侯小秋

(黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院， 黑龍江 哈爾濱 150022)

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確定性多變量非線性系統(tǒng)的在線修正參數(shù)預(yù)測(cè)濾波PID控制

侯小秋

(黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院， 黑龍江 哈爾濱 150022)

針對(duì)確定性多變量NARMAX模型，分析了其可采用PID控制的約束條件。提出一種增量型預(yù)測(cè)濾波解耦PID控制算法，基于遞推參數(shù)估計(jì)算法對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，采用逐步迭代預(yù)報(bào)算法進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)合一種可克服算法病態(tài)的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)控制算法和Robbins-Monro算法，給出了確定性多變量NARMAX模型的具有在線修正參數(shù)的預(yù)測(cè)濾波PID控制算法，因指標(biāo)函數(shù)中含有輸出的預(yù)測(cè)值，故算法具有加快PID控制參數(shù)收斂到有效值速度的性能。仿真研究表明，因?yàn)樗岢龅腜ID算法具有在線修正參數(shù)和預(yù)測(cè)控制的性能，故系統(tǒng)具有較好的控制品質(zhì)。

自適應(yīng)控制；預(yù)測(cè)控制；PID控制；參數(shù)估計(jì)；迭代預(yù)測(cè)；確定性多變量NARMAX模型

PID控制已有許多文獻(xiàn)研究其理論和應(yīng)用問題，其技術(shù)關(guān)鍵核心是PID控制參數(shù)的離線整定和在線修正及優(yōu)化，結(jié)合近代控制理論已提出了一些PID控制算法。張燕紅[1]歸納了PID控制器參數(shù)自整定方法，各種方法都有自己的適應(yīng)對(duì)象和特點(diǎn)，而關(guān)于具有濾波的PID控制器參數(shù)自整定方法研究的文獻(xiàn)較少見。任俊如[2]討論了預(yù)測(cè)PID控制器的研究現(xiàn)狀，歸納起來，主要有兩種：(1)基于預(yù)測(cè)控制原理的擴(kuò)展PID控制器，主要依據(jù)一些先進(jìn)的控制機(jī)理，其本質(zhì)是基于預(yù)測(cè)控制原理，由多個(gè)PID控制器組合而成的基于模型的擴(kuò)展PID控制器，是一種便于在DCS上實(shí)現(xiàn)的經(jīng)過簡(jiǎn)化的預(yù)測(cè)控制算法；(2)預(yù)測(cè)原理和PID原理相結(jié)合的控制算法，包括預(yù)估器和PID控制器，這兩部分是分別獨(dú)立的，類似于Smith預(yù)估控制器，最早是由Hagglund在1992年提出，由預(yù)測(cè)控制和PI控制兩部分組成，和普通的PID控制器相比，這種預(yù)測(cè)PI控制器可以對(duì)大滯后過程的輸出進(jìn)行預(yù)測(cè)，并且具有抑制高頻噪聲的特點(diǎn)。文獻(xiàn)[3]研究了單變量CARMAX模型在線修正參數(shù)的自適應(yīng)PID控制，但所提出的算法不具有預(yù)測(cè)控制性能和濾波性能，指標(biāo)函數(shù)中只含有輸出的當(dāng)前值，不具有加快PID控制參數(shù)收斂速度的性能，但算法對(duì)隨機(jī)干擾的性質(zhì)要求低；文獻(xiàn)[4]研究了具有預(yù)測(cè)控制性能和濾波性能，并且具有加快PID控制參數(shù)收斂速度的單變量隨機(jī)線性系統(tǒng)的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的在線修正參數(shù)的自適應(yīng)PID控制；文獻(xiàn)[5]研究了多變量CARMAX模型的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)PID控制。本文提出一種具有預(yù)測(cè)控制性能和濾波性能，并且具有加快PID控制參數(shù)收斂速度的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的確定性多變量NARMAX模型的自適應(yīng)預(yù)測(cè)濾波PID控制。

1　參數(shù)估計(jì)和預(yù)測(cè)算法

1.1確定性多變量NARMAX模型

確定性多變量NARMAX模型為

(1)

其中

式中t為離散時(shí)刻，y(t)為n維系統(tǒng)輸出，u(t)為n維系統(tǒng)輸入，Y(t-1)為系統(tǒng)輸出集合，U(t-d)為系統(tǒng)輸入集合，θ為未知參數(shù)，d為系統(tǒng)時(shí)滯，F(xiàn)(…)為n維向量函數(shù)，f(…)為函數(shù)，n1，n2為階數(shù)。

1.2參數(shù)估計(jì)

未知參數(shù)θ采用文獻(xiàn)[6]的非線性遺忘因子遞推最小二乘算法估計(jì)。

1.3迭代預(yù)測(cè)算法

1.3.1迭代預(yù)測(cè)算法1

(2)

(3)

式(2)代入式(3)得

(4)

式中F1(…)為n維向量函數(shù)。如此迭代得

(5)

式中

令j=d得

(6)

1.3.2迭代預(yù)測(cè)算法2

由式(1)迭代得到

(7)

式中

1.4采用PID控制的約束條件

由式(1)可知當(dāng)如下條件成立時(shí)，可采用PID控制

(8)

2　多變量增量型預(yù)測(cè)濾波解耦PID控制

傳統(tǒng)的多變量增量型濾波解耦PID控制為

(9)

式中ri(t)為參考輸入，Hi(q-1)=1+hiq-1，Δ=1-q-1，Si(q-1)=si,0+si,1q-1+si,2q-2，hi，si，0，si，1，si，2為可調(diào)參數(shù)。

不失一般性，為書寫簡(jiǎn)化研究n=2情形。則控制器可調(diào)參數(shù)向量η為

(10)

3.1梯度表達(dá)式算法1

式(1)、式(5)兩邊分別對(duì)ηi(i=1，2，…，8)求偏導(dǎo)，得

(11)

(12)

式(10)兩邊對(duì)h1，h2求偏導(dǎo)，得

(13)

(14)

(15)

(16)

式(10)兩邊分別對(duì)sp，l，sk，l求偏導(dǎo)，得

(17)

(18)

3.2二階導(dǎo)數(shù)矩陣表達(dá)式算法1

式(11)兩邊對(duì)ηl(l=1，2，…，8)求偏導(dǎo)，得

(19)

式(12)兩邊對(duì)ηp(p=1，2，…，8)求偏導(dǎo)，得

(20)

式(13)兩邊對(duì)h1求偏導(dǎo)，得

(21)

同理可求得?2u1(t)/?hk?hp,?2u2(t)/?hk?hp。式(13)兩邊對(duì)s1，l(l=0，1，2)求偏導(dǎo)，得

(22)

同理可求得?2u1(t)/?hk?sp，l,?2u2(t)/?hk?sp，l。式(17)兩邊對(duì)hw求偏導(dǎo)，得

(23)

同理可求得?2u1(t)/?sp，l?hk,?2u2(t)/?sp，l?hk。式(17)兩邊對(duì)sw,r求偏導(dǎo)，得

(24)

同理可求得?2u1(t)/?si，l?sj，r,?2u2(t)/?si，l?sj，r。

3.3梯度表達(dá)式算法2

式(7)兩邊對(duì)ηi(i=1，2，…，8)求偏導(dǎo)，得

(25)

3.4二階導(dǎo)數(shù)矩陣表達(dá)式算法2

式(25)兩邊對(duì)ηp(p=1，2，…，8)求偏導(dǎo)，得

(26)

4　在線修正參數(shù)的預(yù)測(cè)濾波PID控制

為加快PID參數(shù)收斂的速度，選取

(27)

式中：pi，λi為加權(quán)因子。參考文獻(xiàn)[5，7]的可克服算法病態(tài)的直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)控制算法和文獻(xiàn)[8]的Robbins-Monro算法，可得如下自適應(yīng)預(yù)測(cè)濾波PID控制：

(28)

(29)

(30)

5　仿真研究

被控對(duì)象為

式中參數(shù)的形式為

θ11=0.5+0.25t/400，

θ21=0.25+0.15t/400，

θ22=0.2-0.15t/400，

系統(tǒng)的參考輸入r1(t)=(-1)·＾r(nóng)ound(t/100)，r2(t)=(-0.6)·＾r(nóng)ound(t/100)。輸入的飽和限幅為U1max=0.6，U2max=0.4。

待估參數(shù)的初始參數(shù)略。

采用MATLAB7.01語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn)仿真研究，圖1給出PID控制時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線，圖2給出PID控制參數(shù)的在線修正曲線，限于篇幅只給出h1，s1,0的修正曲線。

由圖1(a)、(b)可看出，采用無修正參數(shù)控制的響應(yīng)曲線的控制品質(zhì)差，其超調(diào)較大，調(diào)節(jié)時(shí)間較長(zhǎng)，而且有振蕩。由圖1(c)、(d)可看出，在0≤t<200時(shí)，由于PID控制參數(shù)偏離其有效值，造成系統(tǒng)的控制品質(zhì)不良，表現(xiàn)在系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)較大，調(diào)節(jié)時(shí)間較長(zhǎng)；在200≤t≤400時(shí)，因PID控制參數(shù)已收斂到有效值，故系統(tǒng)具有良好的控制品質(zhì)，表現(xiàn)在系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)較小，調(diào)節(jié)時(shí)間較短。由圖2可看出，PID控制參數(shù)在系統(tǒng)動(dòng)態(tài)時(shí)有修正，在系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)無修正，符合算法的物理意義。

6　結(jié)　論

(1)給出確定性多變量NARMAX模型采用PID控制的約束條件；

(2)提出一個(gè)具有預(yù)測(cè)控制性能的多變量增量型預(yù)測(cè)濾波解耦PID控制算法；

(3)基于系統(tǒng)模型和增量型預(yù)測(cè)濾波PID控制算法，給出了系統(tǒng)輸出﹑系統(tǒng)輸入和系統(tǒng)輸出預(yù)測(cè)值的關(guān)于PID控制參數(shù)的梯度表達(dá)式和二階導(dǎo)數(shù)矩陣表達(dá)式；

(4)給出了確定性多變量NARMAX模型的在線修正參數(shù)的自適應(yīng)預(yù)測(cè)濾波PID控制算法；

(5)因所提出算法的指標(biāo)函數(shù)中含有控制輸入的增量約束項(xiàng)，則提出的PID控制算法具有柔化控制量變化減少對(duì)系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)沖擊的性能；

(6)算法的BIBO穩(wěn)定性和算法的收斂性有待研究，并將提出的PID控制算法推廣到隨機(jī)NARMAX模型上。

(a) 無修正的y1(t)響應(yīng)曲線　　　　　　　　　　　　　(b) 無修正的y2(t)響應(yīng)曲線

(c) 有修正的y1(t)響應(yīng)曲線　　　　　　　　　　　　　(d) 有修正的y2(t)響應(yīng)曲線圖1　系統(tǒng)響應(yīng)曲線

(a) 參數(shù)h1的修正曲線　　　　　　　　　　　　　　　(b) 參數(shù)s1,0的修正曲線圖2　PID控制參數(shù)的修正曲線

[1]張燕紅.PID控制器參數(shù)自整定方法綜述[J].常州工學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，21(4)：49-53.

[2]任俊如.改進(jìn)的預(yù)測(cè)PID控制器的研究與設(shè)計(jì)[D].武漢：武漢科技大學(xué)，2011：1-3.

[3]侯曉秋.直接極小化指標(biāo)函數(shù)的自適應(yīng)PID控制[J].黑龍江科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，18(1)：47-50.

[4]侯小秋.CARMAX模型的在線修正參數(shù)預(yù)測(cè)濾波PID控制[J].黑龍江科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，25(6)：686-691.

[5]侯小秋.多變量CARMAX模型的在線修正參數(shù)預(yù)測(cè)濾波PID控制[J].黑龍江科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，26(1)：68-74.

[6]侯曉秋.非線性隨機(jī)系統(tǒng)具有遺忘因子的遞推最小二乘法[J].黑龍江科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，18(4)：306-309.

[7]TRULSSON E,LJUNG L.Adaptive control based on explicit criterion minimization[J].Automatica，1985，21(4)：385-399.

[8]蕭德云.系統(tǒng)辨識(shí)理論及應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2014：189-192.

[責(zé)任編輯：謝 平]Prognosis-filtering PID control with on-line modifying parameter for a deterministic multivariable nonlinear system

[文章編號(hào)]1673-2944(2016)05-0035-08

HOU Xiao-qiu

(School of Electronics and Controlling Engineering, Heilongjiang University of Science and Technology,Harbin 150022, China)

The constraint conditions being applicable to the deterministic multivariable NARMAX model were analyzed. Based on the increment-type predictive-filtering control algorithm, the parameter estimation of the system model was conducted by using the recursive parameter estimation algorithm, and the prognosis was conducted by using step-by step iterative predictor algorithm. Combining the self-tuning control algorithm of direct minimization index function with solving ill-controlled and the Robbins-Monro algorithm, a prognosis-filtering PID control algorithm with the characterizations of on-line modifying parameter was developed for the deterministic multivariable NARMAX model. The algorithm exhibits a character of speeding the convergence of PID control parameter due to the index function containing the predicting values of the outputs. The simulation results indicate that the system exhibits very good controlling characterization due to the developed PID control algorithm with the properties of predicting-controlling and on-line modifying parameter.

adaptive control;predictive-control;PID control;parameter estimation;iterative prediction;deterministic multivariable NARMAX model

1673-2944(2016)05-0028-07

2016-05-28

2016-07-19

侯小秋(1965—)，男，黑龍江省哈爾濱市人，黑龍江科技大學(xué)副教授，碩士，主要研究方向?yàn)榉蔷€性控制、預(yù)測(cè)控制、自適應(yīng)控制。

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