劉擎銳

勻強(qiáng)磁場(chǎng)對(duì)平行粒子束的匯聚作用，即為粒子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)的偏轉(zhuǎn)后，能聚焦于場(chǎng)中的某點(diǎn).為達(dá)到匯聚的目的，在粒子基本屬性（質(zhì)量和電量）相同的前提下，一般地，粒子射入的速度矢量（速度的大小和方向）、磁場(chǎng)邊界的形狀需要滿(mǎn)足一些特殊的要求.涉及此種問(wèn)題，在習(xí)題中比較常見(jiàn)的有兩類(lèi)情況.

1兩類(lèi)匯聚情況基本原理

在xOy平面內(nèi)存在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里.一質(zhì)量m，電荷量q（q>0）的粒子組成的平行粒子束，在第Ⅰ象限內(nèi)沿著-x方向射入該磁場(chǎng)，經(jīng)偏轉(zhuǎn)匯聚于坐標(biāo)原點(diǎn)O.依據(jù)磁場(chǎng)邊界和粒子速度的不同情形，可分為兩類(lèi)情況：第一類(lèi)是圓弧邊界——等速、不同向粒子；第二類(lèi)是直線邊界——不等速、同向粒子.

1.1圓弧邊界——等速、不同向粒子

若以y 軸上點(diǎn)O1為圓心，R為半徑的圓構(gòu)成圓弧磁場(chǎng)邊界，射入粒子的速度大小v0.如圖1所示，選取第Ⅰ象限磁場(chǎng)邊界上的任意一點(diǎn)P（x、y），一粒子過(guò)P點(diǎn)后，經(jīng)偏轉(zhuǎn)匯聚于O點(diǎn).

設(shè)對(duì)應(yīng)粒子運(yùn)動(dòng)半徑r，圓心O2.其軌跡如圖1中虛線所示，P點(diǎn)為軌跡的最高點(diǎn).連接PO2延長(zhǎng)交x軸于A點(diǎn)，在Rt△AO2O中，各邊關(guān)系滿(mǎn)足勾股定理x2+（y-r）2=r2，此即為磁場(chǎng)邊界滿(mǎn)足的方程.分析可知：只要磁場(chǎng)邊界在第Ⅰ象限內(nèi)是以O(shè)1（0、r）為圓心，r為半徑的半圓，那么粒子必將被匯聚于O點(diǎn)，也就是說(shuō)，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑r與已知圓形邊界的半徑R相等是平行粒子束被匯聚的條件.被匯聚于O點(diǎn)的粒子速度大小相等，方向分布在與+x軸夾0°～180°范圍內(nèi).

1.2直線邊界——不等速、同向粒子

若過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線構(gòu)成磁場(chǎng)邊界，如圖2所示，設(shè)直線方程y=kx，選取磁場(chǎng)邊界上的任意一點(diǎn)P（x、y），粒子過(guò)P點(diǎn)偏轉(zhuǎn)后，匯聚于O點(diǎn).設(shè)對(duì)應(yīng)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑r，圓心O1，其軌跡如圖2中虛線所示，P點(diǎn)為軌跡的最高點(diǎn).

連接PO1交x軸于A點(diǎn)，在Rt△AO1O中，各邊關(guān)系滿(mǎn)足勾股定理

x2+（r-y）2=r2，

再結(jié)合直線方程y=kx，得x=2kr1+k2.

設(shè)∠AOO1=θ，則cosθ=xr=2k1+k2.

為一定值，即匯聚于O點(diǎn)的粒子具有相同的速度方向.該方向?yàn)榕c+x方向夾π2+θ角，且斜向左下.為保證射向直線邊界的粒子能被匯聚于O點(diǎn)，要求平行粒子束具有不同的速度大小，其速度大小v沿y軸縱向的分布滿(mǎn)足v=（1+k2）qB2mk2y，相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)半徑r應(yīng)滿(mǎn)足1+k22k2y，其值與邊界射入點(diǎn)的位置及直線邊界的斜率等有關(guān).被匯聚于O點(diǎn)的粒子速度大小不等，方向相同.

2兩類(lèi)匯聚情況比較

3.1圓弧邊界——等速、不同向粒子題型變式

（1）粒子源射出的粒子偏轉(zhuǎn)為平行粒子束

只要改變粒子的電性或使磁場(chǎng)方向反向，由處于坐標(biāo)原點(diǎn)O的粒子源向各個(gè)方向射出的等速粒子，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)就會(huì)形成平行粒子束，如圖3所示.若粒子射向第Ⅰ、Ⅱ象限，或只在第Ⅰ象限，那么相應(yīng)的磁場(chǎng)邊界只需要第Ⅰ象限內(nèi)的半圓或四分之一圓即可.

（2）匯聚情況的最小磁場(chǎng)面積

要能夠使粒子匯聚或者形成平行粒子束，對(duì)于不同向、等速的粒子而言，存在著磁場(chǎng)最小面積的問(wèn)題.一個(gè)典型的變式如圖4所示，射向第Ⅰ象限的粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后均沿+x方向，那么磁場(chǎng)的最小面積應(yīng)是由兩個(gè)等半徑的四分之一圓弧圍成的面積.其中上邊界恰好為沿+y方向射出的粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，下邊界是其余所有粒子軌跡最高點(diǎn)的集合，恰好構(gòu)成以（0，r）為圓心，運(yùn)動(dòng)軌跡半徑為半徑的圓弧.類(lèi)似的，如粒子向其他方向射出，也同樣存在最小磁場(chǎng)的問(wèn)題.

據(jù)可逆性，對(duì)平行粒子束的匯聚磁場(chǎng)最小面積也可依據(jù)相同的方法得出.

3.2直線邊界——不等速、同向粒子題型變式

（1）粒子源射出的粒子偏轉(zhuǎn)為平行粒子束

只要改變粒子的電性或使磁場(chǎng)方向反向，由處于坐標(biāo)原點(diǎn)O的粒子源向確定方向射出的不等速粒子，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)就會(huì)形成平行粒子束，如圖5所示.粒子的速度隨y軸坐標(biāo)的增大而增加.

（2）匯聚情況的速率極值

如果對(duì)直線邊界的端點(diǎn)加以限制，那么就存在著平行粒子束的速率極大值問(wèn)題，常見(jiàn)的是直線與其他圖形構(gòu)成三角形、矩形等的情況.如圖6所示，從△OCD的頂點(diǎn)C射出的粒子具有速度的極大值，我們可以通過(guò)平行粒子束的最大運(yùn)動(dòng)半徑來(lái)確定這個(gè)最大速率值.