辛儒，趙永杰，2，張自強(qiáng)，2，張鵬

（1.汕頭大學(xué)工學(xué)院，廣東汕頭515063；2.汕頭輕工裝備研究院，廣東汕頭515021）

高速遞紙機(jī)構(gòu)能耗最優(yōu)的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)

辛儒1，趙永杰1，2，張自強(qiáng)1，2，張鵬1

（1.汕頭大學(xué)工學(xué)院，廣東汕頭515063；2.汕頭輕工裝備研究院，廣東汕頭515021）

為滿足印刷機(jī)械對(duì)遞紙機(jī)構(gòu)高速平穩(wěn)運(yùn)行的要求，采用共軛凸輪和搖桿滑塊構(gòu)成遞紙機(jī)構(gòu)，本文以高速遞紙機(jī)構(gòu)為對(duì)象，研究能耗最優(yōu)的動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì).首先，根據(jù)遞紙作業(yè)要求選定凸輪從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律，建立機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，通過(guò)計(jì)算確定共軛凸輪輪廓.在此基礎(chǔ)上，利用牛頓歐拉法建立機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，求出驅(qū)動(dòng)力矩、驅(qū)動(dòng)功率以及運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)的能耗.最后，以能耗最小為目標(biāo)，采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)遞紙機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì).實(shí)例證明，優(yōu)化后的遞紙機(jī)構(gòu)節(jié)能效果明顯.

遞紙機(jī)構(gòu)；能耗最優(yōu)；動(dòng)力學(xué)優(yōu)化；粒子群優(yōu)化算法

0　引言

遞紙機(jī)構(gòu)作為飛達(dá)中實(shí)現(xiàn)紙張傳遞和交接的關(guān)鍵部件，其作用是接住分紙機(jī)構(gòu)分離出的紙張，并向前遞送給接紙輥和壓紙輥.遞紙機(jī)構(gòu)工作性能的好壞直接影響到印刷速度和套印精度，繼而對(duì)膠印機(jī)整機(jī)印刷質(zhì)量有重要影響.

共軛凸輪的應(yīng)用使遞紙機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)規(guī)律完全可控，減小震動(dòng)，并能提高傳動(dòng)性能，Zhang等[1]對(duì)給紙機(jī)遞紙機(jī)構(gòu)共軛凸輪進(jìn)行了設(shè)計(jì).為提高遞紙機(jī)構(gòu)工作性能，Wang[2]研究了膠印機(jī)遞紙機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，對(duì)遞紙機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行了分析，研究機(jī)構(gòu)在高速工況下的動(dòng)態(tài)性能，得到機(jī)器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)及動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)誤差[3]. Yan[4]通過(guò)分析遞紙機(jī)構(gòu)在高速下的運(yùn)動(dòng)性能，設(shè)計(jì)出新的共軛凸輪機(jī)構(gòu).Zhang等[5]以軌跡偏差最小為目標(biāo)函數(shù)對(duì)遞紙機(jī)構(gòu)進(jìn)行尺度綜合.目前，對(duì)遞紙機(jī)構(gòu)的研究大多停留在運(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)計(jì)和動(dòng)力學(xué)分析階段，以能耗指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)較為少見(jiàn)[6].

圖1　設(shè)計(jì)流程圖

針對(duì)遞紙機(jī)構(gòu)高速、高頻、工作時(shí)間長(zhǎng)的特點(diǎn)，本文采用一種由共軛凸輪和搖桿滑塊組成的遞紙機(jī)構(gòu)，通過(guò)分析機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)得到凸輪從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律，確定出共軛凸輪輪廓，進(jìn)而以能耗指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)，采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)，綜合出能耗更低的結(jié)構(gòu)參數(shù).

1　遞紙機(jī)構(gòu)概念設(shè)計(jì)

1.1遞紙機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)流程圖

為清楚地描述遞紙機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)思路，圖1以流程圖的方式展示了遞紙機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的作業(yè)流程.

1.2系統(tǒng)描述

如圖2所示，遞紙機(jī)構(gòu)由共軛凸輪和搖桿滑塊組成，共軛凸輪固定在轉(zhuǎn)軸O處，與搖桿BAD2上滾子配合.搖桿可繞A轉(zhuǎn)動(dòng)，連桿BC、遞紙桿CE組成搖桿滑塊機(jī)構(gòu)，E處固定吸嘴.凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)桿CE周期性前后移動(dòng)，完成紙張遞送工作.

圖2　遞紙機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

2　遞紙機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1位置分析

其中，l1為桿AB長(zhǎng)度，l2為桿BC長(zhǎng)度，s1為A距參考位置距離，s2為桿CE段距離，xs為遞紙頭安裝位置距參考位置的距離，θ1為桿AB與x軸負(fù)方向夾角，θ2為桿BC與x軸負(fù)方向夾角.

遞紙機(jī)構(gòu)位置逆解為：

參考坐標(biāo)系A(chǔ)-xy如圖2所示，遞紙機(jī)構(gòu)位置方程為

其中：

2.2速度分析

方程（1）兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得

解得

2.3加速度分析

方程（6）兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得

解得

2.4共軛凸輪輪廓線設(shè)計(jì)

通過(guò)對(duì)遞紙機(jī)構(gòu)凸輪從動(dòng)件搖桿BAD2的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，給定遞紙桿CE的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，便可得出搖桿的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從而確定凸輪輪廓線.該遞紙機(jī)構(gòu)凸輪屬于滾子擺動(dòng)從動(dòng)件共軛凸輪，其輪廓線計(jì)算方法如下：

如圖3所示，滾子擺動(dòng)從動(dòng)件共軛凸輪機(jī)構(gòu)中，主、回兩凸輪所對(duì)應(yīng)的搖桿長(zhǎng)度分別為lAB1和lAB2，其上滾子半徑分別為Rr1和Rr2，φ（t）為凸輪轉(zhuǎn)角，Rb1和Rb2為主回凸輪基圓半徑.Rb1、中心距l(xiāng)OA、搖桿的角度沖程ψm和運(yùn)動(dòng)規(guī)律方程是設(shè)計(jì)凸輪輪廓給定的原始數(shù)據(jù)[7].

2.4.1主凸輪輪廓坐標(biāo)計(jì)算

主凸輪理論輪廓極坐標(biāo)θB1、ρB1和實(shí)際輪廓極坐標(biāo)θK1、ρK1按式（10）、（11）、（14）、（15）計(jì)算

圖3　共軛凸輪輪廓設(shè)計(jì)

式中：

其中，壓力角α1如式（16）所示.

2.4.2回凸輪輪廓坐標(biāo)計(jì)算

回凸輪的基圓半徑按式（17）確定：

其中：

回凸輪理論輪廓極坐標(biāo)θB2、ρB2和實(shí)際輪廓極坐標(biāo)θK2、ρK2，按式（19）、（20）、（22）、（23）計(jì)算：

式中：

式中壓力角如式（24）所示.

遞紙機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)由表1給出，末端遞紙桿CE運(yùn)動(dòng)規(guī)律為式（25），

圖4　共軛凸輪輪廓線

表1　結(jié)構(gòu)參數(shù)m/rad

3　動(dòng)力學(xué)模型

對(duì)遞紙機(jī)構(gòu)搖桿滑塊進(jìn)行力學(xué)分析如圖5所示.

建立其Newton-Euler方程：

圖5　受力分析

其中：

聯(lián)立方程（25）、（26）、（27），并改寫(xiě)為形式AX=B，其中

式中，ω為凸輪角速度，ts與te分別為運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)刻與結(jié)束時(shí)刻.

4　遞紙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化

4.1設(shè)計(jì)任務(wù)

結(jié)合膠印機(jī)需求開(kāi)發(fā)高速遞紙機(jī)構(gòu)，所需給紙步距為0.1 m，故給紙機(jī)構(gòu)需在xs=0.1 m的工作范圍內(nèi)完成前后遞紙任務(wù).

4.2設(shè)計(jì)變量

如圖2所示，搖桿lAD2、∠BAD2預(yù)先給定，則其結(jié)構(gòu)可以由l1、l2、s1、s2、h、xs來(lái)描述，其中l(wèi)i為桿i的長(zhǎng)度，xs為遞紙吸嘴位置，由設(shè)計(jì)任務(wù)給定，s1、h為位置參數(shù)，根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)給定，s2為遞紙吸嘴安裝位置到旋轉(zhuǎn)副的距離，s2值越小驅(qū)動(dòng)力矩越小，在此不作為設(shè)計(jì)變量，故設(shè)計(jì)變量選擇為：l1、l2.

4.3目標(biāo)函數(shù)

對(duì)于此遞紙機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)尺度綜合，采用式（36）的能耗指標(biāo)ECI（Energy Consumption Index）作為目標(biāo)函數(shù)，其物理意義為機(jī)構(gòu)運(yùn)行一個(gè)周期消耗能量的大小，該指標(biāo)反應(yīng)機(jī)構(gòu)的能耗狀況.根據(jù)數(shù)值積分，機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)的能量消耗為[8]：

其中：

num為積分步長(zhǎng)，其取值一般為

其中，n為正整數(shù).所需能耗的近似誤差需要滿足

其中，e為需要滿足的近似誤差，n1為在數(shù)值積分中用到的正整數(shù).

4.4約束條件

約束條件的施加考慮以下因素：

（1）機(jī)構(gòu)中搖桿與共軛凸輪配合運(yùn)動(dòng)，受到共軛凸輪軸的限制，其擺動(dòng)范圍60°≤θ1≤110°.

（2）傳動(dòng)角是衡量平面連桿機(jī)構(gòu)傳動(dòng)性能的重要指標(biāo)，一般傳動(dòng)角的選擇范圍為（40°，140°），故遞紙機(jī)構(gòu)連桿間的傳動(dòng)角選擇范圍為（40°，140°）.

（3）滿足偏置搖桿滑塊機(jī)構(gòu)需添加約束.

由于受到該約束的作用，給定l2min即可確定l1、l2的取值范圍如下式所示.

（4）考慮到搖桿上裝配有滾子、連桿的桿長(zhǎng)最小值需滿足裝配要求，桿長(zhǎng)最小值需滿足下式.

4.5優(yōu)化實(shí)現(xiàn)

遞紙機(jī)構(gòu)的優(yōu)化可以轉(zhuǎn)化為包含上述約束條件的非線性約束優(yōu)化問(wèn)題[9]

其中X=（l1，l2），采用粒子群算法求解非線性約束優(yōu)化問(wèn)題，對(duì)于算法中每個(gè)粒子（可行解），遞紙桿在工作空間運(yùn)行一個(gè)周期便能計(jì)算出目標(biāo)函數(shù)值和約束函數(shù)值，通過(guò)算法迭代便能找出目標(biāo)函數(shù)極值.

5　粒子群算法

粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization）是Kennedy和Eberhart于1995年受鳥(niǎo)群系統(tǒng)行為特性啟發(fā)建立的一種群體智能優(yōu)化算法，已廣泛應(yīng)用于解決優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題[10]. Clerc和Kennedy于2002年提出自適應(yīng)粒子群算法[11]，引入了收縮因子（Constriction Factor）來(lái)保證算法收斂.該算法忽略了慣性權(quán)重w和最大速度限制lmax，是標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的一個(gè)版本，其進(jìn)化方程可描述為

其中，式（48）、（49）為速度更新方程和位置更新方程，xi（t）、vi（t）為迭代時(shí)刻t粒子i的位置、速度.pi（t）、pg（t）為個(gè)體極值位置和群體極值位置，r1和r2是［0，1］之間的隨機(jī)數(shù)，c1和c2是粒子的加速度常數(shù)，通常在［0，4］取值.收縮因子

在（0，1）取值，其中φ=c1+c2.Clerc指出φ＞4時(shí)可以保證算法收斂性[11]，并提出φ=4.1即收縮因子k=0.729時(shí)算法具有較好的收斂性.Clerc在導(dǎo)出收縮因子法時(shí)不再需要最大速度限制vmax，但研究發(fā)現(xiàn)收縮因子配合速度鉗制可獲得更高的收斂速度.通常最大速度選為搜索空間的10%～20%.

本文中算法參數(shù)值設(shè)置為：k=0.729、c1=c2=2.05，種群規(guī)模20，迭代次數(shù)100，最大速度cmax設(shè)置為搜索空間的15%.

6　實(shí)例

本小節(jié)將針對(duì)具體算例對(duì)飛達(dá)遞紙機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)，注意到桿AB、BC的等效質(zhì)量為桿長(zhǎng)和截面積的函數(shù)，且桿中間段被設(shè)計(jì)成矩形界面，故設(shè)μ1=1.17kg/m、μ2=1.17kg/m分別為桿AB、BC中間段單位長(zhǎng)度質(zhì)量，且令m1為搖桿BAD2及兩個(gè)滾子的質(zhì)量和.由此得到的系統(tǒng)慣性參數(shù)與桿長(zhǎng)關(guān)系如表2、3所示.

表2　轉(zhuǎn)動(dòng)慣量kg/m2

表3　構(gòu)件質(zhì)量kg

表中滾子質(zhì)量m0=0.039 2 kg，桿AD2質(zhì)量m1′=0.140 4 kg，搖桿質(zhì)心距轉(zhuǎn)軸的距離l0為

給定遞紙機(jī)構(gòu)末端遞紙桿運(yùn)動(dòng)規(guī)律方程如式（52）所示，凸輪轉(zhuǎn)角則為φ=10t.

6.1優(yōu)化結(jié)果

以能耗指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)，采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)遞紙機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，在滿足式（45）、（46）裝配要求的情況下，初步給定優(yōu)化前的機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)及目標(biāo)函數(shù)如表4所示，得到優(yōu)化后的尺寸參數(shù)及目標(biāo)函數(shù)如表5所示.

表4　優(yōu)化前機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)及目標(biāo)函數(shù)

表5　優(yōu)化后機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)及目標(biāo)函數(shù)

由表4、5可以看出，優(yōu)化后的遞紙機(jī)構(gòu)可節(jié)能12.830 2%，節(jié)能效果明顯.

6.2尺度參數(shù)對(duì)能耗指標(biāo)的影響規(guī)律

上述優(yōu)化的自變量取值范圍在給定l2min=0.08m的情況下，由約束條件（3）計(jì)算得出.

設(shè)計(jì)變量與目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系如圖6所示.

由圖6可知，能耗指標(biāo)的最小值應(yīng)該出現(xiàn)在（0.248 2，0.08）處，但表5優(yōu)化結(jié)果表明能耗指標(biāo)在（0.248 6，0.08）處取得最小值2.824 3 J，其原因是自變量為（0.248 2，0.08）時(shí)桿AB與桿BC在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)的傳動(dòng)角最大值大于140°，不滿足約束條件（2）.桿AB、BC間所允許的傳動(dòng)角最大值γ對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響如表6所示.

設(shè)計(jì)變量l1、l2的取值范圍影響優(yōu)化結(jié)果，設(shè)計(jì)變量取值范圍由l2min帶入式（43）、（44）計(jì)算得出.隨著l2min的增大，l1min逐漸變小，但不能小于約束條件（4）給出的最小值0.12 m，目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量取值范圍的關(guān)系如表7所示.由表7可以看出，在滿足約束條件的情況下l2min=0.08 m時(shí)目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化值最小為2.824 3 J.

圖6　目標(biāo)函數(shù)隨設(shè)計(jì)變量的變化關(guān)系

表6　約束條件與優(yōu)化結(jié)果的關(guān)系

表7　目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量取值范圍的關(guān)系

7　結(jié)論

針對(duì)遞紙機(jī)構(gòu)高頻、高速且工作時(shí)間長(zhǎng)的特點(diǎn)，本文采用一種由共軛凸輪和搖桿滑塊組成的遞紙機(jī)構(gòu)，以能耗指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)，利用粒子群算法對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)，得以下結(jié)論：

（1）給出高速輸紙機(jī)構(gòu)共軛凸輪輪廓坐標(biāo)的計(jì)算方法，計(jì)算出該機(jī)構(gòu)主、回凸輪的理論輪廓線和實(shí)際輪廓線.

（2）提出能耗指標(biāo)，將其作為目標(biāo)函數(shù)對(duì)遞紙機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化后的遞紙機(jī)構(gòu)較優(yōu)化前可節(jié)省12.830 2%能耗，節(jié)能效果明顯.

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Dynamic Optimization of High-Speed Paper-Feeding Mechanism Based on the Minimum Energy Consumption

XIN Ru1,ZHAO Yongjie1，2,ZHANG Ziqiang1，2,ZHANG Peng1
（1.College ofEngineering,Shantou University,Shantou 515063,GuangdongChina；2.Shantou Institute for Light Industrial Equipment Research,Shantou 515021,GuangdongChina）

In order to meet requirements of feeding paper stably in high-speed operation, the paper-feeding mechanism usually consists of a conjugate cam and a rocker slider. The dynamic optimization of high paper-feedingmechanismbased on minimum energy consumption is presented in this paper. Firstly, the camfollower’smovement rule is obtained and the conjugate cam’s contour coordinates are presented through the kinematics analysis. Then, the dynamic model of the mechanism is formulated by Newton-Euler method. The driving torque, power and energy consumption ofmotion period are obtained. Finally, PSOis used in the dynamic optimization design of this mechanism, taking the minimum energy consumption as objective function. A specific example proves that the optimized paper- feedingmechanismis energyefficient.

paper-feedingmechanism;minimumenergy consumption; dynamic optimization; PSO

TH122，TP18

A

1001-4217（2016）01-0055-10

2015-03-16

辛儒（1988—），男，河北衡水人，碩士生，從事輕工機(jī)械設(shè)計(jì)研究，E-mail：meruxin@163.com.通信作者：趙永杰，教授，碩士生導(dǎo)師.E-mail：meyjzhao@stu.edu.cn.

廣東省科技計(jì)劃資助項(xiàng)目（2011A091000013，2012B011300039，2013B011301015）；汕頭市科技計(jì)劃資助項(xiàng)目（2013-29，2013-05）；廣東省領(lǐng)軍人才項(xiàng)目.