湯先鵬,李柏渝,陳雷,吳禮杰,歐鋼

(國防科學技術(shù)大學 電子科學與工程學院,長沙 410073)

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利用曲線擬合改善壓控衰減器精度的方法

湯先鵬,李柏渝,陳雷,吳禮杰,歐鋼

(國防科學技術(shù)大學 電子科學與工程學院,長沙 410073)

針對衛(wèi)星導航信號模擬發(fā)生器中,數(shù)控衰減器無法滿足功率控制的高精度需求的問題,采用壓控衰減器代替,并提出基于移動最小二乘曲線擬合的壓控衰減器精度改善方法。通過建立輸入與輸出的映射關(guān)系,根據(jù)期望衰減值得到精確的衰減控制字,進而提高壓控衰減器的實際衰減精度。經(jīng)實測數(shù)據(jù)驗證,擬合的最大衰減誤差為0.1 dB,相比數(shù)控衰減器,誤差降低了80%.

移動最小二乘法;壓控衰減器;曲線擬合;精度改善

0　引　言

數(shù)控衰減器的主要作用是對輸出的模擬導航信號進行可控衰減,以使得輸出信號功率具有較大的動態(tài)范圍。在實際工程應(yīng)用中,對數(shù)控衰減器的衰減精度有較高要求,以某專題實驗為例,要求衰減誤差低于0.2 dB.目前市面上性能較優(yōu)的數(shù)控衰減器,其實際衰減精度不足0.5 dB.

由于壓控衰減器可由模擬電壓連續(xù)控制衰減值,故本文采用壓控衰減器實現(xiàn)信號的衰減控制。在實際應(yīng)用中,雖然衰減連續(xù)可調(diào),在大部分衰減范圍內(nèi),控制字(對應(yīng)控制電壓)與衰減值之間存在一一對應(yīng)關(guān)系,但由于其衰減特性非線性,衰減值與控制字之間沒有明確的對應(yīng)關(guān)系,無法實現(xiàn)便捷、高精度的衰減。

由于壓控衰減器的輸入輸出數(shù)據(jù)簡單易測,可以采用曲線擬合的方法建立衰減值與輸入控制字之間的映射關(guān)系。根據(jù)此映射關(guān)系,由預期的衰減值可以得出相應(yīng)精確的控制字,以此實現(xiàn)高精度的衰減。

曲線擬合在統(tǒng)計、逆向工程和計算機圖形等方面有著廣泛的應(yīng)用[1-2],最小二乘法是曲線擬合的常用方法。但對于傳統(tǒng)的最小二乘法,當數(shù)據(jù)量過大或曲線形狀復雜時,需進行分段擬合,且欲獲得較高擬合精度,需增大多項式階數(shù),不僅增加了計算量,且容易出現(xiàn)解病態(tài)方程組的問題[3-5],使得最小二乘擬合的應(yīng)用受到一定的限制。

移動最小二乘法作為一種近似估計算法是由Shepard[6]于上個世紀60年代提出的, 并最初應(yīng)用在固體力學領(lǐng)域[7];80年代初Lancaster和Salkauskas比較系統(tǒng)地提出了移動最小二乘法[8],最先應(yīng)用于曲線和曲面擬合[9];之后,很多學者對其進行了進一步的研究與改進[10-13]。文獻[11]提出的改進的移動最小二乘法擬合精度較高,且求解過程中不會出現(xiàn)奇異矩陣問題,但其基函數(shù)構(gòu)造復雜,計算量較大。針對上述問題,本文基于傳統(tǒng)的移動最小二乘法,通過理論推導得出了采用線性基的曲線擬合中,不出現(xiàn)奇異解的影響區(qū)域半徑下限公式,根據(jù)測試數(shù)據(jù)得出最優(yōu)的影響區(qū)域半徑,仿真和實測證明其具有精度較高、計算量小、便于硬件實現(xiàn)的優(yōu)點。

1　移動最小二乘擬合原理

1.1擬合函數(shù)

簡要闡述標量值的移動最小二乘擬合原理[8,14-15].

假定測得一組一維離散數(shù)據(jù)(xI,yI),I=1,2,…,n.在擬合區(qū)域的某個子域內(nèi),點x處的節(jié)點擬合值y表示為

(1)

式中: p(x)=[p1(x),p2(x),…,pm(x)]T稱為基函數(shù); a(x)=[a1(x),a2(x),…,am(x)]T為待求的基函數(shù)系數(shù),它是坐標x的函數(shù)。對于一維問題,基函數(shù)p(x)的形式為

線性基:

p(x)=[1,x]T,m=2,

(2)

二次基:

p(x)=[1,x,x2]T,m=3.

(3)

移動最小二乘擬合的準則是,點x處的擬合值y與各已知節(jié)點值yI之差的平方帶權(quán)最小。定義以下泛函:

(4)

式中:ω(x-xI)是節(jié)點xI處的權(quán)函數(shù)。式(4)對a(x)求導并令其等于零得

(5)

a(x)=A-1(x)B(x)Y,

(6)

Y=[y1,y2,…,yn]T,將式(6)代入式(1)中,得到擬合函數(shù)

y=g(x)=pT(x)a(x)

=pT(x)A-1(x)B(x)Y.

(7)

即擬合得到坐標點(x,y)。

1.2權(quán)函數(shù)

移動最小二乘擬合的局部近似性是通過權(quán)函數(shù)得以實現(xiàn)的。常用的權(quán)函數(shù)有三次樣條函數(shù)和高斯函數(shù)。而由文獻[9]得出的結(jié)論,采用相同階次基函數(shù)時,高斯函數(shù)擬合的精度不如三次樣條函數(shù),故本文采用三次樣條函數(shù)作為權(quán)函數(shù)。

三次樣條函數(shù)的表達式為

ω(s)=

(8)

1.3影響區(qū)域半徑下限公式

由1.2節(jié)對x影響區(qū)域的論述可知,當擬合點為區(qū)間內(nèi)的任意值時,d的選取就必須保證影響區(qū)域內(nèi)至少包含兩個數(shù)據(jù)點,則此時的d應(yīng)滿足下述條件:

(9)

式中,xI為數(shù)據(jù)點。將式(9)稱為采用線性基的移動最小二乘曲線擬合的影響區(qū)域半徑下限公式。

(10)

此時有

(11)

即xM和xM+2均不在x的影響區(qū)域中,此時x的影響區(qū)域中最多存在數(shù)據(jù)點xM+1,式(6)為病態(tài)方程組,擬合會得出奇異解。

反之,當d>d0時,可得xM、xM+1和xM+2均在x的影響區(qū)域中,擬合不會出現(xiàn)奇異解。

2　壓控衰減器測試數(shù)據(jù)擬合

以采用本文方案的某專題實驗為例,衰減控制模塊中的單片機Atmega64輸出10 bit控制字到壓控衰減器MAX19791內(nèi)置的數(shù)模轉(zhuǎn)換器(DAC)中,DAC將控制字轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的電壓輸出到衰減器中。因此,當輸入信號功率固定時,單片機依次寫入1 024個控制字,MAX19791就會輸出1 024個對應(yīng)的功率,就可得到1024個相應(yīng)的衰減值。

2.1數(shù)據(jù)測量

測試儀器采用Agilent E4421B信號發(fā)生器和Agilent E4416A功率計。常溫下,信號發(fā)生器輸出10 dBm單頻信號,經(jīng)過MAX19791后輸入到功率計中。將寫入的控制字yk和相應(yīng)的衰減值xk記為數(shù)據(jù)點(xk,yk),k=0,1,2,…,1023.

除去衰減基本不變的高、低控制電壓段,僅利用衰減特性較好的控制字141～940間的測量數(shù)據(jù),將其記為(XJ,YJ),J=1,2,…,800.畫出數(shù)據(jù)點(XJ,YJ),J=1,2,…,800的曲線如圖1所示。

圖1　控制字隨衰減值變化曲線

由于每個數(shù)據(jù)點都要參與移動最小二乘擬合的運算,故為了減輕單片機的存儲和計算壓力,應(yīng)在保證擬合精度的條件下適當減少數(shù)據(jù)量。根據(jù)數(shù)據(jù)集(XJ,YJ),J=1,2,…,800,衰減值每間隔0.4 dB取一個數(shù)據(jù)點作為樣本,共得到96個樣本數(shù)據(jù)點即(xI,yI),I=1,2,…,96.

2.2影響區(qū)域半徑d的確定

擬合過程采用線性基p(x)=[1,x]T,運行算法需確定擬合點x的影響區(qū)域半徑d.

2.2.1擬合精度

用式(12)定義擬合精度

(12)

2.2.2仿真

將測量數(shù)據(jù)點(XJ,YJ)全部作為待擬合點進行擬合計算,其中,dj=0.52+(j-1)×0.02,j=1,2,…,100,即d分別取100個值。得到擬合精度隨影響區(qū)域半徑d的變化曲線如圖2所示。

圖2　擬合精度隨影響區(qū)域半徑d的變化曲線

由圖2可知,影響區(qū)域半徑越大,擬合精度越低。故對于本文的移動最小二乘曲線擬合,d越小越好,同時還要滿足d>d0=0.51,故取d=0.52.

2.3擬合性能分析

取影響區(qū)域半徑d=0.52,擬合點同樣選擇(XJ,YJ),J=1,2,…,800.得到控制字的擬合曲線如圖3所示。

圖3　擬合與測量數(shù)據(jù)曲線

由圖3可知,擬合曲線與實測曲線高度吻合。在實際的工程應(yīng)用中,只關(guān)注使用擬合出的控制字去執(zhí)行衰減時,其實際衰減值與預期衰減值之間的誤差。

經(jīng)測試,MAX19791性能穩(wěn)定,在控制字140到940之間,重復寫入同一控制字會得到相同的衰減,因此可認為測量數(shù)據(jù)(XJ,YJ),J=1,2,…,800中,YJ為衰減XJdB的真實控制字。由此得到800個測量數(shù)據(jù)點的擬合衰減誤差特性如表1和圖4所示。

表 1　擬合衰減誤差特性

圖4　擬合衰減誤差曲線

由表1和圖4可知,擬合的衰減誤差最大為0.1dB,相比于采用數(shù)控衰減器0.5dB的誤差,降低了80%,完全滿足0.2dB的工程需求,證明此方案是可行和有效的。

3　方案的硬件實現(xiàn)

在硬件實現(xiàn)中,PC將期望的衰減值輸入到單片機Atmega64中,Atmega64中的移動最小二乘擬合算法根據(jù)輸入擬合出相應(yīng)的控制字以控制衰減器衰減。圖5所示為某專題實驗中采用本文方案的衰減控制模塊。

圖5　衰減控制模塊實物

4　結(jié)束語

本文介紹了移動最小二乘擬合的原理,通過理論證明,得出了采用線性基的移動最小二乘曲線擬合,不出現(xiàn)奇異解的影響區(qū)域半徑下限公式,此公式具有一定的理論和工程指導意義。基于壓控衰減器的特性,適當篩選了測試數(shù)據(jù),并采用線性基作為曲線擬合的基函數(shù),減輕了處理器的存儲和計算壓力,使算法更易在硬件上實現(xiàn)。利用實測數(shù)據(jù)進行仿真,得到擬合精度隨影響區(qū)域半徑單調(diào)遞減的結(jié)論,從而確定了最優(yōu)影響區(qū)域半徑d.在此基礎(chǔ)上對壓控衰減器的輸入輸出數(shù)據(jù)進行了曲線擬合,得到了輸入輸出間精確的映射關(guān)系。

經(jīng)實測數(shù)據(jù)驗證,采用本方案的MAX19791衰減絕對誤差不超過0.1dB,相比于數(shù)控衰減器,誤差降低了80%,滿足實際工程需求,驗證了本方案的可行性和有效性。本文的研究也適用于其它類似的器件或系統(tǒng)。

在本文的研究過程中,我們發(fā)現(xiàn)有以下問題尚待研究和解決:

1) 壓控衰減器的頻率穩(wěn)定性問題。若通道內(nèi)允許多種頻率信號通過,則不同頻點處的衰減特性不同,采用同一樣本數(shù)據(jù)點的擬合會附加一定的誤差,需對此誤差進行分析。

2) 壓控衰減器的溫度穩(wěn)定性問題。壓控衰減器在相同頻點處的衰減特性會因環(huán)境溫度的變化而變化,需對由溫度帶來的擬合衰減誤差進行分析研究。

致謝:感謝國防科大衛(wèi)星導航定位工程技術(shù)研究中心硬件射頻組對本文研究的支持!

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The Method of Applying the Curve Fitting to Improve the Accuracy of Voltage Variable Attenuators

TANG Xianpeng,LI Baiyu,CHEN Lei,WU Lijie,OU Gang

(CollegeofElectronicScienceandEngineering,NationalUniversityofDefenseTechnology,Changsha410073,China)

In satellite navigation signal simulators, digital attenuators cannot reach a high accuracy of power control. Replacing digital attenuators by voltage variable attenuators, a method for improving the accuracy of voltage variable attenuators with curve fitting based on moving least squares is proposed. By establishing the relationship between the inputs and outputs, the accuracy of the voltage variable attenuator can be improved using the precise control word derived from expected attenuation. Experiment results demonstrate that the maximum error of attenuation is 0.1dB, which decreases by 80% compared to digital attenuators.

Moving least squares; voltage variable attenuator; curve fitting; accuracy improvement

10.13442/j.gnss.1008-9268.2016.04.003

2016-04-15

青年科學基金資助項目(編號:61403413)

TN715+.1

A

1008-9268(2016)04-0012-05

湯先鵬(1991-),男,碩士生, 主要從事衛(wèi)星導航定位、射頻系統(tǒng)研究。

李柏渝(1982-),男, 博士, 講師,主要從事射頻系統(tǒng)、衛(wèi)星導航定位研究。

陳雷(1987-),男,博士生, 主要從事衛(wèi)星導航定位、GNSS信號快速捕獲研究。

吳禮杰(1985-),男,碩士,主要從事射頻系統(tǒng)研究。

歐鋼(1969-),男,教授,博士生導師,主要從事高精度衛(wèi)星導航定位與授時研究。

聯(lián)系人： 湯先鵬E-mail:xptang2016@126.com