向昭銀

（電子科技大學(xué)　數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，成都 611731）

不具有磁擴(kuò)散的磁流體方程組的最新進(jìn)展

向昭銀

（電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，成都 611731）

不具有磁擴(kuò)散的磁流體方程組可以用于描述高溫等離子體的強(qiáng)烈碰撞或者碰撞所產(chǎn)生的阻尼很小的磁流體運(yùn)動(dòng)。本文主要對(duì)不具有磁擴(kuò)散的磁流體方程組經(jīng)典解的整體存在性等問(wèn)題的最新研究進(jìn)展進(jìn)行了綜述，并提出了一些值得進(jìn)一步深入研究的公開(kāi)問(wèn)題.

磁流體方程組；磁擴(kuò)散；經(jīng)典解；整體存在性

0 引 言

在本文中，我們將綜述如下不可壓縮磁流體方程組解的局部、整體存在性與大時(shí)間行為等方面的研究進(jìn)展：

其中Ω??d。這里，B和 u分別表示磁場(chǎng)和流體速度場(chǎng)，p是相應(yīng)的壓力，μ和 ν分別代表磁擴(kuò)散系數(shù)和動(dòng)力學(xué)粘性系數(shù)。

磁流體方程組（1）描述了導(dǎo)電流體在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)磁場(chǎng)與流體相互作用的動(dòng)力學(xué)行為。在方程組（1）的第三個(gè)方程中，▽·B=0反映了不存在磁單極，它可以由初始時(shí)刻磁單極的不存在性所確定；▽·u=0反映了流體的不可壓縮性質(zhì)；若記E為電場(chǎng)，j為電流密度，σ為介質(zhì)的電導(dǎo)率，則方程組（1）的第一個(gè)方程可以在安培定律▽×B=ε?tE+j中忽略位移電流（即ε=0），結(jié)合法拉第定律▽×E=-?tB、歐姆定律j=σ（E+u×B）并取μ∶=1/σ所得到；方程組（1）中的第二個(gè)方程是具有外力作用的Navier-Stokes方程，它描述了動(dòng)量守恒，其中外力為洛倫茲力j×B。

物理學(xué)家Alfven于上世紀(jì)40年代建立了磁流體力學(xué)［1］，并因此獲得了1970年的Nobel物理學(xué)獎(jiǎng)。數(shù)學(xué)上的研究起源于上世紀(jì)70年代。四十多年來(lái)，關(guān)于方程組（1）的解的存在唯一性等問(wèn)題，已經(jīng)取得了許多重要的進(jìn)展。

1 關(guān)于具有磁擴(kuò)散的磁流體方程組的研究

在完全耗散（即μ＞0且ν＞0）情形，Duvaut和Lions［2］在Sobolev空間HS（?d）中證明了方程組（1）的Cauchy問(wèn)題經(jīng)典解的局部存在性、唯一性以及小初值解的整體存在性。最近，Abidi和Paicu［3］在臨界空間框架下研究了非齊次介質(zhì)中的磁流體方程組（1），得到了類似于文獻(xiàn)［2］的結(jié)果。在二維情形，Sermange和Temam［4］進(jìn)一步證明了方程組（1）的Cauchy問(wèn)題對(duì)于大初值，解也是整體存在的。由于三維Navier-Stokes方程大初值經(jīng)典解的整體存在性是一個(gè)公開(kāi)的問(wèn)題，因此三維情形方程組（1）經(jīng)典解的整體存在性也是一個(gè)公開(kāi)問(wèn)題。最近，He，Huang和Wang［5］等證明了對(duì)于大初值，只要初始磁場(chǎng)和初始速度場(chǎng)的差比較小，方程組（1）的Cauchy問(wèn)題在三維情形仍存在整體經(jīng)典解。另一方面，Jiu和Liu［6］也對(duì)具有某種徑向?qū)ΨQ結(jié)構(gòu)的大初值，建立了方程組（1）Cauchy問(wèn)題解的整體存在。具有完全耗散的方程組（1）在初邊值條件下的相應(yīng)問(wèn)題也有許多重要的進(jìn)展，上述有關(guān)Cauchy問(wèn)題的大部分結(jié)論仍成立。

一個(gè)自然的問(wèn)題是，對(duì)于具有部分耗散（即μ＞0與ν＞0不同時(shí)成立）的方程組（1）是否存在整體解？當(dāng)Ω=?2時(shí)，Cao和Wu［7］首次證明了具有混合部分粘性與部分磁擴(kuò)散的方程組（1）整體經(jīng)典解的存在唯一性及零粘性情形弱解的整體存在性；隨后，Cao，Regm i和Wu［8］進(jìn)一步證明了具有水平粘性和水平磁擴(kuò)散的方程組（1）整體經(jīng)典解的存在唯一性；Du和Zhou［9］則對(duì)粘性系數(shù)與磁擴(kuò)散系數(shù)進(jìn)行了更細(xì)致的分類，并在各種情形研究了經(jīng)典解的整體存在性與正則性準(zhǔn)則。關(guān)于零粘性及分?jǐn)?shù)階磁擴(kuò)散方程組（1）經(jīng)典解整體存在性的研究，我們參考［10—12］。

2 關(guān)于不具有磁擴(kuò)散的磁流體方程組Cauchy問(wèn)題的研究

值得指出的是，上述的所有研究工作中，為了得到經(jīng)典解的整體存在性，都或多或少地要求磁場(chǎng)具有一定的擴(kuò)散。但是，由于等離子體為良導(dǎo)體，即σ?1。因此在等離子物理的許多研究問(wèn)題中，都可以假設(shè)μ=0，此時(shí)方程組（1）可以轉(zhuǎn)化為如下不具有磁擴(kuò)散形式的磁流體方程組：

事實(shí)上，在等離子物理中，基于磁流體波的高溫等離子的受熱研究是一個(gè)相當(dāng)有趣而具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。因此，不具有磁擴(kuò)散的磁流體方程組（2）可以用于描述高溫等離子體的強(qiáng)烈碰撞或者由于碰撞所產(chǎn)生的阻尼很小的磁流體運(yùn)動(dòng)。

近年來(lái)，磁流體力學(xué)方程組（2）的數(shù)學(xué)理論也吸引了許多數(shù)學(xué)家的高度關(guān)注。對(duì)于光滑初值，利用標(biāo)準(zhǔn)的能量方法很容易證明解的局部存在性與唯一性。最近，許多數(shù)學(xué)家在低正則初值假設(shè)之下研究了局部適定性問(wèn)題。例如，F(xiàn)efferman等［13］通過(guò)建立一個(gè)新的交換子估計(jì)，在中證明了方程組（2）局部解的存在唯一性，其中，d=2，3；Chemin等［14］則在臨界Besov空間中證明了局部解的存在性及d=3時(shí)的唯一性；Wan［15］進(jìn)一步證明了d=2時(shí)的唯一性。

一個(gè)長(zhǎng)期的公開(kāi)問(wèn)題是：不具有磁擴(kuò)散的磁流體方程組（2）是否存在整體經(jīng)典解？Bardos，Sulem和Sulem［16］證明了，對(duì)于強(qiáng)的背景磁場(chǎng)及小的局部化初始攝動(dòng)，理想磁流體方程組（即方程組（2）中ν=0）存在光滑整體解且當(dāng)t→∞時(shí)，非線性的相互作用是可以漸進(jìn)忽略的。但是，Bardos等這種基于特征的方法不能應(yīng)用于方程組（2）。Chiuderi和Califano［17］則從數(shù)值上證明了二維磁流體方程組（2）具有不依賴于歐姆電阻的能量耗散率。

在數(shù)學(xué)理論方面的研究，Lin和Zhang［18］取得了第一個(gè)突破。他們利用各向異性的Besov空間和Littlewood-Paley分解技巧對(duì)如下三維磁流體形式的方程組 Cauchy問(wèn)題在平衡態(tài)（?-，u-）=（x3，0）附近建立了解的經(jīng)典解的整體存在性：

隨后，Lin和Zhang［19］利用基本的能量方法對(duì)（3）建立了經(jīng)典解的整體存在性，從而簡(jiǎn)化了文獻(xiàn)［18］的證明；而Ren，Xiang和Zhang［20］則給出了基于基本的能量方法的簡(jiǎn)化證明及衰減估計(jì)。對(duì)方程組（3）的研究有兩方面的意義：其一是方程組（3）與粘彈性流體方程具有相似的非線性結(jié)構(gòu)，事實(shí)上，若?為向量，則（3）就是標(biāo)準(zhǔn)的粘彈性流體方程；其二是在二維情形，由▽·B=0可知存在勢(shì)函數(shù)?使得B=（?2?-?1?），從而方程組（3）在二維情形等價(jià)于不具有磁擴(kuò)散的磁流體方程組（2）。關(guān)于不具有磁擴(kuò)散的二維磁流體方程組（2）的第一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果屬于Lin，Xu和Zhang［21］。他們利用Lagrange坐標(biāo)和各向異性的Besov空間技巧證明了方程組（2）的Cauchy問(wèn)題在平衡態(tài)（，）=（e1，0）附近存在整體經(jīng)典解；隨后，Zhang［22］給了一個(gè)基于基本能量方法的證明；Ren等［23］則進(jìn)一步建立了解的衰減估計(jì)。最近，Zhang［24］證明了對(duì)于大初值，只要背景磁場(chǎng)充分強(qiáng)，方程組（2）仍存在整體強(qiáng)解；對(duì)在二維情形的相關(guān)工作，我們也參考［25，26］。關(guān)于不具有磁擴(kuò)散的三維磁流體方程組（2）的Cauchy問(wèn)題，Xu和Zhang［27］證明了對(duì)于一類具有某種相容性條件的初值，在平衡態(tài)（，）=（e1，0）附近存在整體經(jīng)典解；Abidi和Zhang［28］則進(jìn)一步去掉了關(guān)于初值的相容性限制。關(guān)于三維情形不具有磁擴(kuò)散的磁流體方程組（2）在的大初值條件下的整體存在性問(wèn)題，最近也有一些深入研究。比如，Lei［29］考慮方程組（2）在磁場(chǎng)旋轉(zhuǎn)且垂直于速度場(chǎng)（即在球面坐標(biāo)系下uθ=Br=BZ=0）情形有限能量解的整體存在性；Jiu等［30］以代替△u，并得到了類似于［29］的結(jié)果。

3 關(guān)于不具有磁擴(kuò)散的磁流體方程組初邊值問(wèn)題的研究

上述有關(guān)不具有磁擴(kuò)散的磁流體方程組經(jīng)典解的整體存在性都是針對(duì)Cauchy問(wèn)題，并不涉及邊界條件。事實(shí)上，對(duì)于方程組（2）的初邊值問(wèn)題而言，關(guān)于Cauchy問(wèn)題的研究技巧并不適用。

與速度場(chǎng)具有滑動(dòng)邊界條件、磁場(chǎng)具有非穿透邊界條件

4 關(guān)于不具有磁擴(kuò)散的磁流體方程組的一些公開(kāi)問(wèn)題

關(guān)于不具有磁擴(kuò)散的磁流體方程組（2），存在大量尚未解決的公開(kāi)問(wèn)題。這里僅僅提出幾個(gè)作者感興趣的問(wèn)題：

1）Cauchy問(wèn)題大初值解的整體存在性；

2）在一般邊界條件下初邊值問(wèn)題解的整體存在性；

3）自由邊值問(wèn)題解的整體存在性；

4）整體經(jīng)典解的衰減估計(jì)等大時(shí)間行為；

5）粘性極限（即ν→0）問(wèn)題。

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Recent Studies on the MHD EquationsW ithout M agnetic Diffusion

XIANG Zhaoyin
（School of Mathematical Sciences，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 611731，China）

The MHD equations without magnetic diffusion can be applied tothe description of strong p lasma collisions or the extremely small resistivity due to these collisions.In this article，the recent studies on the MHD equations withoutmagnetic diffusion are exam ined，exposing several issues still in this area.

MHD equations；zero magnetic diffusion；classical solution；global existence

O175.2

A

10.16246/j.issn.1673-5072.2016.01.018

1673-5072（2016）01-0120-05

2016-01-11

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11571063）

向昭銀（1978—），男，四川合江人，博士，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事偏微分方程研究。

向昭銀，E-mail：zxiang@uestc.edu.cn