呂書(shū)龍， 劉文麗， 梁飛豹， 葉福玲

(福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 福建 福州　350116)

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數(shù)理統(tǒng)計(jì)直觀教學(xué)的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與R程序?qū)崿F(xiàn)

呂書(shū)龍， 劉文麗， 梁飛豹， 葉福玲

(福州大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 福建 福州350116)

針對(duì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)中關(guān)于格列汶科定理、正態(tài)抽樣定理、點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)在教學(xué)中的常見(jiàn)疑惑和問(wèn)題進(jìn)行討論與分析，通過(guò)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和R程序，以圖形方式加以直觀解決。該實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)一方面促進(jìn)了學(xué)生對(duì)于數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論與方法的理解、提升了教學(xué)效果，另一方面也為R軟件在教學(xué)上的應(yīng)用提供一種思路。

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)； R軟件； 數(shù)理統(tǒng)計(jì)； 直觀教學(xué)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)獨(dú)特的思維方式、抽象的理論、多學(xué)科知識(shí)的融合和豐富的應(yīng)用，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)這門(mén)課程時(shí)存在著一定的困難[1]。數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)在于如何把統(tǒng)計(jì)思想和統(tǒng)計(jì)方法闡述清楚，并將其應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中，這一點(diǎn)在文獻(xiàn)[2-3]中有充分闡述。關(guān)于統(tǒng)計(jì)思想和方法論的教育，有很多學(xué)者發(fā)表了富有建設(shè)性的觀點(diǎn)，例如在教學(xué)中充分利用統(tǒng)計(jì)軟件[4]和仿真技術(shù)[5]，強(qiáng)化實(shí)驗(yàn)教學(xué)[6]和設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)[7-10]等。

本文借助R軟件強(qiáng)大的隨機(jī)模擬和繪圖功能[11]，針對(duì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的疑難點(diǎn)，特別是對(duì)抽象的統(tǒng)計(jì)思想及原理，提出以實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和圖形展示為主的直觀教學(xué)[12]模式，并以格列汶科定理、正態(tài)抽樣定理、點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)的教學(xué)為例予以說(shuō)明，目的是促進(jìn)學(xué)生對(duì)課程內(nèi)容的理解、提升教學(xué)效果，同時(shí)也嘗試培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和創(chuàng)新應(yīng)用能力。

1　格列汶科定理

設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x)，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為Fn(x)，則格列汶科定理可以描述成：

ns=c(30,50,100,200,400,500,800,1000)

y=seq(-4,4,by=0.001)

par(mfrow=c(2,4))

for (i in 1:8)

{plot(y, pnorm(y), type=′l′)

x=rnorm(ns[i])

lines(ecdf(x),cex=0.1)

text(-2.5,0.9,paste(′n=′,ns[i],sep=″′))

}

由圖1可粗略地看出，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)要較好地逼近分布函數(shù)，n不能太小。當(dāng)n為100和200時(shí)，從逼近程度看還是可以接受的；若想得到更好的逼近效果，n應(yīng)不小于200。從教學(xué)角度講，直觀地展示定理結(jié)論是一方面，而了解定理的適用條件也是必要的。因此建議把尋找滿足某個(gè)逼近標(biāo)準(zhǔn)的最小樣本容量n的問(wèn)題作為課外探索題，這樣更能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)定理的理解程度。

圖1　經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與分布函數(shù)比較

該定理的特別之處在于它研究的是|Fn(x)-F(x)|變量的偏差上界，雖然理論上已經(jīng)對(duì)它的分布做了證明并能給出相應(yīng)的概率，但還是沒(méi)給出n多大時(shí)才能較可靠地使用這個(gè)定理。不妨通過(guò)抽樣模擬來(lái)刻畫(huà)這個(gè)過(guò)程：以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為例，讓樣本容量n從10變到500，對(duì)每個(gè)n，模擬100次得到100個(gè)樣本，并計(jì)算每個(gè)樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與分布函數(shù)偏差的最大值，再計(jì)算最大值序列的極差，最后畫(huà)極差圖(見(jiàn)圖2)，R程序如下：

getmax=function(size,n)

{a=numeric(size)

for(i in 1:size){

x=rnorm(n); tmp=ks.test(x,′pnorm′)

a[i]=tmp$statistic} #利用ks檢驗(yàn)得到最大偏差

return(a)

}

n=seq(10,500,by=10);nlen=length(ns)

mat=matrix(0,nrow=2,ncol=nlen)

for(i in 1:nlen) mat[,i]=range(getmax(100, n[i]))

plot(n, mat[1,], ylim=c(0,max(mat[2,])+0.01), cex=0.5)

points(n, mat[2,], cex=0.5)

for(i in 1:nlen) lines(c(n[i], n[i]), mat[,i])

從圖2可直觀看出，極差變化先隨n的變大快速變窄，當(dāng)n≈200時(shí)，極差變化趨于平緩，之后基本保持不變。可見(jiàn)n≥200是個(gè)不錯(cuò)的選擇，這也進(jìn)一步肯定了圖1的結(jié)論。

圖2　最大偏差的極差圖

2　正態(tài)抽樣定理的一個(gè)直觀描述

n=100;times=1000;mean=1;sd=2;N1=99; N2=100;sn=numeric(times);tmp=(n-1)/(sd^2)

for(i in 1:times){

set.seed(i); x=rnorm(n,mean,sd);sn[i]=tmp*var(x)}

plot(ecdf(sn),verticals=TRUE,do.point=FALSE)

nx=seq(70,140,by=1)

lines(nx,pchisq(nx,N1),lty=2,lwd=2)

lines(nx,pchisq(nx,N2),lty=4)

legend(130,0.8,c(′經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)′,′chisq(99)′, ′chisq(100)′),lty=c(1,2,4), cex=0.75, lwd=c(1,2,1)

圖3　(n-1)S2/σ2與χ2(99)，χ2(100)的比較

3　矩估計(jì)和極大似然估計(jì)的比較

矩估計(jì)方法簡(jiǎn)單易用，但也有明顯的缺點(diǎn)，例如估計(jì)量表示不唯一、樣本信息利用不充分等。極大似然估計(jì)能克服矩估計(jì)的缺點(diǎn)，在實(shí)際中應(yīng)用更廣泛。相信學(xué)生并不喜歡這樣的比較，而若能配置一個(gè)實(shí)例進(jìn)行直觀展示，將會(huì)收到良好的教學(xué)效果。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)為：從總體U(0,θ) (不妨設(shè)θ=10)中抽取容量n=20的一個(gè)樣本，計(jì)算θ的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)，重復(fù)40次后繪制估計(jì)值(見(jiàn)圖4)，R程序如下：

#est1和est2 分別記錄每次的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)值

n=20; times=40;est1=rep(0,m);est2=rep(0,m)

for(i in 1:times)

{ x=runif(n,0,10); est1[i]=2*mean(x);est2[i]=max(x)}

plot(1:m,est1,type=″l″, ylim=c(min(c(est1,est2))-0.1,max(c(est1,est2))+0.1) )

points(1:m,est1); lines(1:m,est2)

points(1:m,est2,pch=16);abline(h=10)#畫(huà)出真值直線

圖4　均勻分布參數(shù)兩種估計(jì)的比較

4　參數(shù)的置信區(qū)間

給定置信度1-α，從正態(tài)總體中抽取50個(gè)隨機(jī)數(shù)，計(jì)算均值的置信區(qū)間；重復(fù)該過(guò)程N(yùn)次(N=100)得到N個(gè)置信區(qū)間并繪制成空心端點(diǎn)垂線圖，然后繪制真值水平線，將沒(méi)被水平線穿過(guò)的區(qū)間用實(shí)心端點(diǎn)表示(見(jiàn)圖5)，R程序如下：

Confidence = function(n=50,times=100,mu=0,sd=1,alpha=0.05)

{interval=matrix(0,nrow=times, ncol=2)

for(i in 1:times){

x=rnorm(n,mu,sd);mx=mean(x)

u_half=qnorm(1-alpha/2,mu,sd)*sd/sqrt(n)

interval[i,]=c(mx-u_half,mx+u_half)}

miny=min(interval)-0.01;maxy=max(interval)+0.01

plot(1:times,seq(miny,maxy,length=times),type=′n′)

abline(h=mu)

for(i in 1:times){

if(prod(interval[i,]-mu)>0) points(c(i,i),interval[i,],pch=16)

else points(c(i,i),interval[i,],pch=1)

lines(c(i,i),interval[i,])}

}

Cofidence(50,100,0,1,0.05)

在置信度為95%的前提下，不包含參數(shù)真值的區(qū)間數(shù)不超過(guò)5次，從圖5可看出：該模擬有3次不包含真值，符合這個(gè)要求。顯然Nα只是不包含真值這個(gè)事件的頻數(shù)，受樣本的隨機(jī)波動(dòng)影響，不具有嚴(yán)格的相等性約束。

圖5　置信度的一次模擬圖形

5　關(guān)于最短雙側(cè)置信區(qū)間的討論

ns=c(2,4,6,8,10,15,20,25,30)

alpha=0.05

par(mfrow=c(3,3))

for(n in ns)

{ mat=matrix(0,nrow=200,ncol=2)

standar=c(qchisq(alpha/2,n),qchisq(1-alpha/2,n))

mat[,1]=seq(standar[1]/20,standar[1]*1.2,length=200)

for(i in 1:200)

{ p=pchisq(mat[i,1],n)

mat[i,2]=qchisq(p+1-alpha,n)

}

plot(mat[,2]-mat[,1],type=′l′,xlab=paste(′n=′,n,sep=′′),ylab=′區(qū)間長(zhǎng)度′)

abline(h=standar[2]-standar[1])

}

上述過(guò)程直觀地展示了標(biāo)準(zhǔn)置信區(qū)間的漸進(jìn)收斂性，是對(duì)區(qū)間估計(jì)教學(xué)的直觀補(bǔ)充，更是對(duì)習(xí)慣性使用標(biāo)準(zhǔn)置信區(qū)間的一種直觀解釋。此外，還可以將尋找最短置信區(qū)間留作課后探索性實(shí)驗(yàn)題，讓學(xué)生探討置信區(qū)間的常規(guī)求解方法。

從圖6還看到：當(dāng)自由度n≥20時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)置信區(qū)間長(zhǎng)度已經(jīng)很接近最短區(qū)間長(zhǎng)度。此處n≥20可作為區(qū)間估計(jì)實(shí)際應(yīng)用的一種參考；其次也說(shuō)明此時(shí)χ2(n)的分布已經(jīng)很接近對(duì)稱型分布了。實(shí)際上，從χ2(n)的構(gòu)造定義知其滿足獨(dú)立同分布中心極限定理的條件，于是容易推出χ2(n)的漸進(jìn)分布為正態(tài)分布N(n,2n)，而正態(tài)分布就是對(duì)稱型分布，這就不難解釋上述的結(jié)論。以下給出不同自由度下χ2(n)的密度函數(shù)比較(見(jiàn)圖7)，R程序如下：

ns=seq(10,40,by=10)

par(mfrow=c(1,4))

for(n in ns)

{

x=seq(0.01,n*2,by=0.1)

plot(x,dchisq(x,n),type=′l′,xlab=paste(′n=′,n,sep=″))

}

圖6　χ2(n)不同自由度下置信區(qū)間的比較

圖7　χ2(n)的密度函數(shù)

6　結(jié)語(yǔ)

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中引入R統(tǒng)計(jì)軟件是一種趨勢(shì)，利用R強(qiáng)大的隨機(jī)模擬和繪圖功能，通過(guò)設(shè)計(jì)合理的實(shí)驗(yàn)和編寫(xiě)程序，可將數(shù)理統(tǒng)計(jì)的概念、理論和方法演繹得更生動(dòng)、更直觀。這種直觀的處理方式可增強(qiáng)學(xué)生對(duì)課程知識(shí)的理解，也能提升課程內(nèi)容的趣味性和實(shí)用性，更能激發(fā)學(xué)生的探索興趣和創(chuàng)造性。現(xiàn)在已有越來(lái)越多的學(xué)生主動(dòng)關(guān)注利用R軟件和統(tǒng)計(jì)方法去解決實(shí)際的問(wèn)題。

References)

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Experimental design and R program realization of intuitive teaching of mathematical statistics

Lü Shulong, Liu Wenli , Liang Feibao, Ye Fuling

(College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou 350116. China)

This paper discusses the doubts and problems of the Glivenko-Cantelli theorem, sampling theory, point estimation and interval estimation in mathematical statistics teaching, and puts forward the experimental design and R programs to graphically solve them directly. It not only promotes the students’ understanding of mathematical statistics and improves the teaching effects, but also enhances the application of R software in the teaching fields.

experimental design; R software; mathematical statistics; intuitive teaching

10.16791/j.cnki.sjg.2016.10.036

2016-03-29

福建省本科高校教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目(JAS151395)；福州大學(xué)研究生優(yōu)質(zhì)課程建設(shè)項(xiàng)目(52004634,52004612)；福州大學(xué)高等教育教學(xué)改革工程(52001024,52001069)

呂書(shū)龍(1977—)，男，福建閩侯，碩士，副教授，主要研究方向?yàn)楦怕式y(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)計(jì)算和統(tǒng)計(jì)應(yīng)用.E-mail：wujispace@126.com

O212.1；TP311

A

1002-4956(2016)10-0142-05