安徽省合肥中國科大附中 黃嚴(yán)生 高龍錦

“算法初步”學(xué)習(xí)的定位與思考

安徽省合肥中國科大附中 黃嚴(yán)生 高龍錦

算法思想是新課程強(qiáng)調(diào)的一種數(shù)學(xué)思想，算法的基本知識、方法和思想已滲透到人們的日常生活的方方面面，成為現(xiàn)代人理應(yīng)具備的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)。算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確和有限的步驟。因此，算法有三個重要特征，其一是有窮性，一個算法必須保證能在執(zhí)行有限步后結(jié)束，不能是無限的；其二是明確性，算法的每一步和次序必須是明確的；其三是有效性，算法每一步都是有效的，能精確地運行。算法有三種語言，即自然語言、框圖語言、程序語言。程序框圖又有三種基本邏輯結(jié)構(gòu)，即順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)（分支結(jié)構(gòu)）、循環(huán)結(jié)構(gòu)。算法知識結(jié)構(gòu)如下：

一、重難點解析與學(xué)習(xí)定位

本章的重點是程序框圖。程序框圖往往含有順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)三種基本邏輯結(jié)構(gòu)，其中的難點是對循環(huán)結(jié)構(gòu)的理解和應(yīng)用。正確理解循環(huán)結(jié)構(gòu)，首先要確定是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)還是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，第二要認(rèn)清表示累計變量的意義，第三要確定在哪一步開始循環(huán)。

算法的程序語言，是將算法框圖轉(zhuǎn)化為計算機(jī)能識別和執(zhí)行操作的語句，任何一種正確的算法程序，輸入到計算機(jī)中，通過計算機(jī)運行就能輸出結(jié)果。輸入語句、輸出語句和賦值語句是任何一個算法中必不可少的語句。在賦值語句中，一定要注意其格式要求，如：“＝”的右側(cè)必須是數(shù)值表達(dá)式，左側(cè)必須是變量，一個語句只能給一個變量賦值，變量的值始終等于最近一次賦給它的值，先前的值將被替換。在一個算法對輸入的值進(jìn)行判斷時，就需要條件語句。若一個算法中某些步驟需要反復(fù)執(zhí)行多次，就少不了循環(huán)語句。

二、算法的多元表征與案例分析

多元表征是數(shù)學(xué)一大特征，算法是解決某一類問題有限的步驟，表征算法的語言有三種，我們可以將解決問題的步驟分別用自然語言、框圖語言、程序語言表征出來。我們要能實現(xiàn)這三種語言的相互轉(zhuǎn)化。自然語言就是用文字表述一個算法；框圖語言用框圖及相關(guān)的連接符號表示算法，這種表示方法具有鮮明、直觀的特征；程序語言是用特定（計算機(jī)能識別）的語言表示算法，用于計算機(jī)識別和運行，只要輸入計算機(jī)，經(jīng)過計算機(jī)運行后就能輸出結(jié)果。下面結(jié)合實例來分析三種語言之間的轉(zhuǎn)化。（由于順序結(jié)構(gòu)簡單易懂，這里不再贅述）

1.條件結(jié)構(gòu)的應(yīng)用

解析求分段函數(shù)f（x）的值，首先要對自變量x的值在什么范圍內(nèi)進(jìn)行判斷，然后代入相應(yīng)的解析式中進(jìn)行計算。所以算法步驟可以寫成：

第一步，輸入一個實數(shù)x。第二步，判斷x的取值范圍，若x＜0，則輸出x+1；否則，再判斷x的取值范圍，若x≤2，則輸出（x-1）2；否則，輸出-x+3。

程序框圖：

評析例1要求設(shè)計求分段函數(shù)值的算法。雖然在函數(shù)解析式中的三個條件是并列的，但在算法中，首先判斷x＜0，若是，則執(zhí)行計算x+1，否則，再對x的取值進(jìn)行判斷，這就是基本邏輯結(jié)構(gòu)中的條件結(jié)構(gòu)。本題在設(shè)計算法時，先將x分為兩類：一類是x＜0，另一類是x≥0；在x≥0的前提下，再對x的取值進(jìn)行第二次分類，即分x≤2和x＞2兩類。算法中的這種處理方法值得大家注意。程序中每執(zhí)行完一個條件結(jié)構(gòu)后都有必須有結(jié)束條件結(jié)構(gòu)的語句“ENDIF”，因此，上面程序出現(xiàn)兩個“ENDIF”，其中，第一個“ENDIF”是執(zhí)行x≤2條件的結(jié)束語，第二個“ENDIF”是執(zhí)行x＜0條件的結(jié)束語。

2.循環(huán)結(jié)構(gòu)的應(yīng)用

例2設(shè)計一個計算1+2+22+…+2100的值的算法，畫出程序框圖，并寫出程序。

解析第一步，令S=1，i=1。第二步，若i≤100成立，則執(zhí)行第三、第四步；否則，輸出S，結(jié)束算法。第三步，S=S+2i。第四步，i=i+1，返回第二步。

程序框圖：

評析上面是求數(shù)列前n項和（n=100）的一個算法，實際上，第一次計算1+2=3，第二次計算3+22=7，第三次計算7+23=15，…，第100次計算2100-1+2100。這個過程中包含重復(fù)操作的步驟，因此需要使用循環(huán)結(jié)構(gòu)。上述的算法用的是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，其特征為：在每次執(zhí)行循環(huán)體前，對條件進(jìn)行判斷，當(dāng)條件滿足時，執(zhí)行循環(huán)體，否則終止循環(huán)。

我們也可以用直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)設(shè)計算法，其算法如下。

解析第一步，令S=1，i=1。第二步，S=S+2i。第三步，i=i+1。第四步，若i＞100成立，則輸出S，算法結(jié)束；否則，返回第二步。

評析此算法用的是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，其特征為：在執(zhí)行一次循環(huán)體后，對條件進(jìn)行判斷，如果不滿足條件，就繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體，直到條件滿足時終止循環(huán)。注意直到型和當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的區(qū)別和聯(lián)系，它們都是對循環(huán)體反復(fù)執(zhí)行多次，但執(zhí)行次序不同。當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)先判斷條件，滿足條件執(zhí)行循環(huán)體；而直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)先執(zhí)行循環(huán)體，再判斷條件，不滿足條件繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體。

三、通過讀圖、識圖、辨圖加深理解

算法思想是新課程強(qiáng)調(diào)的一種數(shù)學(xué)思想，算法初步是新課程試驗教材的新增內(nèi)容。上面通過實例分析了算法的三種語言的相互轉(zhuǎn)化和應(yīng)用。我們常常會遇到根據(jù)算法框圖識別框圖所表示的具體算法，并根據(jù)算法計算出輸出結(jié)果的一類試題。

例3如果執(zhí)行右面的程序框圖，輸入N=5，則輸出的數(shù)等于（）。

解析

此題若使用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)或直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，則應(yīng)做如下修改：

無獨有偶，2012年高考新課標(biāo)Ⅰ卷再次出現(xiàn)這種情況，題目如下：

如果執(zhí)行右邊的程序框圖，輸入正整數(shù)N（N≥

2）和實數(shù)a1，a2，…，an，輸出A和B，則（）。

請同學(xué)們思考本題的輸出結(jié)果，并自己動手修改，將其改為規(guī)范的框圖。

四、感悟與提升

通過以上的算法分析我們可以知道，對于算法我們并不陌生。我們?nèi)粘Ｉ钪幸呀?jīng)使用了算法思想，只是沒有系統(tǒng)地總結(jié)。如加法法則、乘法法則、去括號法則、對數(shù)運算法則、向量運算、必修1中“二分法求函數(shù)的零點”等都是具體的算法。正如張奠宙先生所說的“算法貫穿整個中學(xué)數(shù)學(xué)”，算法不是空洞的，而是實實在在的，每一個算法都有它的知識載體。所以，將算法的學(xué)習(xí)與相關(guān)知識聯(lián)系起來，能夠幫助我們體會數(shù)學(xué)的整體性，加深對所學(xué)數(shù)學(xué)知識的理解。

通過本章的學(xué)習(xí)，我們應(yīng)充分認(rèn)識到算法重視“算則”，更重視“算理”。算法具有程序化、機(jī)械化的特點，同時又具有抽象性、概括性和精確性的特點。對于一個具體算法而言，它非常具體，具體到某個計算公式以及計算過程，任何一個疏漏或錯誤都將導(dǎo)致算法出錯。因此，算法學(xué)習(xí)是培養(yǎng)思維的縝密性的有效方法。