015-12-11

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11571276，11501444）。

宋學(xué)峰（1989—），女，山西陽(yáng)高縣人，西北大學(xué)數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)史研究中心碩士研究生，研究方向?yàn)榻F(xiàn)代數(shù)學(xué)史。