山東省棗莊二中 吳杰

數(shù)列綜合題分類解析

山東省棗莊二中 吳杰

縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關(guān)數(shù)列的綜合型試題出現(xiàn)的頻率較高，數(shù)列常與函數(shù)、方程、不等式相聯(lián)系。這就要求同學(xué)們除了要能熟練運(yùn)用有關(guān)概念、公式以外，還要善于觀察題設(shè)的特征，聯(lián)想有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數(shù)列題的速度。

一、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題

例1（2015年江蘇卷）設(shè)a1，a2，a3，a4是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為d（d≠0）的等差數(shù)列。

（1）證明：2a1，2a2，2a3，2a4依次成等比數(shù)列。

（2）是否存在a1、d，使得a1，a22，a33，a44依次成等比數(shù)列，并說明理由。

所以2a1，2a2，2a3，2a4依次構(gòu)成等比數(shù)列。

（2）令a1+d=a，則a1，a2，a3，a4分別為a-d，a，a+d，a+2d（a>d，a>-2d，d≠0）。

點(diǎn)評(píng)解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩個(gè)數(shù)列之間的關(guān)系。如果同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差數(shù)列，部分項(xiàng)成等比數(shù)列，要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項(xiàng)抽出來單獨(dú)研究；如果兩個(gè)數(shù)列通過運(yùn)算綜合在一起，要從分析運(yùn)算入手，把兩個(gè)數(shù)列分割開，弄清兩個(gè)數(shù)列各自的特征，再進(jìn)行求解。

二、數(shù)列與函數(shù)的綜合問題

數(shù)列與函數(shù)的特殊關(guān)系，決定了數(shù)列與函數(shù)交匯命題的自然性。解決數(shù)列與函數(shù)綜合問題的注意點(diǎn)：

（1）數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集，而不是某個(gè)區(qū)間上的連續(xù)實(shí)數(shù)，所以它的圖像是一群孤立的點(diǎn)。

（2）轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時(shí)，應(yīng)注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是非常容易忽視的問題。

（3）利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中相關(guān)問題時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化。

例2設(shè)fn（x）是等比數(shù)列1，x，x2，…，xn的各項(xiàng)和，其中x>0，n∈N，n≥2。

點(diǎn)評(píng)本題主要考查的是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、零點(diǎn)定理、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等知識(shí)點(diǎn)。解題時(shí)一定要抓住重要字眼“有且僅有一個(gè)”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。證明函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的步驟：①用零點(diǎn)存在性定理證明函數(shù)零點(diǎn)的存在性；②用函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)零點(diǎn)的唯一性。

三、數(shù)列與不等式的綜合問題

數(shù)列與不等式的綜合問題是高考考查的熱點(diǎn)。數(shù)列中不等式的處理方法：

（1）函數(shù)法：即構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式，通過對(duì)關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式特殊賦值得出數(shù)列中的不等式。

（2）放縮法：數(shù)列中的不等式可以通過對(duì)中間過程或者最后的結(jié)果放縮得到。

（3）比較法：作差或者作商比較。

（4）數(shù)學(xué)歸納法：使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明（在高二時(shí)學(xué)到）。

例3（2015年重慶卷）在數(shù)列{an}中，a1=3，an+1an+λan+1+μa2n=0（n∈N*）。

（1）若λ=0，μ=-2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

數(shù)列是考查同學(xué)們創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐精神的最好素材。從近些年的高考試題來看，一些構(gòu)思精巧、新穎別致、極富思考性和挑戰(zhàn)性的數(shù)列與方程、函數(shù)（包括三角函數(shù)）、不等式以及導(dǎo)數(shù)等的綜合性試題不斷涌現(xiàn)。這部分試題往往以壓軸題的形式出現(xiàn)，考查綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，突出知識(shí)的融會(huì)貫通。數(shù)列問題難度大，往往表現(xiàn)在與遞推數(shù)列有關(guān)，遞推含義趨廣，不僅有數(shù)列前后項(xiàng)的遞推，而且有關(guān)聯(lián)數(shù)列的遞推，更有數(shù)列間的“復(fù)制”式遞推；從遞推形式上看，既有常規(guī)的線性遞推，又有分式、三角、分段、積（冪）等形式的遞推。在考查通性通法的同時(shí)，突出考查思維能力、推理能力、分析問題和解決問題的能力。