安徽省靈璧黃灣中學(xué) 華興恒

把握運(yùn)動(dòng)合成與分解的本質(zhì)

安徽省靈璧黃灣中學(xué) 華興恒

運(yùn)動(dòng)的合成與分解問題對(duì)同學(xué)們來說難度較大，因?yàn)楹铣膳c分解方式的選擇不是隨心所欲的，而要根據(jù)實(shí)際情況來進(jìn)行。下面我們一起來探究幾例，希望對(duì)同學(xué)們能夠有所啟迪。

一、正確判斷兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)合成后是曲線運(yùn)動(dòng)還是直線運(yùn)動(dòng)

物體做曲線運(yùn)動(dòng)的條件是物體所受合外力的方向與物體的運(yùn)動(dòng)方向不在一條直線上，即物體運(yùn)動(dòng)的速度方向與加速度方向不在一條直線上。顯然判斷合運(yùn)動(dòng)是曲線運(yùn)動(dòng)還是直線運(yùn)動(dòng)也應(yīng)依據(jù)這一條件。具體判斷方法如下：（1）求出兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)的合初速度，即v=v1+v2；（2）求出兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)的合加速度，即a=a1+a2；（3）判斷合加速度a與合初速度v的方向關(guān)系。

若v=0但a≠0，則合運(yùn)動(dòng)為初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)；若v≠0但a=0，則合運(yùn)動(dòng)為勻速直線運(yùn)動(dòng)；若v≠0且a≠0，且二者方向在同一條直線上，則合運(yùn)動(dòng)為勻加速直線運(yùn)動(dòng)；若v≠0且a≠0，且二者方向不在同一條直線上，則合運(yùn)動(dòng)為曲線運(yùn)動(dòng)。

例1關(guān)于運(yùn)動(dòng)的合成，下列說法中正確的是（）。

A.兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)一定是直線運(yùn)動(dòng)

B.兩個(gè)不在同一條直線上的勻速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)一定是直線運(yùn)動(dòng)

C.兩個(gè)初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)一定是勻加速直線運(yùn)動(dòng)

D.勻加速直線運(yùn)動(dòng)與勻速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)一定是直線運(yùn)動(dòng)

解析根據(jù)前面的分析可知，因選項(xiàng)A中兩直線運(yùn)動(dòng)的初速度與加速度都不明確，所以合成后的合初速度與合加速度的方向關(guān)系也不明確，故合成后運(yùn)動(dòng)是直線運(yùn)動(dòng)還是曲線運(yùn)動(dòng)也就無法確定，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因選項(xiàng)B中的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)是勻速直線運(yùn)動(dòng)，合成后的合初速度是一個(gè)定值，合加速度為0，所以合成后的運(yùn)動(dòng)一定是勻速直線運(yùn)動(dòng)，故選項(xiàng)B正確；因選項(xiàng)C中兩個(gè)運(yùn)動(dòng)都是初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，合加速度是一定值，合初速度為0，合成后的運(yùn)動(dòng)一定是初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，故選項(xiàng)C正確；雖然選項(xiàng)D中兩個(gè)運(yùn)動(dòng)合成后的加速度很明確，可是由于勻加速直線運(yùn)動(dòng)的初速度不明確，所以導(dǎo)致兩個(gè)運(yùn)動(dòng)合成后的初速度方向不明確，則合成后的合初速度與合加速度的方向關(guān)系不明確，則合成后運(yùn)動(dòng)是直線運(yùn)動(dòng)還是曲線運(yùn)動(dòng)也就無法確定，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤。本題應(yīng)選B、C。

二、對(duì)拉船上岸模型問題要能正確地分解

圖1

圖2

如圖1所示，用輕繩將小船由位置A拉到位置B，會(huì)有下面的兩種效果產(chǎn)生：（1）定滑輪O到船頭C這段繩子的長度變短；（2）輕繩與豎直方向的夾角θ變小。

若假設(shè)輕繩與豎直方向的夾角保持不變，只有繩OC縮短，這樣小船就會(huì)沿繩運(yùn)動(dòng)；若假設(shè)輕繩OC段的長度保持不變，輕繩與豎直方向的夾角減小，這樣小船就會(huì)以O(shè)為圓心、以繩OC的長度為半徑做圓周運(yùn)動(dòng)，在C點(diǎn)的線速度沿切線方向，垂直于半徑OC。顯然小船同時(shí)參與兩個(gè)運(yùn)動(dòng)：一個(gè)是沿半徑方向（即繩CO方向）的直線運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)是以O(shè)C為半徑的圓周運(yùn)動(dòng)。

例2如圖2所示，在水平地面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)的汽車，通過定滑輪用繩子吊起一個(gè)物體，若汽車與被吊物體在同一時(shí)刻的速度分別為v1和v2，則下列說法正確的是（）。

A.物體在做勻速運(yùn)動(dòng)，v2=v1

B.物體在做加速運(yùn)動(dòng)，v2>v1

C.物體在做加速運(yùn)動(dòng)，v2

D.物體在做減速運(yùn)動(dòng)，v2

解析因汽車的運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致兩個(gè)效果：一個(gè)是滑輪到汽車之間的繩子變長，另一個(gè)是滑輪到汽車的繩子與豎直方向之間的夾角變大。顯然汽車的運(yùn)動(dòng)由沿繩的方向的直線運(yùn)動(dòng)和垂直于繩的方向的圓周運(yùn)動(dòng)合成，所以汽車的運(yùn)動(dòng)應(yīng)從沿繩和垂直于繩的兩個(gè)方向進(jìn)行分解，如圖2所示。

根據(jù)圖中所示的分解，有v2=v1sinθ，由于v1是恒量，θ逐漸增大，所以v2增大，即物體加速上升，且v2

三、小船渡河問題

如果水流的速度大于小船在靜水中的航行速度，則不論小船怎樣航行，都會(huì)被水沖向下游，那么怎樣才能使得小船漂向下游的距離最小呢？如圖4所示，設(shè)船頭（v船）與河岸成θ角，合速度（v）與河岸成α角，容易看出α角越大，船漂向下游的距離越短。在什么條件下α角最大呢？可以以v水的矢尖為圓心，以v船的大小為半徑畫圓，當(dāng)v與圓相切時(shí)，α角最大。

例3如圖5所示，河水流速v1=5 m/s，一只小機(jī)動(dòng)船在靜水中的航行速度v2=4 m/s?，F(xiàn)在它從A點(diǎn)開始渡河，要使其位移最短，船頭應(yīng)指向何方航行？

四、平拋運(yùn)動(dòng)問題

例4如圖7所示，與水平面的夾角為θ的直角三角形木塊（斜面足夠長）固定在地面上，將一個(gè)可以看作質(zhì)點(diǎn)的小球以初速度v0從三角形的頂點(diǎn)上水平拋出，試求小球距斜面的最遠(yuǎn)距離是多大？

解析假設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)距離斜面最遠(yuǎn)（如圖8），根據(jù)題意可知，此時(shí)小球的速度與斜面平行。作速度的反向延長線，與水平位移AF交于中點(diǎn)D，過B點(diǎn)作垂直于斜面的垂線BE，過D點(diǎn)作垂直于斜面的垂線DC，則BE=DC，BE即為小球到斜面的最遠(yuǎn)距離。

五、速度與加速度的關(guān)聯(lián)問題

如圖9所示，在一光滑水平面上放一物體，人通過細(xì)繩跨過高處的定滑輪拉物體，使物體在水平面上運(yùn)動(dòng)，人以大小不變的速度v運(yùn)動(dòng)。當(dāng)繩子與水平方向成θ角時(shí)，物體前進(jìn)的瞬時(shí)速度v物是多大？

此問題還可以利用微元法、運(yùn)動(dòng)的分解等方法求解，同學(xué)們不妨試一試。

例5在水平光滑細(xì)桿上串著A、B兩個(gè)剛性小球，兩球間距離為L，用兩根長度同為L的不可伸長的輕繩與C球連接，如圖10所示。開始時(shí)三球靜止，兩繩伸直，然后同時(shí)釋放三球。已知A、B、C三球質(zhì)量相等，試求A、B兩球的速度vA或vB的大小與C球到細(xì)桿的距離h之間的關(guān)系。

解析求解本題的關(guān)鍵是要找到A、B兩球的速度和C球的速度之間的關(guān)系。易知vA=vB，在圖10所示的位置，BC繩與豎直方向成θ角。因?yàn)锽C繩不能伸長且始終繃緊，所以A、B、C三球運(yùn)動(dòng)時(shí)的約束條件是B、C兩球的速度vB和vC（或A、C兩球的速度vA和vC）在繩的方向上的投影應(yīng)相等，即vCcosθ= vBsinθ。

例6如圖11所示，均勻直桿連著兩個(gè)小球A、B，不計(jì)一切摩擦。當(dāng)桿滑到如圖所示的位置時(shí)，B球水平速度為vB，加速度為aB，桿與豎直方向的夾角為θ，求此時(shí)A球速度vA和加速度aA的大小。

解析將B球速度和加速度沿桿的方向進(jìn)行投影，則有vB′= vBcos（90°-θ），aB′=aBcos（90°-θ）。

設(shè)A球的實(shí)際速度為vA，其方向沿豎直方向，將它沿桿的方向進(jìn)行投影，則有vA′=vAcosθ，aA′=aAcosθ。

因?yàn)锳、B兩個(gè)小球連同桿一起運(yùn)動(dòng)時(shí)，桿始終伸直不彎曲，所以問題的約束條件是A球和B球的速度、加速度沿桿的方向進(jìn)行投影時(shí)大小必定相等，即vBcos（90°-θ）=vAcosθ，aBcos（90°-θ）= aAcosθ。解得：vA=vBtanθ，aA=aBtanθ。

例7如圖12所示，斜劈B的傾角為30°，劈尖頂著豎直墻壁靜止于水平地面上，現(xiàn)將一個(gè)與斜劈質(zhì)量相同、半徑為r的球A放在墻面與斜劈之間，并從圖示位置由靜止釋放，不計(jì)一切摩擦，求此后運(yùn)動(dòng)中：（1）斜劈的最大速度；（2）球觸地后彈起的最大高度（球與地面作用過程中機(jī)械能的損失忽略不計(jì)）。

A、B的運(yùn)動(dòng)均可沿斜面方向和垂直于斜面方向分解，如圖13所示。