陳國(guó)春

江蘇省濱海中學(xué)　(224500)

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橫看成嶺側(cè)成峰，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)
——談問(wèn)題切入點(diǎn)選擇

陳國(guó)春

江蘇省濱海中學(xué)(224500)

在平時(shí)的學(xué)習(xí)和考試中，在所難免會(huì)遇到一些有難度的題目.很多學(xué)生都會(huì)提出一個(gè)問(wèn)題：遇到一些比較陌生的題目時(shí)，不知道解決問(wèn)題的突破口和切入點(diǎn)在什么地方，頭腦一片空白；或者可能會(huì)有一些想法，但因?yàn)榍腥朦c(diǎn)選擇的不合理，導(dǎo)致解題繁瑣，從而失去解題的信心.本文筆者通過(guò)分析一道經(jīng)典的調(diào)研試題的切入點(diǎn)去說(shuō)明遇到一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們?nèi)绾稳シ治鰡?wèn)題，如何去尋找解決問(wèn)題的突破口和切入點(diǎn).

一、題目再現(xiàn)

在ΔABC中，G為ΔABC的重心，且AG⊥BG,則sinC的最大值為．

這是鹽城市高三的一道調(diào)研試題.考試過(guò)后，筆者所任教班級(jí)里的學(xué)生普遍反映：題目比較陌生，信息量很少，不知道切入點(diǎn)在哪，很茫然.可事實(shí)是否真的如學(xué)生所說(shuō)呢？下面筆者給出解決此問(wèn)題的幾個(gè)切入點(diǎn)，供大家參考指正.

首先題目中有一個(gè)垂直的條件比較熟悉，而我們對(duì)于垂直這一條件又有哪些常見(jiàn)的處理方法呢？

二、橫看成嶺(切入點(diǎn)一)

圖1

根據(jù)垂直的條件AG⊥BG.根據(jù)AG⊥BG這一條件，我們很容易想到建系，將幾何問(wèn)題代數(shù)化去解決.建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A(0,a)，B(b,0)，因?yàn)镚為重心，易得C點(diǎn)坐標(biāo)為(-b,-a).

在建系的前提下，我們又可以嘗試以下兩種方法：

方法1：利用余弦定理和基本不等式可知

點(diǎn)評(píng)：這兩種方法本質(zhì)上都是建系尋找到點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系(本質(zhì)上是三邊之間的關(guān)系)，然后利用余弦定理和基本不等式解決問(wèn)題.

事實(shí)上我們還可以通過(guò)以下兩種方法去尋找到三邊之間的關(guān)系.

方法3：在直角ΔAGB、ΔAGE、ΔBGD、ΔDGE中，分別利用勾股定理易得BC2+AC2=5AB2,再用余弦定理和基本不等式易得結(jié)果.

從上面這些方法我們可以發(fā)現(xiàn)，抓住垂直這一條件，結(jié)合平時(shí)處理垂直的常用手法，可以從多個(gè)方向進(jìn)行突破.

題目中還有另外一個(gè)條件：G為ΔABC的重心，我們能不能從這一條件入手解決問(wèn)題呢？筆者經(jīng)過(guò)思考整理形成如下的解法：

三、側(cè)看成峰(切入點(diǎn)二)

圖2

G為ΔABC的重心.

所以2(a2+b2)=c2+(3c)2=10c2，再用余弦定理和基本不等式即可得到.

有句話(huà)說(shuō)得好：沒(méi)有無(wú)緣無(wú)故的愛(ài)，也沒(méi)有無(wú)緣無(wú)故的恨.題目中給出的條件也一樣.G為ΔABC的重心和AG⊥BG這兩個(gè)條件也不應(yīng)該是孤立的條件.

四、透過(guò)現(xiàn)象、尋求本質(zhì)(切入點(diǎn)三)

G為ΔABC的重心和AG⊥BG合二為一.

圖3

我們知道對(duì)于重心還有一個(gè)比較重要的幾何性質(zhì)：OG∶GC=1∶2.

將AG⊥BG這一條件和圓中的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)就有了如下的幾何方法：

如圖3所示：不妨設(shè)小圓和大圓的半徑分別為1和2，點(diǎn)C為大圓上一點(diǎn)，連接OC交小圓于點(diǎn)G,則ΔABC即為滿(mǎn)足題意的三角形.題目即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，要使角C最大，由著名的米勒定理可知：當(dāng)過(guò)點(diǎn)A，B的圓與點(diǎn)C的軌跡即大圓相切時(shí)，角C最大.

圖4

點(diǎn)評(píng)：橫看成嶺側(cè)成峰，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，形成探究意識(shí)，培養(yǎng)探究能力.

五、反思總結(jié)

通過(guò)上面這些解決問(wèn)題的切入點(diǎn)和方法的選擇，我們發(fā)現(xiàn)在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生多從條件入手，結(jié)合常見(jiàn)的處理方法認(rèn)真分析條件，努力尋找問(wèn)題的突破口.我們教者更應(yīng)該反思：為什么學(xué)生在處理問(wèn)題時(shí)沒(méi)有能夠合理的從上面這些切入點(diǎn)去解決問(wèn)題，這與我們平時(shí)的教學(xué)滲透肯定是分不開(kāi)的.因此我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)過(guò)程中應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的培養(yǎng)，注重學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力的提高，不能單純的就題論題.

筆者結(jié)合自己平時(shí)教學(xué)之后的反思給出下面兩道題供讀者參考，并共同思考在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中如何去培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng).

題目1(2016蘇北四市一調(diào)研11題)已知

(建議：從建系，取模平方，向量加法的幾何意義，三角不等式的向量形式，函數(shù)與方程等切入點(diǎn)分別考慮都可以解決此題)

圖5

k1=λk2，求λ的取值范圍.