劉永新

(哈爾濱電機(jī)廠有限責(zé)任公司,哈爾濱 150040)

?

模型水輪機(jī)折射窗結(jié)構(gòu)及算法研究

劉永新

(哈爾濱電機(jī)廠有限責(zé)任公司,哈爾濱 150040)

為了解決水輪機(jī)模型試驗(yàn)中轉(zhuǎn)輪空化現(xiàn)象觀測(cè)不準(zhǔn)確的問(wèn)題,筆者根據(jù)費(fèi)馬原理建立了模型水輪機(jī)折射窗的數(shù)學(xué)模型,并基于拉格朗日插值算法,利用MATLAB開(kāi)發(fā)平臺(tái)求解折射窗觀察板與錐管壁夾角的最優(yōu)解,得到折射窗的結(jié)構(gòu)尺寸。試驗(yàn)結(jié)果表明:水輪機(jī)模型試驗(yàn)采用拉格朗日插值算法得到的模型水輪機(jī)折射窗結(jié)構(gòu),便于測(cè)試人員準(zhǔn)確觀測(cè),可以提高水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪空化試驗(yàn)判定的準(zhǔn)確性。

模型水輪機(jī);空化;折射窗;插值算法

在水輪機(jī)模型試驗(yàn)中,當(dāng)流道中水流局部壓力降至臨界壓力時(shí),將會(huì)發(fā)生空化現(xiàn)象[1],空穴周圍的介質(zhì)要填充空穴潰滅后的空間而形成高速微射流,這種微射流作用到金屬表面會(huì)產(chǎn)生疲勞破壞,造成水力機(jī)械的效率和出力降低,引起機(jī)械裝置的劇烈振動(dòng)[2-3],影響機(jī)組的安全運(yùn)行[4]。目前,預(yù)測(cè)水輪機(jī)內(nèi)部空化流動(dòng)的試驗(yàn)方法是用閃頻儀以轉(zhuǎn)速頻率相近的頻率向觀測(cè)部位打光,當(dāng)發(fā)現(xiàn)3個(gè)或3個(gè)以上葉片開(kāi)始出現(xiàn)氣泡時(shí),就定義當(dāng)時(shí)的空化系數(shù)為初生空化系數(shù)[5]。由于轉(zhuǎn)輪位于透明錐管上部,因此測(cè)試人員需要大角度仰視才能觀察到,而且觀測(cè)角度的不同將導(dǎo)致觀測(cè)結(jié)果偏差,從而直接影響到水輪機(jī)空化性能的判定結(jié)果。為此,本文根據(jù)費(fèi)馬原理提出一種便于觀測(cè)轉(zhuǎn)輪空化現(xiàn)象的折射窗結(jié)構(gòu)及其求解方法,有效地解決了模型水輪機(jī)轉(zhuǎn)輪空化現(xiàn)象判定不準(zhǔn)確的問(wèn)題。

1　折射窗結(jié)構(gòu)分析

根據(jù)費(fèi)馬原理,光在均勻介質(zhì)中傳播時(shí)遵從直線傳播定律、反射和折射定律。不論光線正向傳播還是逆向傳播,必沿同一路徑。費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)的基本原理,本文根據(jù)費(fèi)馬原理研究光線在模型裝置中的傳播軌跡。錐管折射窗的原理圖如圖1所示。

圖1　錐管折射窗原理圖

由圖1可知,折射窗由觀察板和兩塊側(cè)板組成。在轉(zhuǎn)輪空化試驗(yàn)觀測(cè)時(shí),折射窗內(nèi)充滿水,利用光線在不同介質(zhì)間的折射作用,測(cè)試人員通過(guò)平視觀察板即可看清透明有機(jī)玻璃錐管上部轉(zhuǎn)輪的圖像。在錐管折射窗設(shè)計(jì)過(guò)程中,最重要的就是折射窗觀察板與錐管壁夾角r的確定。在圖1中,光線在傳播過(guò)程中共發(fā)生4次折射,分別在錐管壁和錐管內(nèi)水溶液間、錐管壁和折射窗內(nèi)水溶液間、折射窗內(nèi)水溶液和折射窗觀察板間、折射窗觀察板和空氣間。有機(jī)玻璃錐管壁厚、折射窗觀察板壁厚與光線傳播距離相比,在工程應(yīng)用上可以忽略不計(jì);同時(shí),光線進(jìn)出玻璃錐管兩側(cè)均穿過(guò)相同介質(zhì),此時(shí)光線的傳播方向沒(méi)有變化,僅發(fā)生小范圍的平移。為簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程,在滿足工程應(yīng)用前提下,僅保留折射窗觀察板前后的折射。錐管折射窗原理簡(jiǎn)圖如圖2所示。

圖2　錐管折射窗原理簡(jiǎn)圖

在圖2中,B處水平線為觀測(cè)者視線,A點(diǎn)為被觀測(cè)點(diǎn)。D為轉(zhuǎn)輪上被觀測(cè)點(diǎn)A的直徑,mm;h為轉(zhuǎn)輪上被觀測(cè)點(diǎn)A到觀測(cè)者視線的垂直距離,mm;L為轉(zhuǎn)輪上被觀測(cè)點(diǎn)A到觀察板與透明錐管外壁交點(diǎn)C的豎直方向距離,mm;M為觀察板上觀測(cè)點(diǎn)距離錐管壁的水平距離,mm;β為透明有機(jī)玻璃錐管壁與水平面夾角,∠a為折射角,∠b為入射角,r為折射窗觀察板與錐管壁的夾角。由此可得到如下計(jì)算公式:

1.33=sin∠a/sin∠b

(1)

90°-∠a+γ+β=180°

(2)

tan(∠a-∠b)=h/(D+M)

(3)

sinr/M=sin(β+γ)/[(L-h)/sinβ]

(4)

由式(1)～(4)可得,折射窗觀察板與錐管壁夾角r的關(guān)系為:tan{β+γ-90°-arcsin[sin(γ+β-90°)/1.33]}=h×sinβ×sin(γ+β)/[D×sinβ×sin(γ+β)+

(L-h)×sinr]

(5)

通過(guò)式(5)求得夾角r后,折射窗的其它尺寸可根據(jù)錐管尺寸確定,同時(shí)還應(yīng)避開(kāi)錐管上布置的測(cè)點(diǎn)及其它附屬結(jié)構(gòu)。

2　模型水輪機(jī)折射窗算法

在科學(xué)計(jì)算中,經(jīng)常遇到所需資料的空白或缺少,為補(bǔ)全缺少的資料,統(tǒng)計(jì)分析常采用插值估計(jì)法[6]。本文針對(duì)夾角r,亦采用插值法求解,利用函數(shù)f(r)在區(qū)間[10,60]中插入若干點(diǎn)的函數(shù)值,得出適當(dāng)?shù)奶囟ê瘮?shù),在這些點(diǎn)上取已知值,在區(qū)間的其它點(diǎn)上用這特定函數(shù)的值作為函數(shù)f(r)的近似值,以此來(lái)求得r的近似最優(yōu)值。本文以拉格朗日算法為例,簡(jiǎn)述夾角r的求解過(guò)程。

2.1插值問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

在r∈[10,60]取n+1個(gè)點(diǎn)r0,ri,…,rn。通過(guò)方程式(5)的h=f(r),,可以得到對(duì)應(yīng)的n+1個(gè)函數(shù)值hi=f(ri);i=0,1,2,…,n。構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單插值函數(shù)h=P(r),該函數(shù)滿足:hi=P(ri);i=0,1,2,…,n。也就是說(shuō),函數(shù)y=P(x)構(gòu)造的曲線要經(jīng)過(guò)h=f(r)上已知的這n+1個(gè)點(diǎn):(r0,h0),(r1,h1),…,(rn,hn),此時(shí)P(r)為r∈[10,60]上次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式。

2.2拉格朗日插值算法

已知函數(shù)h=f(r)在n+1個(gè)不同點(diǎn)r0,ri,…,rn上的函數(shù)值分別為h0,h1,…,hn,求一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式Pn(ri)=hi;i=0,1,2,…,n,即n+1個(gè)不同的點(diǎn)可以唯一確定一個(gè)n次多項(xiàng)式。

通過(guò)n+1個(gè)不同的點(diǎn)分別確定n+1個(gè)n次插值基函數(shù)K0(r),K1(r),…,Kn(r),每個(gè)插值多項(xiàng)式Ki(ri)是n次多項(xiàng)式:Ki(ri)=1,而在其它n個(gè)Ki(rj)=0,j≠i。由于Ki(rj)=0,故有因子(r-r0)…(r-ri-1)(r-ri+1)…(r-rn)。因其已經(jīng)是n次多項(xiàng)式,故僅相差一個(gè)常數(shù)因子。令K1(r)=a(r-r0)…(r-ri-1)(r-ri+1)…(r-rn);由于Ki(ri)=1,可以求出a,然后得出:

(6)

由于Pn(r)是n+1個(gè)n次插值基本多項(xiàng)式K0(r),K1(r),…,Kn(r)的線性組合,相應(yīng)的組合系數(shù)是h0,h1,…,hn。由此可以得到Pn(r)=h0K0(r)+h1K1(r)+…+hnKn(r),即Pn(r)是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式,且滿足Pn(ri)=hi,i=0,1,2,…,n。再通過(guò)求解簡(jiǎn)單插值函數(shù)h=P(r),即可得到夾角r的近似最優(yōu)解。

2.3MATLAB軟件在折射窗上的應(yīng)用

MATLAB是美國(guó)Math Works公司研發(fā)的數(shù)學(xué)工具軟件,與Mathematic、Maple并列為三大數(shù)學(xué)軟件[7],用于算法開(kāi)發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)計(jì)算機(jī)語(yǔ)言。本文采用MATLAB軟件展開(kāi)拉格朗日多項(xiàng)式,具體算法流程如圖3所示。應(yīng)用MATLAB軟件在本文提及的算法中可以使用很少的代碼實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單插值函數(shù)h=P(r)的求解,最終實(shí)現(xiàn)對(duì)近似最優(yōu)夾角r的求解。

圖3　MATLAB算法流程圖

3　結(jié)　論

1) 在預(yù)測(cè)水輪機(jī)內(nèi)部空化流動(dòng)試驗(yàn)時(shí),基于費(fèi)馬原理建立模型水輪機(jī)折射窗數(shù)學(xué)模型,采用拉格

朗日插值算法,將MATLAB軟件應(yīng)用于折射窗計(jì)算,可以求解得到模型水輪機(jī)折射窗的結(jié)構(gòu)尺寸。

2) 該水輪機(jī)模型試驗(yàn)得到的模型水輪機(jī)折射窗結(jié)構(gòu),具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、安裝方便等優(yōu)點(diǎn),能降低測(cè)試人員的工作強(qiáng)度,并避免因?yàn)橛^測(cè)角度不同導(dǎo)致的觀測(cè)偏差,提高了水輪機(jī)測(cè)試技術(shù)水平。

[1] 王正偉. 流體機(jī)械基礎(chǔ)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2006.

WANG Zhengwei. Foundation of fluid machinery[M]. Beijing: Tsinghua University, 2006.

[2] 徐朝輝,徐東海,吳玉林,等.水泵與水輪機(jī)空化狀態(tài)監(jiān)測(cè)與診斷的研究進(jìn)展[J].農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào),2003,34(1):139-142.XU Zhaohui, XU Donghai, WU Yulin, et al. Monitor and diagnose of cavitation in pump and hydroturbine[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Machinery, 2003,34(1):139-142.

[3] 蒲中奇,張偉,施克仁,等.水輪機(jī)空化在線監(jiān)測(cè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)[J].電力系統(tǒng)自動(dòng)化, 2004,28(21):62-64.

PU Zhongqi, ZHANG Wei, SHI Keren, et al. Design of hydroturbine cabitation online monitoring sysem[J]. Automation of Electric Power Systems, 2004,28(21):62-64.

[4] 熊妍,屈波,霍志紅,等.基于振動(dòng)技術(shù)的水輪機(jī)空化監(jiān)測(cè)系統(tǒng)開(kāi)發(fā)[J].電子測(cè)試,2014(2):7-9.

XIONG Yan, QU Bo, HUO Zhihong, et al. Development of vibration-based caviation monitoring system for hydraulic turbine[J]. Electronic Test, 2014(2):7-9.

[5] 徐洪泉,王萬(wàn)鵬.水輪機(jī)空化系數(shù)及其對(duì)水力性能的影響[J].大電機(jī)技術(shù),2010(5):44-47.

XU Hongquan, WANG Wanpeng. Cavitation coefficient of turbine and its effect to hydraulic performance[J]. Large Electric Machine and Hydraulic Turbine, 2010(5):44-47.

[6] 蘇正君.拉格朗日插值算法淺解[J].電子設(shè)計(jì)技術(shù),2014(2):24.

SU Zhengjun. Analysis of lagrange interpolation algorithm[J]. EDN China, 2014(2):24.

[7] 王素立,高潔.MATLAB混合編程與工程應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社,2008.

WANG Suli, GAO Jie. MATLAB mixed programming and project application[M]. Beijing: Tsinghua University, 2008.

(責(zé)任編輯侯世春)

Research on model turbine refraction window structure and algorithm

LIU Yongxin

(Harbin Electric Machinery Company Limited, Harbin 150040, China)

In order to avoid the inaccurate observation of runner cavitation in turbine model test, the author established the mathematical model of turbine refraction window according to Fermats principle, and worked out the structure size of refraction window according to the optimal solution of the angle between refraction window observation plate and conical tube wall through MATLAB by Lagrange interpolation algorithm. The test result shows that the model turbine refraction window structure calculated by lagrange interpolation algorithm is convenient for accurate observation and is able to enhance the judgment accuracy of turbine runner cavitation test.

model turbine; cavitation; refraction window; interpolation algorithm

2016-01-06;

2016-02-19。

劉永新(1985—),男,工程師,主要從事水輪機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)工作。

TK730.7

A

2095-6843(2016)04-0371-03