◎剛蕾徐爽 唐強(qiáng)

rGFM方法在二維流-固問(wèn)題模擬中的應(yīng)用

◎剛蕾1徐爽 唐強(qiáng)

本文結(jié)合rGFM（real Ghost Fluid Method），Hydro-elasto-plastic固體模型，推廣應(yīng)用于二維流-固界面的模擬計(jì)算。通過(guò)在界面處構(gòu)造并求解Riemann問(wèn)題， 得到界面處流體的準(zhǔn)確的流動(dòng)狀態(tài)，以此狀態(tài)來(lái)定義界面邊界條件，從而將多介質(zhì)流動(dòng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單介質(zhì)流動(dòng)問(wèn)題來(lái)求解。二維數(shù)值結(jié)果表明，該方法可以用于流-固界面的數(shù)值計(jì)算，界面和其它間斷計(jì)算準(zhǔn)確，二維問(wèn)題與精確解吻合較好。

1　方程

考慮二維可壓縮多介質(zhì)流體力學(xué)方程組

p為壓力， E為單位體積的總能，可取為

這里e為單位質(zhì)量的內(nèi)能.

可壓縮氣體和水的狀態(tài)方程可以表示下列統(tǒng)一形式，

這里γ和B為常數(shù)。對(duì)于理想氣體，γ=1.4， B=0。對(duì)水（Tait方程）γ=7.15，

B=3309..通常情況下流體和固體會(huì)具有完全不同的特性，但當(dāng)固體受到很大的外力作用時(shí)，能表現(xiàn)出流體的特性. Hydroelasto-plastic body即為具有這個(gè)特性的固體模型，狀態(tài)方程為

ρ為單位質(zhì)量體積，

這里m和β分別表示體積模量和一個(gè)正常數(shù)，F(xiàn)和μ分別是楊氏系數(shù)和泊松比。

下標(biāo)a表示在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下。用Huber-Mises標(biāo)準(zhǔn)和Hooke定律來(lái)得到剪切應(yīng)力，

為了跟蹤流體的運(yùn)動(dòng)界面，建立如下二維LevelSet方程【3】

2.界面邊界條件

對(duì)于二維問(wèn)題，要定義界面邊界條件，需要給定四個(gè)變量，分別取為密度、x方向速度、y方向速度和壓力.首先考慮流體1，構(gòu)造Riemann問(wèn)題如下：任意選擇流體1中緊臨界面的網(wǎng)格點(diǎn)A（圖1），尋找流體2中緊鄰界面與A相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B，使得這兩點(diǎn)的法向所成的角最小，由于A點(diǎn)和B點(diǎn)流體的狀態(tài)已知，分別設(shè)其中和分別為A點(diǎn)和B點(diǎn)的法向速度，這樣在界面法線方向定義的Riemann問(wèn)題的初始條件可以取求解Riemann問(wèn)題可以得到界面處流體的流動(dòng)狀態(tài)為

圖1　界面處Riemann問(wèn)題得構(gòu)造

更新A點(diǎn)的狀態(tài)，由于在界面處法向速度和壓力連續(xù)， A點(diǎn)的法向速度和壓力分別取為切向速度和密度會(huì)出現(xiàn)間斷，切向速度仍然取A點(diǎn)原來(lái)的切向速度，密度取。如果流體1中緊鄰界面的所有網(wǎng)格點(diǎn)的狀態(tài)都得到了更新， 求解方程可以定義流體1的界面邊界條件。同理定義流體2的邊界條件【1，6】.

3　數(shù)值試驗(yàn)

二維問(wèn)題主要針對(duì)激波與氣-固界面和液-固界面的相互作用進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，主要目的是驗(yàn)證二維界面處理方法對(duì)強(qiáng)間斷問(wèn)題的有效性，數(shù)值結(jié)果表明，該算法能準(zhǔn)確地捕捉到流場(chǎng)內(nèi)的物理現(xiàn)象。由于固體內(nèi)部激波相對(duì)較弱，為了清楚地顯示激波的位置，本文用Schlieren圖像來(lái)顯示密度間斷，計(jì)算公式為：

算例 氣體中激波與鋼柱相互作用問(wèn)題

圖（a）-（d）給出了激波與界面作用的完整過(guò)程。由圖可以看出，激波與界面作用后分解為一個(gè)入射激波在固體中傳播，一個(gè)反射激波在氣體中傳播；由圖（a）可以看到氣體中的反射激波到達(dá)邊界并被反射，圖（b）和（c）可以看到被反射的激波在氣體中傳播；圖（d）中被邊界反射的激波到達(dá)界面并與界面相互作用，產(chǎn)生新的入射和反射波.

（作者單位：1.南京航空航天大學(xué)金城學(xué)院；2.中國(guó)直升機(jī)設(shè)計(jì)研究所；3.上海航天局第八設(shè)計(jì)部）