耿　沛，邢靜忠，陳曉霞

(天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津　300387)

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復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下三維纖維向應(yīng)力公式及其應(yīng)用研究

耿沛，邢靜忠，陳曉霞

(天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津300387)

為解決二維纖維向應(yīng)力公式在計(jì)算三向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)出現(xiàn)的偏差，推導(dǎo)出三維纖維向應(yīng)力公式。利用正軸和偏軸坐標(biāo)系下的應(yīng)力和應(yīng)變的坐標(biāo)變換，導(dǎo)出正軸和偏軸的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。利用對(duì)稱均衡鋪設(shè)層的應(yīng)力和變形關(guān)系，求解得到三向應(yīng)力狀態(tài)下的纖維應(yīng)力公式。其退化情況等同于現(xiàn)有二維公式；用于厚壁筒模型時(shí)，本公式與其三維公式完全一致。采用ANSYS軟件的SOLID191層合單元建立有內(nèi)膽的纖維纏繞厚壁筒模型，計(jì)算內(nèi)外壓作用下的應(yīng)力分布及強(qiáng)度比。對(duì)比表明，本公式的計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果一致。研究發(fā)現(xiàn)，在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，三維應(yīng)力公式可給出更準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果；基于二維應(yīng)力公式的纖維層強(qiáng)度比小于三維公式的結(jié)果。本公式為T(mén)sai-Wu等復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下失效準(zhǔn)則的強(qiáng)度計(jì)算奠定理論基礎(chǔ)。三維纖維應(yīng)力公式不僅適用于厚壁柱形容器等結(jié)構(gòu)，而且適用于任意對(duì)稱均衡鋪設(shè)的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算。

纖維向應(yīng)力；正交各向異性；強(qiáng)度比；失效準(zhǔn)則；有限元分析

0　引言

纏繞是復(fù)合材料成型的最主要工藝手段之一[1]。多數(shù)纖維纏繞復(fù)合材料結(jié)構(gòu)需反復(fù)使用，因而對(duì)結(jié)構(gòu)的安全性和耐用性指標(biāo)提出更高要求?，F(xiàn)有分析法中，建模的復(fù)雜性和技術(shù)成本等限制因素，使有限元方法難以得到廣泛應(yīng)用。因此, 纖維增強(qiáng)結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能研究和強(qiáng)度設(shè)計(jì)需要更簡(jiǎn)便準(zhǔn)確的分析方法。

國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)纖維纏繞容器進(jìn)行了應(yīng)力和強(qiáng)度方面的研究[2-18]。早期Cohen等[2-4]通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法研究了纖維纏繞參數(shù)對(duì)復(fù)合材料容器質(zhì)量和強(qiáng)度的影響，并利用層合板理論進(jìn)行二維應(yīng)力計(jì)算和強(qiáng)度評(píng)價(jià)。Xia等[5-7]研究了橫向荷載和純彎曲條件下纖維纏繞柱形容器的應(yīng)力和變形。Mertiny等[8-10]實(shí)驗(yàn)研究了纖維纏繞工藝參數(shù)對(duì)玻璃纖維纏繞管試件的物理和力學(xué)性能的影響。Tabakov等[12-13]在三維應(yīng)力計(jì)算基礎(chǔ)上進(jìn)行了纏繞角的優(yōu)化。這些理論研究均采用三維應(yīng)力計(jì)算模型，但強(qiáng)度評(píng)價(jià)中未給出三維方向的纖維應(yīng)力公式。邢靜忠等[17]給出纖維纏繞厚壁筒柱形容器的三維應(yīng)力計(jì)算和強(qiáng)度評(píng)價(jià)的方法。但以上方法均未給出一般意義的三維纖維向應(yīng)力計(jì)算公式。

在層合板理論中，主要考慮層合板的面內(nèi)應(yīng)力，即平面應(yīng)力狀態(tài)。實(shí)際上，應(yīng)力狀態(tài)還存在相鄰層間的層間正應(yīng)力和層間切應(yīng)力[1]。1970年，Yamawaki等[19-21]推導(dǎo)出二維纖維向應(yīng)力公式，并研究了適用于二向應(yīng)力狀態(tài)的多種應(yīng)用。文獻(xiàn)[2-7]著重于討論纖維纏繞柱形容器，并按照二維層合板理論進(jìn)行分析，而對(duì)任意對(duì)稱均衡鋪設(shè)的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料在復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算沒(méi)有涉及。對(duì)于三向應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度計(jì)算，二維纖維向應(yīng)力公式存在很大偏差。因此，需要借助三維應(yīng)力公式計(jì)算結(jié)構(gòu)強(qiáng)度。

文中采用對(duì)稱均衡鋪設(shè)纖維復(fù)合材料的正交各向異性本構(gòu)關(guān)系，利用正軸和偏軸狀態(tài)下的應(yīng)力和應(yīng)變的坐標(biāo)變換，導(dǎo)出正軸和偏軸的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。利用對(duì)稱均衡鋪設(shè)層的應(yīng)力和變形關(guān)系，求解得到三向應(yīng)力狀態(tài)下的纖維應(yīng)力解析公式，退化情況等同于現(xiàn)有二維公式。利用Hoffman和Tsai-Wu失效準(zhǔn)則比較，研究了二維公式及本文三維公式對(duì)強(qiáng)度比的影響，并采用有限元方法對(duì)本文理論研究結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。突顯出二維纖維向應(yīng)力公式的局限性和三維纖維向應(yīng)力公式的優(yōu)勢(shì)。

1　應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是求解三維纖維向應(yīng)力公式的基礎(chǔ)。對(duì)于均衡對(duì)稱鋪設(shè)復(fù)合材料，由于其對(duì)稱性，面內(nèi)正應(yīng)力只產(chǎn)生面內(nèi)正應(yīng)變。定義1、2、3為正軸坐標(biāo)系，r、θ、z為偏軸坐標(biāo)系。其中，3軸和r軸重合(圖1)。定義方向余弦m=cosφ，n=sinφ。其中，φ是正軸坐標(biāo)系繞r軸旋轉(zhuǎn)的角度，也是纖維與z軸的夾角。

(a)偏軸應(yīng)力　　　(b)正軸應(yīng)力

1.1應(yīng)力和應(yīng)變的坐標(biāo)變換

圖1(a)是均衡對(duì)稱鋪設(shè)整體的偏軸應(yīng)力σr、σθ、σz以及面內(nèi)切應(yīng)力τzθ。圖1(b)是某層的纖維方向的縱向應(yīng)力σ1、橫向應(yīng)力σ2和σ3以及面內(nèi)切應(yīng)力τ12。

基于圖1所示的偏軸和正軸坐標(biāo)系下的應(yīng)力等效關(guān)系，可得正軸應(yīng)力和偏軸應(yīng)力的轉(zhuǎn)換關(guān)系?；谄S和正軸坐標(biāo)系下的應(yīng)變幾何關(guān)系，可得正軸應(yīng)變和偏軸應(yīng)變的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

(1)應(yīng)力的坐標(biāo)變換

(2)應(yīng)變的坐標(biāo)變換

(1)

1.2正軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

定義正軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系：

式中{C}為正軸剛度矩陣。

對(duì)于單向纖維復(fù)合材料，2-3方向性能相同，即

(2)

從而，化簡(jiǎn)得非零的正軸剛度系數(shù)：

1.3偏軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系

因?qū)ΨQ性，偏軸本構(gòu)關(guān)系可表示為

應(yīng)變能可表示為正軸剛度系數(shù)或偏軸剛度系數(shù)：

據(jù)式(1)給出的應(yīng)變坐標(biāo)變換關(guān)系，最終化簡(jiǎn)可得

(3)

將式(1)代入式(3)，可得非零偏軸剛度系數(shù)與正軸剛度系數(shù)之間的關(guān)系[22-23]：

整理得到偏軸坐標(biāo)系下纖維層的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系：

該式描述偏軸正應(yīng)力與偏軸正應(yīng)變之間的關(guān)系。上式也可表示為

其中

2　三維纖維向應(yīng)力公式推導(dǎo)

通過(guò)圖1(a)纖維層平均偏軸應(yīng)力與圖1(b)正軸應(yīng)力之間的等效關(guān)系、每層纖維的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系以及變形協(xié)調(diào)關(guān)系，求解圖1(b)纖維方向的應(yīng)力。

2.1求解偏軸柔度系數(shù)

采用(φ,-φ)的均衡對(duì)稱鋪設(shè)，每層的正軸柔度矩陣：

則偏軸柔度矩陣可表示為

式中Tσ(φ)為+φ層的應(yīng)力坐標(biāo)變換矩陣。

2.2求解纖維層應(yīng)變

基于偏軸的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，由偏軸應(yīng)力可求得+φ層的偏軸應(yīng)變：

式中上標(biāo)(φ)代表+φ層的應(yīng)力應(yīng)變；上標(biāo)(-φ)代表-φ層的應(yīng)力應(yīng)變。

同理，可求得-φ層的偏軸應(yīng)變。

2.3求解纖維向應(yīng)力公式

雖然均衡對(duì)稱鋪層內(nèi)存在剪切應(yīng)力，相鄰鋪層的剪切應(yīng)力相互抵消，且各層的應(yīng)變相同，故有

(4)

由此可求出σz(φ)、σz(-φ)、σθ(φ)、σθ-(φ)、τzθ(φ)、τzθ(-φ)6個(gè)未知量。正軸和偏軸坐標(biāo)變換繞r軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，3軸和r軸重合，故正應(yīng)力

(5)

令

基于應(yīng)力的坐標(biāo)變換，由偏軸應(yīng)力可得到正軸應(yīng)力，即

經(jīng)化簡(jiǎn)，得到

(6)

其中

式(6)即為+φ層的三維纖維向應(yīng)力公式。-φ層的σ1、σ2和σ3與式(6)一致，τ12與式(6)第4式的正負(fù)號(hào)相反。因切應(yīng)力對(duì)強(qiáng)度比計(jì)算無(wú)影響，以下驗(yàn)證均以+φ層的三維纖維向應(yīng)力公式計(jì)算。

3　三維纖維向應(yīng)力公式的退化及應(yīng)用

文獻(xiàn)[17]建立外半徑為b的厚壁筒模型，其內(nèi)膽的內(nèi)外半徑分別為a和c。內(nèi)膽內(nèi)壁有內(nèi)壓qa，纖維層外壁有外壓qb。推導(dǎo)出確定積分常數(shù)和軸向應(yīng)變的方程組，以及纖維層應(yīng)力公式。文獻(xiàn)[24]基于上述理論，推導(dǎo)出適用于厚壁筒的三維纖維向應(yīng)力公式?；谖墨I(xiàn)[17]的纖維層應(yīng)力公式，下面將證明式(6)結(jié)果與文獻(xiàn)[24]的三維應(yīng)力公式的一致性。

3.1纖維纏繞厚壁筒的變形和應(yīng)力

定義ur(r)、uθ(r)和uz(r)分別表示纖維纏繞厚壁筒的徑向、環(huán)向和軸向位移。借助前述偏軸本構(gòu)關(guān)系，由內(nèi)外壁的應(yīng)力邊界條件、徑向位移和應(yīng)力的連續(xù)條件以及軸向力平衡關(guān)系，獲得確定積分常數(shù)D1、D2、D3、D4和軸向應(yīng)變?chǔ)?的方程組[17]：

(7)

其中

式中E和ν分別為彈性模型和泊松比。

當(dāng)混凝土保護(hù)層厚度達(dá)不到標(biāo)準(zhǔn)或澆筑質(zhì)量較差時(shí)，鋼筋會(huì)發(fā)生銹蝕，主要是由于其保護(hù)層受二氧化碳侵蝕，大大降低了鋼筋堿度，鐵離子與水分與氧氣產(chǎn)生化學(xué)反應(yīng)，使混凝土出現(xiàn)膨脹應(yīng)力，同時(shí)銹跡滲透到混凝土表面。此外，因銹蝕問(wèn)題致使鋼筋有效面積減少，混凝土與鋼筋之間的融合力降低，結(jié)構(gòu)承載力出現(xiàn)較大程度的下降，會(huì)加劇混凝土鋼筋銹蝕，使結(jié)構(gòu)遭到破壞。

可得纖維層的位移場(chǎng)[17]：

ur(r)=D1rs+D2r-s+tε0r

其中

偏軸坐標(biāo)系下的纖維層應(yīng)力[17]：

(8)

3.2適用于厚壁筒的三維纖維向應(yīng)力公式

由平面應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可得纖維向的二向應(yīng)力[15,17,19]，由纖維層應(yīng)變經(jīng)坐標(biāo)變換可得纖維向應(yīng)變：

(9)

由正軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可得厚壁筒的三維纖維向應(yīng)力[24]：

(10)

3.3二維纖維向應(yīng)力公式

令式(6)的σr=0，可得與文獻(xiàn)[15,17,19]一致的二維纖維向應(yīng)力公式：

(11)

式中χ0、ψ0和Gzθ與式(6)的定義相同。

4　失效準(zhǔn)則和纖維層強(qiáng)度比

采用二維Hoffman和三維Tsai-Wu失效準(zhǔn)則進(jìn)行強(qiáng)度比的計(jì)算和校核?；诙SHoffman準(zhǔn)則和三維Tsai-Wu準(zhǔn)則，定義強(qiáng)度比[1]：

其中

式中σ1，σ2和σ3分別為纖維向應(yīng)力；τ12為面內(nèi)切應(yīng)力；Xt和Xc分別為縱向抗拉和抗壓強(qiáng)度；Yt和Yc分別為橫向抗拉和抗壓強(qiáng)度；S為面內(nèi)剪切強(qiáng)度。

利用上述失效準(zhǔn)則，可計(jì)算二向和三向應(yīng)力狀態(tài)下的纖維層強(qiáng)度比。

5　有限元驗(yàn)證

選擇對(duì)稱螺旋纏繞厚壁筒模型，采用具有內(nèi)外半徑分別為a和c的內(nèi)膽，采用(φ,-φ)的均衡對(duì)稱螺旋纏繞的厚壁筒，纏繞后外半徑為b。

例1： 選擇炭纖維T300經(jīng)環(huán)氧樹(shù)脂934浸膠纏繞成型有鋁內(nèi)膽的容器。a=90 mm，c=95 mm，b=100 mm，模型長(zhǎng)度取2b。泊松比為0.3，鋁制內(nèi)膽的彈性模量為E=73 GPa，其余的材料性能見(jiàn)表1。

表1　碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的材料力學(xué)參數(shù)

用ANSYS有限元軟件，采用20節(jié)點(diǎn)的3D固體單元SOLID191建立1/4模型，在對(duì)稱邊界處，設(shè)置對(duì)稱邊界條件。鋁內(nèi)膽和纏繞層剖分8層單元，纏繞層單元為40層±45°對(duì)稱鋪設(shè)。在內(nèi)膽內(nèi)壁施加內(nèi)壓qa=0.111 111 MPa，在端部截面施加由內(nèi)壓引起的拉力。這樣的載荷正好引起薄壁筒理論給出的單位環(huán)向應(yīng)力。

利用有限元和式(6)以及文獻(xiàn)[19]中二維應(yīng)力公式，給出纖維層內(nèi)外側(cè)的縱向應(yīng)力σ1，橫向應(yīng)力σ2、σ3，面內(nèi)切應(yīng)力τ12和強(qiáng)度比R(表2)。

由表2看出，本文給出的纖維層的纖維向應(yīng)力與有限元結(jié)果非常接近；基于三維纖維向應(yīng)力的強(qiáng)度比和有限元結(jié)果完全一致。文獻(xiàn)[19]公式給出的結(jié)果在容器內(nèi)側(cè)偏差較大。

表2　內(nèi)壓下的纖維層的纖維向應(yīng)力及強(qiáng)度比

注：“*”表示二維Hoffman準(zhǔn)則計(jì)算結(jié)果，其余表示三維Tsai-Wu準(zhǔn)則計(jì)算結(jié)果。

保持外徑b=100 mm不變，改變內(nèi)部幾何參數(shù)。當(dāng)a=90 mm，c=95 mm，σ1偏小1.3%，σ2偏大16.3%；當(dāng)a=50 mm，c=75 mm，σ1偏小6.3%，σ2偏大370%；當(dāng)a=50 mm，c=50 mm，σ1偏小10.3%，σ2偏大431%。

對(duì)比發(fā)現(xiàn)，隨厚度增大，σ1應(yīng)力略偏小，σ2急劇偏大。分析表明，這種偏差主要是由于文獻(xiàn)[19]僅考慮面內(nèi)應(yīng)力。而實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)還存在層間正應(yīng)力和層間切應(yīng)力。因此，只在二向應(yīng)力狀態(tài)位置準(zhǔn)確，對(duì)處于三向應(yīng)力狀態(tài)的容器內(nèi)壁產(chǎn)生偏差，此結(jié)論與文獻(xiàn)[24]一致。

例2：對(duì)上例模型，使用相同材料和幾何參數(shù)，施加外壓qb=0.111 111 1 MPa，內(nèi)壓qa=0.222 222 2 MPa。表3給出該工況下纖維向應(yīng)力和強(qiáng)度比。

表3　內(nèi)外壓同時(shí)作用下的纖維層的纖維向應(yīng)力及強(qiáng)度比

注：“*”表示二維Hoffman準(zhǔn)則計(jì)算結(jié)果，其余表示三維Tsai-Wu準(zhǔn)則計(jì)算結(jié)果。

從表3看出，在內(nèi)外壓同時(shí)作用下，本文理論給出的三維纖維向應(yīng)力公式的強(qiáng)度比與有限元結(jié)果吻合很好，而文獻(xiàn)[19]公式給出的應(yīng)力和強(qiáng)度比偏差很大。與例1相比，內(nèi)外壁強(qiáng)度計(jì)算偏差均超過(guò)50%。

分析表明，在三向應(yīng)力狀態(tài)下，文獻(xiàn)[19]的二維應(yīng)力公式不僅在應(yīng)力計(jì)算上存在較大偏差，而且在強(qiáng)度指標(biāo)計(jì)算上偏差更大。這主要是因?yàn)槔w維橫向應(yīng)力偏差對(duì)強(qiáng)度影響很大，造成纖維層強(qiáng)度的很大偏差。

6　結(jié)論

對(duì)于任意對(duì)稱均衡鋪設(shè)的纖維復(fù)合材料，層合板理論給出的纖維向二維應(yīng)力公式在計(jì)算復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度時(shí)會(huì)出現(xiàn)很大偏差。特別是纖維橫向應(yīng)力偏差對(duì)強(qiáng)度影響很大，導(dǎo)致層合板理論給出的纖維層強(qiáng)度偏差很大。本文的三維纖維向應(yīng)力公式很好地解決了這一問(wèn)題，不僅適用于厚壁柱形容器等結(jié)構(gòu)，而且適用于任意對(duì)稱均衡鋪設(shè)的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算，為T(mén)sai-Wu等三維強(qiáng)度理論的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

(1)采用對(duì)稱均衡鋪設(shè)層的應(yīng)力和變形關(guān)系，推導(dǎo)出三向應(yīng)力狀態(tài)下的纖維向應(yīng)力公式，可用于三向應(yīng)力狀態(tài)下的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度分析。

(2)在三向應(yīng)力狀態(tài)下，使用Hoffman和Tsai-Wu失效準(zhǔn)則，基于二維應(yīng)力公式的纖維層強(qiáng)度比小于三維公式的結(jié)果。

(3)有限元仿真驗(yàn)證表明，本文纖維向應(yīng)力公式給出非常接近有限元模型的結(jié)果，可替代有限元進(jìn)行對(duì)稱均衡鋪設(shè)復(fù)合材料的強(qiáng)度計(jì)算。

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(編輯：崔賢彬)

Spacial filament stresses in fiber directions and application research in state of triaxial stress

GENG Pei，XING Jing-zhong，CHEN Xiao-xia

(School of Mechanical and Electronic Engineering, Tianjin Polytechnic University, Tianjin300387, China)

In order to reduce the deviation of the two-dimensional (2D) fiber stresses formulae in calculating the three-dimensional (3D) stresses, 3D fiber stresses formulae were present. Using the coordinate transformation of stress-strain in on-axis and off-axis coordinate systems, the on-axis and off-axis stress-strain relationship was given. Based on the relationship of forces equilibrium and deformation consistency between the global unit and the alternate-ply, 3D fiber stresses formulae were derived analytically. The degradation is equivalent to the 2D formulae in the

, and the 3D formulae in the thick-walled cylinder model. Finite element models (FEMs) of filament winding thick-walled cylinder were built in ANSYS software by layered element SOLID191, and numeric results were calculated and analyzed under internal pressure, and both internal and external pressure, respectively. Perfect agreement of fiber stresses in fiber directions and strength ratio between the FEMs and the theory was achieved. It is found that the 3D fiber stresses formulae give more accurate stresses results and lower strength ratio than 2D formulae in triaxial stress state. The formulae in the paper give a theoretical basis for Tsai-Wu failure criteria in triaxial stress state. The 3D fiber stresses formula applies to the stresses and strength ratio calculation of thick-walled cylindrical structure, and any structures made of symmetrical alternate-ply fiber reinforced composite material.

fiber stresses；orthogonal anisotropy；strength ratio；failure criteria；FEA

2014-11-18；

2015-04-27。

浙江大學(xué)CAD&CG國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放課題(A1515)；國(guó)家自然科學(xué)基金(11372220)；天津市應(yīng)用基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計(jì)劃一般項(xiàng)目(14JCYBJC19200)；國(guó)家自然科學(xué)基金(51575390)。

耿沛(1989—)，男，碩士生，研究方向?yàn)閺?fù)合材料結(jié)構(gòu)力學(xué)。E-mail:gp321.cool@163.com

邢靜忠(1969—)，男，教授/碩導(dǎo)，研究方向?yàn)閺?fù)合材料結(jié)構(gòu)力學(xué)分析。E-mail:hsingjzh@tjpu.edu.cn

V438

A

1006-2793(2016)02-0236-06

10.7673/j.issn.1006-2793.2016.02.015