安徽省宿州二中 鳳斌 葉菊

解決排列組合中分組與分配問(wèn)題的一類重要模型——『小球入盒』模型

安徽省宿州二中 鳳斌 葉菊

數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化，建立能近似刻畫(huà)并“解決”實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。排列組合問(wèn)題的情景設(shè)置千變?nèi)f化，“小球入盒”是一類典型的數(shù)學(xué)模型，將其用來(lái)解讀排列、組合問(wèn)題，可以搭起挖掘知識(shí)的內(nèi)涵和外延的平臺(tái)，直擊目標(biāo)。

一、不同小球入不同盒子問(wèn)題

模型1（球少盒多）5個(gè)不同的球，放入8個(gè)不同的盒子中，每盒至多放1個(gè)球，共有多少種放法？

（方法二）由于每盒至多放1個(gè)球，所以第1個(gè)球有8種放法，第2個(gè)球有7種放法，…，第5個(gè)球有4種放法。因此，完成這件事有8×7×6×5×4=6720種方法。

模型2（球多盒少）（1）4個(gè)不同的球，放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少放1個(gè)球，共有多少種放法？

（2）6個(gè)不同的球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少放1個(gè)球，共有多少種放法？

例1某體育賽事中，需要英語(yǔ)、法語(yǔ)、德語(yǔ)、意大利語(yǔ)4種語(yǔ)言翻譯各1名，現(xiàn)可從3個(gè)學(xué)校中選取，每個(gè)學(xué)校至少1名，共有多少種選法？

解析把4個(gè)名額看成4個(gè)不同的小球，分配到的3個(gè)學(xué)校當(dāng)作3個(gè)不同的盒子。這個(gè)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為我們模型2的第（1）題了。

二、相同小球入不同盒子問(wèn)題

模型3（球少盒多）5個(gè)相同的球，放入8個(gè)不同的盒子中，每盒至多放1個(gè)球，共有多少種放法？

模型4（球多盒少）（1）6個(gè)相同的球，放入4個(gè)不同的盒子中，每盒至少放1個(gè)球，共有多少種放法？

（2）4個(gè)相同的球，放入3個(gè)不同的盒子中，共有多少種放法？

（3）8個(gè)相同的球放入3個(gè)盒子中，每個(gè)盒子至少放2個(gè)，共有多少種放法？

說(shuō)明：“至少一個(gè)”是利用“隔板模型”處理問(wèn)題的特定情境。

顯然，方法一較方法二要簡(jiǎn)單。

例2學(xué)?，F(xiàn)在有6個(gè)青年志愿者的名額，分配到高一的4個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少1個(gè)名額，共有多少種分配方案？

解析把6個(gè)名額看成6個(gè)相同的小球，分配到的4個(gè)班級(jí)當(dāng)作4個(gè)不同的盒子。這個(gè)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為我們模型4的第（1）題了。

例3（1）求方程X+Y+Z+W=100共有多少組正整數(shù)解。

（2）求方程X+Y+Z+W=100共有多少組非負(fù)整數(shù)解。