苗維凱,王勝利,石波

(1.山東科技大學 測繪科學與工程學院,青島266510;2.海島(礁)測繪技術國家測繪地理信息局重點實驗室,青島 266510;3.山東科技大學 海洋工程研究院,青島 266510)

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抗差M估計在GPS/北斗雙系統(tǒng)定位中的應用

苗維凱1,2,王勝利2,3,石波1,2

(1.山東科技大學 測繪科學與工程學院,青島266510;2.海島(礁)測繪技術國家測繪地理信息局重點實驗室,青島 266510;3.山東科技大學 海洋工程研究院,青島 266510)

針對經(jīng)典最小二乘估計對粗差不具有抵抗力的問題,本文詳細論述了具有抗差能力的抗差M估計的基本原理。利用GPS/北斗觀測數(shù)據(jù),對三種常用的抗差M估計以及經(jīng)典最小二乘估計進行數(shù)據(jù)測試,對比分析其在GPS/北斗雙系統(tǒng)碼偽距相對定位中的抗差效果及效率。測試結(jié)果表明,抗差M估計的解算結(jié)果比最小二乘法更接近真實值;在三種常用的選權迭代法中,IGG-Ⅲ方案的抗差效果和效率好于Huber法和丹麥法,且較易實現(xiàn)。

GPS/北斗組合定位;相對定位;選權迭代法;IGG-Ⅲ;效率

0　引　言

2016年3月30日,隨著第22顆北斗衛(wèi)星的成功發(fā)射北斗系統(tǒng)星座穩(wěn)健性進一步增強。當某些區(qū)域可視衛(wèi)星較少時,采用GPS/北斗聯(lián)合定位體現(xiàn)出許多優(yōu)勢[1-2]。在進行雙系統(tǒng)聯(lián)合定位時,由于北斗和GPS軌道誤差、北斗內(nèi)部3種類型衛(wèi)星觀測值的差異和接收機鐘的穩(wěn)定性差的問題,觀測值中可能包含粗差[3],如果按照經(jīng)典的最小二乘進行平差并且沒有考慮到粗差的影響,就得不到最優(yōu)無偏的估值。為了解決最小二乘估計準則下的殘差二次型對粗差過于敏感,個別粗差就會對參數(shù)的估值產(chǎn)生較大影響的問題,Huber于1964年提出了M估計理論,M估計是測量數(shù)據(jù)處理中最常用和最主要的穩(wěn)健估計準則[4-6]。本文在分析M穩(wěn)健估計[7]的基本理論的基礎上,討論了三種常用的選權迭代法。為了驗證選權迭代法在GPS/北斗雙系統(tǒng)碼偽距相對定位中的抗差效果及效率,利用實測的GPS/北斗的數(shù)據(jù),比較了使用和不使用選權迭代法對定位結(jié)果的影響。

1　GPS/北斗組合定位模型

假設有已知坐標的基準站1,坐標未知的移動站2,同時跟蹤衛(wèi)星i、j,站際星際做差可得偽距觀測方程:

(1)

式中: ρ為衛(wèi)星與接收機之間的偽距測量值; R為衛(wèi)星到接收機之間的幾何距離; δρtrop為對流層延遲; δρion是電離層延遲; δothers代表其他方面的誤差。接收機1是基準站,接收機2是移動站,衛(wèi)星i作為參考星(通常是在一個歷元中高度角最大的衛(wèi)星)。式(1)同樣適合于北斗觀測值。

由式(1)進行線性化可得誤差方程:

(2)

式中: v為雙差觀測值ρ的改正數(shù); l、m、n分別為位置參數(shù)X,Y,Z方向上的方向余弦; δX2, δY2,δZ2分別為接收機2在X,Y,Z方向上的迭代求解的坐標增量; L為觀測方程的常數(shù)項。

寫為矩陣形式:

V=AδX-L.

(3)

其中觀測值權為P可以使用雙差觀測模型的方法[8],在本文中使用:

(4)

式中:Ei為衛(wèi)星高度角;Er為參考衛(wèi)星的高度角。因為在抗差估計中,等價權的確定主要集中在對角線元素上,所以本文中不考慮非對角線元素的影響。

ATPAδX-ATPL=0,

(5)

即:

δX=(ATPA)-1ATPL .

(6)

單位權方差:

(7)

其中,n為所列方程的個數(shù)。在進行同一類型觀測值作差的過程中,站際單差消除了衛(wèi)星鐘差,星際單差消除了接收機鐘差,所以未知數(shù)就只有移動站三維坐標的改正數(shù)。

2　M抗差估計

2.1M抗差估計基本思想

抗差M估計又稱M-LS抗差估計[10],抗差M估計只考慮觀測值含粗差,且服從文獻[11]中的污染分布,而假設參數(shù)先驗值服從正態(tài)分布的一種穩(wěn)健估計。它是基于等價權模型的抗差估計,通過構造等價權,使未知參數(shù)的估值盡可能避免粗差的影響。

設有相互獨立的觀測子樣{li},其觀測權為{pi},i=1,2,…,n. M估計是由觀測子樣{li}求參量{θi}的估值,j=1,2,…,n.殘差為{vi}.求解的條件是[pρ]就θj極小,即滿足

(8)

式中,ρ是適當?shù)臉O值函數(shù),令

(9)

令

(10)

式中,ω稱為權因子。因此,求極值的問題就可以轉(zhuǎn)化為所熟悉的最小二乘觀測方程組:

(11)

相應觀測方程為

Aθ=X+V.

(12)

抗差最小二乘估值為

(13)

2.2幾種常用的選權迭代法

選權迭代法是在平差的過程中根據(jù)前一次計算的殘差V對觀測值進行重新定權、重新平差,直至結(jié)果滿足限差要求的一種抗差估計。下面列出了常用的三種選權迭代法的方案,包括極值函數(shù)、等價權因子和等價權公式。根據(jù)等價權思想,有不同的極值函數(shù)即可構造不同的等價權函數(shù),而不同的極值函數(shù)又對應著不同的影響函數(shù)[13]。在|v|=kσ時,權因子均為1,σ為單位權方差,k為倍數(shù)。在實際計算中,通常從測量誤差理論來看,按正態(tài)分布誤差在±1.5σ之外的概率僅為0.13,而超出±2.5σ的概率為0.01.因此,k可取1.5-2.5之間的值。

2.2.1Huber法原理

Huber法的極值估計準則是假設觀測值在不利分布情況下求最優(yōu)估計[14]。

極值函數(shù):

(14)

權因子:

(15)

等價權:

(16)

由Huber權函數(shù)可以看出,Huber估計的權函數(shù)是單調(diào)的,它在kσ處的斜率有突然變化。當所有改正數(shù)均在-kσ到kσ之間時,Huber估計就是經(jīng)典最小二乘法估計[15]。而當部分改正數(shù)大于kσ時,其p與改正數(shù)成反比,v愈大,對應的p愈小,與此相應該觀測值對參數(shù)估計的影響也愈小。k的值根據(jù)實際情況選取。

2.2.2丹麥法原理

極值函數(shù):

(17)

改進后的權因子:

(18)

等價權:

(19)

丹麥法權因子采用指數(shù)函數(shù),會在迭代計算中累乘因子,它實質(zhì)上是淘汰法。k的值根據(jù)實際情況選取。

2.2.3IGG-III方案原理

極值函數(shù):

(20)

權因子:

(21)

等價權:

(22)

IGG-III方法屬于有淘汰域的M估計,殘差超出范圍的那部分觀測會遭到淘汰,具有較強的抗差性。由于權因子之間的變化較平緩,因此k的取值和余差值的小的變化影響不大。k0、k1的值根據(jù)實際情況選取。

3　算例分析

本算例選用2013年3月17日美國某已知基準點一個歷元的GPS/北斗觀測數(shù)據(jù)。首先對原始觀測值采用經(jīng)典的最小二乘、Huber法、丹麥法以及IGG-III法分別進行解算,然后在原始觀測值中選取GPS和北斗各一個觀測值,分別在其偽距觀測值中加入3m的誤差,再次用四種方法進行解算。分析比較在觀測值不含粗差和含粗差的情況下上述四種方法在定位精度和收斂速度方面的效果,計算抗差的三種模型時選用的參數(shù)參考了文獻[16]。

在試驗中,直接使用IGG-III方案失效。原因在于有些觀測量的權因子為0,使得方差膨脹因子為∞,導致法方程的系數(shù)矩陣不可逆,從而使計算結(jié)果失效,在本例中,令權因子所在的行列的值為1來解算最終的結(jié)果。

在本例中,計算四種方案的x,y,z 方向和N, E, U方向的改正數(shù)時均保留了3位小數(shù),數(shù)值越小,表明結(jié)果越準確。

從表1可以看出,三種抗差估計方案的結(jié)果都存在一定差異,并且不論觀測值中是否含有粗差,三種方案的解算結(jié)果都比最小二乘方案的解算結(jié)果好。從圖1可以直觀地看到四種方案的解算結(jié)果,其中,IGG-III方案的解算精度更高。

一種好的抗差估計法除了具有一定的抗差性,其迭代收斂的速度也應考慮在內(nèi)。在本例中,設迭代門限值為0.01.從圖2可以直觀地看到,IGG-III方案的迭代次數(shù)最少,并且結(jié)合表1可知,其精度也最高。

由上述分析可知,在粗差為20m情況下,綜合迭代次數(shù)和最后的精度,IGG-III方案比Huber法和丹麥法的效果好。

表1　四種估計方法比較表

圖1　四種估計方法精度比較

圖2　三種抗差估計迭代次數(shù)比較

4　結(jié)束語

本文結(jié)合實測數(shù)據(jù)比較了GPS/北斗雙系統(tǒng)碼偽距相對定位在觀測值含有粗差與不含粗差兩種情況下,三種選權迭代法對觀測值的抗差效果及效率的問題。選權迭代法在初始權方面是相同的,即估計結(jié)果不受初始權的取值影響。且在選權迭代的過程中,對于選權的標準都是隨著每次迭代后計算的殘差V重新計算,所以三種選權迭代的條件系數(shù)是動態(tài)的。經(jīng)過實測數(shù)據(jù)驗證,在觀測值中不含有誤差時,三種選權迭代法能在一定程度上改善定位精度,這說明在組合定位中對各類觀測值進行等權處理是不合適的;當觀測值中含有粗差時,經(jīng)驗證IGG-III方案在效率和解算精度上都比Huber法和丹麥法的效果好且易實現(xiàn),因此,在不清楚數(shù)據(jù)分布的情況下,建議選擇IGG-III方案。

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王勝利 (1981-),男,山東泰安人,工學博士,研究方向為GNSS理論與算法、測量數(shù)據(jù)處理理論與方法。

石波 (1979-),男,山東淄博人,工學博士,副教授,主要從事車載三維測量系統(tǒng)和三維建模研究。

The Application of Robust M Estimation on Positioning of GPS and Compass Dual System

MIAO Weikai1,2,WANG Shengli2,3, SHI Bo1

(1.CollegeofGeomatics,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao266510,China; 2.Island(reef)NationalKeyLaboratoryofGeographicInformationBureauofSurveyingandMappingSurveyingandMappingTechnology,Qingdao266510,China;3.InstituteofOceanEngineering,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao266510,China)

Arming at the problem of that the classical least squares estimation has no resistance to the gross error, the basic principle of robust M estimation with robust ability was discussed in this paper.The three commonly robust M estimations and the classical least squares estimation were tested using GPS and Compass observed data.According to the results, the robust effect and efficiency were analyzed and compared with Code pseudo range in the relative positioning of the GPS and Compass dual system. It showed that the results of the robust M estimation is more close to the true value than that of the least square method; In the three commonly robust M estimation, the IGG-Ⅲ’s robust effect and efficiency were better than Huber and Danish method.And the IGG-Ⅲ was easily achievable.

GPS/Beidou integrated positioning; relative positioning; iterative method; IGG-Ⅲ; efficiency

10.13442/j.gnss.1008-9268.2016.04.006

2016-04-07

海島(礁)測繪技術國家測繪地理信息局重點實驗室資助項目(編號:2014B02;2015A01); 山東省高等學?？萍加媱濏椖?J13LH04); 測繪公益性行業(yè)科研專項經(jīng)費資助項目(201512034); 海洋公益性行業(yè)科研專項經(jīng)費資助項目(201305034)

P228.4

A

1008-9268(2016)04-0026-05

苗維凱(1993-),男,山東濰坊人,主要研究方向為GNSS數(shù)據(jù)處理。

聯(lián)系人： 苗維凱E-mail:mwk666666@126.com