孟凡華

吉林省長(zhǎng)春市十一高中

導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用解題策略

孟凡華

吉林省長(zhǎng)春市十一高中

導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的考查，歷年來(lái)是高考數(shù)學(xué)卷的高頻考點(diǎn)之一。在教學(xué)過(guò)程中，教師要根據(jù)考試重點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生掌握各類求解方法，學(xué)好這一章節(jié)的內(nèi)容。

導(dǎo)數(shù)；函數(shù)求解；高二數(shù)學(xué)；構(gòu)造二階函數(shù)

高考中，對(duì)于《導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用》這一章節(jié)內(nèi)容的考查主要集中在：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、通過(guò)構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性來(lái)證明不等式、求函數(shù)的極值等問(wèn)題。教學(xué)時(shí)教師要循序漸進(jìn)，有針對(duì)性地進(jìn)行專題教學(xué)。對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性類試題，教師要幫助學(xué)生把握“兩條規(guī)律”；對(duì)于構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性來(lái)證明不等式類題型，學(xué)生需掌握移項(xiàng)法、作差法、換元法、主元法、構(gòu)造二階函數(shù)法、從條件特征入手法、對(duì)數(shù)法、構(gòu)造形似函數(shù)法等八種函數(shù)構(gòu)造法；求函數(shù)極值類問(wèn)題，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分條件極值與無(wú)條件極值兩類題型，有的放矢進(jìn)行解答。

一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

學(xué)生遇到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，難度相對(duì)而言并不是很高，教師需幫助學(xué)生掌握兩條規(guī)律：

（一）利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明一個(gè)函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，實(shí)質(zhì)上是判斷或證明不等式f′（x）＞0（f′（x）＜0）在給定區(qū)間上恒成立，一般解題步驟為：

（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x）；

（2）判斷f′（x）的符號(hào)；

（3）給出單調(diào)性結(jié)論。

（二）導(dǎo)數(shù)的正負(fù)決定了函數(shù)的增減，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論。

例1∶求函數(shù)y=bx/（x2-1）（-1＜x＜1，b≠0）的單調(diào)性。

解：令-1＜x1＜x2＜1，

于是有：

-1＜x1x2＜1，x1^2-1＜0，x2^2-1＜0，x2-x1＞0，

于是有

f（x1）-f（x2）=b［x1/（x1^2-1）-x2/（x2^2-1）］

=b［（x1x2+1）（x2-x1）/（x1^2-1）（x2^2-1）］

而x1x2+1＞0，（x1^2-1）（x2^2-1）＞0

所以當(dāng)b＞0時(shí)，f（x1）-f（x2）＞0，所以函數(shù)在區(qū)間（-1，1）是為單調(diào)減函數(shù)；

當(dāng)b＜0時(shí)，有f（x1）-f（x2）＜0，所以函數(shù)在區(qū)間（-1，1）上是單調(diào)增函數(shù)。

極值點(diǎn)、最值點(diǎn)是原函數(shù)圖象上常用的點(diǎn)，解答單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性問(wèn)題，是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)求解中的初級(jí)題型，學(xué)生只要正確把握基本規(guī)律，關(guān)注參數(shù)問(wèn)題，即可正確解答。計(jì)算不出問(wèn)題的情況下，這類題基本就是送分題。

二、通過(guò)構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性來(lái)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來(lái)證明不等式類試題是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式綜合問(wèn)題中的一個(gè)難點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)，不考則已，一旦出現(xiàn)相關(guān)題目，所占分值都比較大。

在解題過(guò)程中，學(xué)生要構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性或求最值的問(wèn)題，從而證明不等式。

解：對(duì)不等式兩邊取對(duì)數(shù)得：

化簡(jiǎn)為2（1+x）ln（1+x）＜2x+x2，

設(shè)輔助函數(shù)f（x）=2x+x2-2（1+x）ln（1+x）（x≥0），f'（x）=2x-2ln（1+x），

又由f（x）在［0，+∞）上連續(xù)，且f'（x）＞0，得f（x）在［0，+∞）上嚴(yán)格單調(diào)增加，

所以f（x）＞f（0）=0（x＞0），

即2x+x2-2（1+x）ln（1+x）＞0，2x+x2＞2（1+x）ln（1+x），

在解答此類問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵在于構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)來(lái)證明不等式，例3中所采取的方式是對(duì)數(shù)法。一般來(lái)說(shuō)，有八種構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)法，分別是：移項(xiàng)法、作差法、換元法、主元法、構(gòu)造二階函數(shù)法、從條件特征入手法、對(duì)數(shù)法、構(gòu)造形似函數(shù)法這八種方法。學(xué)生根據(jù)解題需要，有策略選擇一種方法作為突破口，可以有效提高解題效率。

三、求函數(shù)的極值

求函數(shù)極值問(wèn)題一般分為兩類：條件極值和無(wú)條件極值。

條件極值問(wèn)題即是函數(shù)中的自變量除受定義域約束外，還受其他條件限制的極值問(wèn)題；

無(wú)條件極值問(wèn)題即是函數(shù)中的自變量只受定義域約束的極值問(wèn)題。

在解答過(guò)程中，學(xué)生需仔細(xì)審題，明確題干要求的是哪一類極值，綜合利用常見(jiàn)的求極值方法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解答。

（一）求條件極值類題目

在解答條件極值類問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可以參考代入法、拉格朗日乘數(shù)法、梯度法、二次方程判別式的符號(hào)、標(biāo)準(zhǔn)量代換法等5種方法尋找突破口，這5種方法是條件極值類問(wèn)題常見(jiàn)求解方法，但每種方法都自身的局限性，學(xué)生需綜合考慮題干要求，選擇合適方法。

（二）求無(wú)條件極值類題目

解答無(wú)條件極值類問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可利用二階偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系和符號(hào)判斷取不取極值及極值的類型，若遇到三元及更多元的函數(shù)極值問(wèn)題，可利用二次型的正定性加以解決。利用二次型的正定性來(lái)判斷多元函數(shù)的極值時(shí)要注意，由于充分條件對(duì)正定和負(fù)定的要求很嚴(yán)格，因此若條件不滿足，那么結(jié)論就不一定成立。

教學(xué)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用這一章節(jié)內(nèi)容時(shí)，新課教學(xué)中教師要將知識(shí)點(diǎn)講透，學(xué)生需要掌握的定理每一條都要過(guò)關(guān)。復(fù)習(xí)課中，教師要組織專題訓(xùn)練，集中對(duì)學(xué)生進(jìn)行相關(guān)題型講解，為學(xué)生解答此類問(wèn)題奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。

［1］李天勝.從一道錯(cuò)誤的例題談條件極值的代入法［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2002（3）∶22.

［2］李瑛華.標(biāo)準(zhǔn)量代換法求函數(shù)極值［J］.實(shí)戰(zhàn)實(shí)例，2015