李 丹，穆春來

（重慶大學(xué)　數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 401331）

帶有l(wèi)ogistic源的生物趨化模型解的全局有界性

李 丹，穆春來

（重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 401331）

研究了一個(gè)關(guān)于兩個(gè)物種趨化模型的初邊值問題

其中Ω?Rn（n≥1）是邊界光滑的有界區(qū)域，χi（w）（i=1，2）為趨化敏感函數(shù)且滿足，初值 u0，v0∈C0（）和w0∈W1，∞（Ω）且，αi，μ1和μ2為正，δi＞1。則當(dāng)參數(shù)和μ1+μ2滿足一定條件時(shí)，表明此模型的初邊值問題有唯一的經(jīng)典解且一致有界。

趨化性；全局有界；logistic源

0 引 言

在自然界中，所有生命體的生存都依賴于其在復(fù)雜環(huán)境中組織和處理各種內(nèi)部及外部信息的能力。例如，好氧細(xì)菌會(huì)朝著氧氣濃度高的地方游去，細(xì)菌會(huì)遠(yuǎn)離苯酚以免被殺死等等。此現(xiàn)象為趨化行為，是生物的本能反應(yīng)。在1970年，Keller和Segel在文獻(xiàn)［1］中首次提出了趨化模型，該模型是為了研究基網(wǎng)柄菌的黏菌的聚合現(xiàn)象。在最近幾十年引起了廣大生物學(xué)家和數(shù)學(xué)家的關(guān)注，相應(yīng)地也做了很多結(jié)果。一個(gè)典型的模型如下

其中Ω?Rn是一個(gè)有界光滑區(qū)域，u=u（x，t）代表細(xì)胞的密度，v=v（x，t）代表化學(xué)信號(hào)物質(zhì)的濃度，χ∈R代表趨化敏感度系數(shù)，△u和△v分別代表細(xì)胞自擴(kuò)散項(xiàng)和化學(xué)物質(zhì)的自擴(kuò)散，-χ▽·（u▽v）代表趨化敏感度項(xiàng)，表示在區(qū)域邊界?Ω的外法方向上的方向?qū)?shù)。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中模型解的適定性、漸進(jìn)行為、爆破成為了研究的重點(diǎn)。當(dāng)n=1時(shí)，Yagi和Osaki在文獻(xiàn)［2］中證明了模型（1）對(duì)任意充分光滑的初值是整體存在且有界的。當(dāng)n=2時(shí)，有條件‖u0‖L1（Ω）＜4π成立時(shí)，Nagai在文獻(xiàn)［3］中證明了模型的非徑向?qū)ΨQ解無解。當(dāng)n≥3時(shí)，W inkler［4］證明了對(duì)任意的δ＞0，存在ε＞0使得有條件和‖▽v0‖Ln+δ（Ω）＜ε成立，則模型的解都存在且一致有界。然而，在最近，此結(jié)果得到了進(jìn)一步地發(fā)展，Cao在文獻(xiàn)［5］中證明了如果條件和‖v0‖Ln（Ω）＜ε成立，則解整體有界。W ink ler在文獻(xiàn)［6］中通過構(gòu)造 Lyapunov泛函證明了解在有限時(shí)刻爆破。

以上模型考慮的是化學(xué)物質(zhì)由細(xì)胞產(chǎn)生而非消耗，接下來的模型考慮的是一種化學(xué)信號(hào)物質(zhì)被消耗的情況

其中u=u（x，t）代表細(xì)胞的密度，v=v（x，t）代表的是氧氣的濃度。當(dāng)n≥2時(shí)，Tao在文獻(xiàn)［7］中通過構(gòu)造權(quán)函數(shù)證明了當(dāng)‖v0（x）‖L∞（Ω）充分小時(shí)，模型的解整體存在且一致有界。當(dāng)n=3時(shí)，Tao和W inkler證明了模型（2）解的漸進(jìn)行為。然而，以下關(guān)于兩種生物的趨化模型最近也有了些進(jìn)展

其中u（x，t）和v（x，t）分別代表兩個(gè)物種的密度，w（x，t）代表化學(xué)信號(hào)的濃度。同樣地，Ω?Rn是一個(gè)有界光滑區(qū)域，此模型表示化學(xué)物質(zhì)w（x，t）被物種v（x，t）消耗而不被u（x，t）消耗。特別地，Li在文獻(xiàn)［8］中研究了模型（3）不帶logistic源的情況（即μ1=μ2=0），得到了在二維情況下的全局有界性且在條件‖u0‖L1（Ω）＜ε和‖▽w0‖L1（Ω）＜ε（ε充分小）下，當(dāng)t→∞ 時(shí)模型（3）的解（u，v，w）趨于穩(wěn)態(tài)解（z1，z2，），其中。在此文章中，我們對(duì)一般的情況進(jìn)行了研究。為了簡化問題，首

先令m∶=u+v，由模型（3）直接計(jì)算可得

其中對(duì)所有的 w≥0和 χi∈C1+δi（［0，∞］）趨化敏感函數(shù)χi（w）滿足

定理1 假設(shè)Ω?Rn是一個(gè)有界光滑區(qū)域，初始值（u0，v0，w0）滿足（6）且趨化敏感函數(shù)χi（w）滿足（5），則當(dāng)參數(shù)，i=1，2和μ1+μ2分別滿足和時(shí)，模型（3）有唯一經(jīng)典解且關(guān)于時(shí)間是一致有界的，其中

論文安排如下：在下面一節(jié)中將主要給出一些相關(guān)引理；主要結(jié)果定理1的證明在第三部分，首先證明u（x，t）在空間L2（n+1）（Ω）上是有界的，最后利用Moser迭代法得到定理1。

1 預(yù)備知識(shí)

為了證明定理1，我們先給出一些相關(guān)的引理。

引理 1 假設(shè)非負(fù)初值（u0，v0，w0）滿足（6），Ω?Rn（n≥1）是一個(gè)有界且具有光滑邊界?Ω的區(qū)域。則存在Tmax∈［0，∞）和非負(fù)函數(shù)（u，v，w）滿足

證明 模型（3）經(jīng)典解的局部存在可利用不動(dòng)點(diǎn)定理得到，詳見文獻(xiàn)［9-11］。

引理2［12］取z（t）≥0滿足

其中常數(shù)a＞0，p＞0，b＞0，則我們有

引理3 假設(shè)（6）成立，則模型（1）的解（u，v，w）滿足

證明對(duì)模型（3）中的第一個(gè)方程在Ω上積分，我們得到

和

根據(jù)常微分方程比較原理可以得到結(jié)果。

接下來，我們將引進(jìn)一個(gè)有用的不等式，詳見參考文獻(xiàn)［3，11，13-14］。

其中ψ∈W1，2（Ω）且

2 定理1的證明

接下來，結(jié)合W ink ler關(guān)于構(gòu)造權(quán)函數(shù)的思想來證明定理1。我們首先通過尋找一個(gè)既具有上界又具有下界的函數(shù)去證明u（x，t）在空間L2（n+1）（Ω）上是有界的。然后再通過Moser迭代法得到最終結(jié)果。

引理5 假設(shè)定理1的條件成立，則存在常數(shù)C＞0使得對(duì)所有的t∈（0，Tmax）有

證明首先令p∶=2（n+1）并且對(duì)所有的s≥0有ψ（s）∶=e（1+βs）-κ

我們可以選取充分小的κ＞0使得

由此可得我們需要的結(jié)果。

定理1的證明 利用引理5和Moser-A likakos迭代法可以直接得到u（x，t）在（0，Tmax）上有界，詳細(xì)過程可參考文獻(xiàn)［4，15］。所以結(jié)合引理5可得到定理1的證明。

［1］KELLER E F，SEGEL L A.Initiation of slime mold aggregation viewed as an instability［J］.J.Theoret.Biol.1970，26（3）：399-4151.

［2］OSAKIK，YAGIA.Finite dimensional attractors for one-dimensional Keller-Segel equations［J］.Funkcial.Ekvac.2001，44（3）：441-469.

［3］NAGAI T，SENBA T，YOSHIDA K.Application of the Trudinger-Moser inequality to a parabolic system of chemotaxis［J］. Funkcial.Ekvac.1997，40（3）：411-433.

［4］TAO Y，W INKLER M.Boundedness in a quasilinear parabolic-parabolic Keller-Segel system with subcritical sensitivity［J］.J. Differential Equations，2012，252：692-715.

［5］CAO X.Global bounded solutions of the higher-dimensional Keller-Segel system under smallness conditions in optimal spaces［J］.Discrete Contin.Dynam.Syst.Ser.A，2015，35：1891-1904.

［6］W INKLER M.Aggregation vs.global diffusive behavior in the higher-dimensional Keller-Segelmodel［J］.J.Differential Equations，2010，248（12）：2889-2905.

［7］TAO Y，W INKLER M.Eventual smoothness and stabilization of large-data solutions in a three-dimensional chemotaxis systemwith consumption of chemoattractant［J］.J.Differential Equations，2010，252（3）：2520-2543.

［8］LIY.Global bounded solutions and their asymptotic properties under small initial data condition in a two-dimensional chemotaxis system for two species［J］.J.Math.Anal.Appl.，2015，429（2）：1291-1304.

［9］CHOIY S，WANG Z A.Prevention of blow-up by fast diffusion in chemotaxis［J］.J.Math.Anal.Appl.，2010，362（2）：553-564.

［10］DELGADO M，GAYTE I，MORALES-RODRIGO C，SUáREZ A.An angiogenesismodelwith nonlinear chemotactic response and flux at the tumor boundary［J］.Nonlinear Anal.，2010，72（1）：330-347.

［11］STINNER C，TELLO J I，W INKLER M.Competitive exclusion in a two-species chemotaxis model［J］.J.Math.Biol.，2014，68（7）：1607-1626.

［12］TEMAM R.Navier-stokes equations，theory and numerical analysis［M］.Amsrerdam：North-Holland publishing Co.，1977.

［13］FRIEDMAN A.Partial differential equations［M］.New York：Holt，Rinehart and Winston，1969.

［14］W INKLER M，DJIE K C.Boundedness and finite-time collapse in a chemotaxis system with volume-filling effect［J］.Nonlinear Anal.，2010，72（2）：1044-1064.

［15］ALIKAKOS N D.Lp（Ω）bounds of solution of reaction-diffusion equations［J］.Comn.Partial Differential Equations，1979，4（8）：827-868.

G lobal Boundedness of a Two-species Chemotaxis System

LIDan，MU Chunlai
（College of Mathematical and Statistics，Chongqing University，Chongqing 401331，China）

This paper deals with the global boundedness of the two-species chemotaxis system under homogeneous Neumann boundary condition in a smoothly bounded domainΩ?Rn（n≥1），with nonnegative intial data u0，v0∈C0（）and w0∈W1，∞（Ω）.，αi，μ1has a chemotactic sensitivity function and satisfiesχi（w）≤，where the parameters，αi，μ1andμ2are positiveδi＞1.Under the condition thatandμ1+μ2satisfy some specified conditions，the corresponding initial-boundary value problem possesses a unique global classical solution and is uniform ly bounded.

chemotaxis；global boundedness；logistic source

O175.26

A

10.16246/j.issn.1673-5072.2016.01.003

1673-5072（2016）01-0017-08

2016-01-17

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11371384）；重慶市自然科學(xué)基金項(xiàng)目（cstc2015 jcyjBX0007）

李 丹（1991—），女，重慶潼南人，碩士研究生，主要從事偏微分方程的研究。

穆春來（1967—），男，四川雅安人，教授，主要從事偏微分方程的研究。E-mail：clmu2005@163.com