陳思萍，婁增建

（汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系廣東汕頭515063）

關(guān)于L2（Ω，R3）中方程divb=0

陳思萍，婁增建

（汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系廣東汕頭515063）

對于b∈L2（Ω，R3），ν·b|?Ω=0，運用一個初等方法我們證明方程div b=0有一個解b=curlφ，其中φ屬于Sobolev空間

方程；L2（Ω，R3）；Sobolev空間

0　引言

設(shè)Ω為Rn中以?Ω為邊界的一個開區(qū)域.定義（Ω）為Ω上具有緊支集的無限次可微函數(shù)構(gòu)成的線性空間.設(shè)′（Ω）為（Ω）的對偶空間，即Ω上的分布函數(shù)構(gòu)成的空間.對于u∈（′Ω），定義?αu如下：

其中?αφ＝，α=（α1，…，αn）.在分布意義下，u的梯度定義為

設(shè)U=（u1，…，un）是Ω上的向量值函數(shù)，其每個分量局部可積，U的散度定義為

U的旋度是一個矩陣，矩陣的元素由下式給出

設(shè)m∈N+，1≤p＜∞，s=m+σ，其中0＜σ＜1.定義Sobolev空間：

且范數(shù)

用Ws，p（Ω）表示Ω上滿足下面條件的分布函數(shù)構(gòu)成的空間

對于s＞0，定義

且用W-s，p′（Ω）表示Ω）的對偶空間，其中1/p+1/p′=1.當(dāng)p=2時，（Ω）和W（Ω）通常記為Hs（Ω）和（Ω），W-s，2（Ω）記為H-s（Ω）且范數(shù)為

關(guān)于Sobolev空間，參見文獻[1].

現(xiàn)在我們考慮Hs（Ω）中函數(shù)的邊界值.設(shè)Ω為Rn內(nèi)的一個Lipschitz區(qū)域，Ω局部地在函數(shù)φ的圖像的下方（關(guān)于旋轉(zhuǎn)），?Ω可由φ的圖像表示，且?Ω的正則性可由φ的正則性確定.對于0≤|α|≤1，若?αφ是Lipschitz連續(xù)的，則稱?Ω屬于C1，1.我們可以定義?Ω上的分布構(gòu)成的Sobolev空間Hm（?Ω）（確切的定義可以參見文獻[1]和[2]）.

設(shè)Ω是具有C1，1邊界?Ω的區(qū)域，且n=3.用（Ω，R）3表示函數(shù)：f∶Ω→R3構(gòu)成的空間，且函數(shù)的每一個分量都屬于（Ω）.在文獻[6]，Neas證明了，如果f∈L（2Ω）且

ν表示向外的單位法向量.換句話說，我們證明了對于向量值函數(shù)b∈L2（Ω，R3）且ν· b|?Ω＝0，方程div b=0有一個解b＝curl φ，其中φ屬于Sobolev空間（Ω，R3）.關(guān)于Hardy空間中的零散度向量的研究可以參見文獻[3-5].

1　定理及其證明

定理.設(shè)Ω是R3中具有C1，1邊界的有界單連通域.若b∈L2（Ω，R3）且ν·b|?Ω=0，則在Ω上，方程

這里常數(shù)C僅依賴于域Ω.

定理的證明需要用到以下引理（見[2，命題1.3]）

引理.設(shè)Ω為R3中具有C1，1邊界的有界域.對于f∈H-2（Ω），g1∈H3/2（?Ω），g2∈H1/2（?Ω），問題：

只有一個解ψ∈H2（Ω），并且

在引理中令f=0，g1=0，則存在ψ∈H（2Ω）使得

且

令φ2=▽ψ，那么我們得φ2∈H1（Ω，R3）且

其中我們用到了如下事實，即在?Ω上ν×▽ψ=0當(dāng)且僅當(dāng)ψ在?Ω的每一個連通支集上都是常數(shù).

設(shè)φ=φ1-φ2.我們得φ∈H1（Ω，R3）且

定理證明完畢.

推論.在定理中令Ω為R3中的一個球B，我們有b=curl φ，這里（B，R3）且滿足：

致謝.感謝A.McIntosh和M.Costabel兩位教授提出的有益建議.

[1]ADAMS R.Sobolev spaces[M].NewYork；Academic Press，1975.

[2]GIRAULT V，RAVIART P A.Finite element methods forNavier-Stokes equations，theory and algorithms [M].Berlin Heidelberg：Springer-Verlag，1986.

[3]LOU Z J，MCINTOSH A.Hardy spaces of exact forms onRn[J].Trans Amer Math Soc，2005，357（4）：1469-1496.

[4]LOU Z J，MCINTOSH A.Hardy spaces of exact forms on Lipschitz domains inRn[J].Indiana Univ Math J，2004，53（2）：583-611.

[5]LOU Z J，MCINTOSH A.Divergence-free Hardy space onRn+[J].Science in China（Ser A），2004，47（2）：198-208.

The Equation div b＝0 in L2（Ω，R3）

CHEN Siping,LOU Zengjian
（College of Science，Shantou University，Shantou 515063，Guangdong,China）

For b∈L2（Ω，R3），with an elementaryproofwe showthat the equation div b＝0 has a solution b＝curl φ for φ in the Sobolev space

equation；L2（Ω，R3）；Sobolev space

O 174.22

A

1001-4217（2016）01-0003-04

2015-12-08

陳思萍（1990—），女，廣東人，研究生，研究方向：解析函數(shù)空間.E-mail：1183405833@qq.com

婁增建（1963—），男，山東人，教授，研究方向：調(diào)和分析與復(fù)分析.E-mail：zjlou@stu.edu.cn

基目項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（11171203，11571217），廣東省自然科學(xué)基金（2014A030313471）和廣東省高校國際暨港澳臺科技合作與創(chuàng)新平臺項目（2014KGJHZ007）.