劉　剛　趙　毅

北京市第十二中學(xué)高中部　(100071)

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一道以圓為背景的高三聯(lián)考試題的探究歷程

劉剛趙毅

北京市第十二中學(xué)高中部(100071)

1.試題

2016年東三省三校高三第一聯(lián)合模擬考試，理23題(選修4 - 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)

(1)求直線l和圓C的極坐標(biāo)方程；

極坐標(biāo)與參數(shù)方程是每年高考、聯(lián)考等重要考試的必考內(nèi)容，通常以直線、圓為背景進(jìn)行考查．試題考查了直線、圓的極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程、線段比例式乘積為最值的問題，考查了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想及坐標(biāo)法的運(yùn)用，檢驗(yàn)了運(yùn)算求解及分析問題與解決問題的能力．試題解法多樣，綜合性強(qiáng)，能發(fā)散、拓展，是復(fù)習(xí)備考不可或缺的一道好題．

2.解法探究

解:(1) 直線l的極坐標(biāo)方程分別是ρsinθ=8．圓C的普通方程分別是x2+(y-2)2=4，所以圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=4sinθ．

點(diǎn)評(píng)：解法借助極坐標(biāo)表示出了所求線段的長，從而使問題得以解決．在解題過程中，遇到從一點(diǎn)出發(fā)的幾條線段長度的問題都可以借助極坐標(biāo)解決．

圖1

點(diǎn)評(píng):坐標(biāo)法是解決解析幾何問題的基本方法．解法通過設(shè)而不求，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解．

點(diǎn)評(píng):解法借助基本不等式對(duì)所求代數(shù)式中的分子、分母分別進(jìn)行放縮，恰好某一時(shí)刻使分子達(dá)到最大值、分母達(dá)到最小值，從而使問題得以解決．

圖2

點(diǎn)評(píng):解法立足圖形，挖掘圖形特點(diǎn)，構(gòu)造三角形相似，使所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為相似比的平方進(jìn)行求解．

3.推廣

由特殊到一般，將問題推廣，可以得到以下結(jié)論．

圖3

圖4

圖5

圖6

[1]劉剛，趙毅．一道高考解三角形試題的多解與感悟[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)，2016，6．

[2]劉剛，趙毅．一道高考導(dǎo)數(shù)試題的剖析與思考[J]．中小學(xué)數(shù)學(xué)，2016，1-2．