徐菊萍

透視2016中考題型，解讀“圓”的學習策略

徐菊萍

圓是最常見、最完美的圖形，是簡單而又特殊的曲線，它有獨特的對稱性與旋轉不變性：圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，垂徑定理及推論體現(xiàn)了圓的軸對稱性；圓是中心對稱圖形，弧、弦與圓心角之間的關系體現(xiàn)了圓的旋轉對稱性.

圓又與直線圖形有著密切的關系，圓的一些性質可以利用直線知識證明，而圓的知識又為研究直線圖形的性質提供了新的內容.圓與直線圖形，成為平面幾何研究的兩個主要對象.圓貫穿于三角形、四邊形、解直角三角形等基本幾何圖形性質的研究，也與其他知識點如代數函數、方程等相結合作為中考壓軸題，既可以從“數”的一面對它進行研究，也可以從“形”的一面對它進行研究，有很強的綜合性.下面我們結合2016中考題型，一起來深入解讀“圓”的學習策略.

一、圓的基本概念和性質

對于圓的基本概念、圓的對稱性及根據對稱性探索出的弧、弦、圓心角之間的關系、垂徑定理、圓周角、圓內接四邊形等知識，多以填空題、選擇題形式出現(xiàn)，在綜合題及應用題中常作為被考查的一個方面.

考點1圓心角和圓周角

A.40°B.30°C.20°D.15°

【解析】已知，在⊙O中，A（B=A（C，∠AOB= 40°，根據“同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，并且都等于所對圓心角的一半”可得故答案選C.

【點評】有關圓周角的計算，我們在解答時，應從圓周角與其所對應的弧、圓心角、弦等方面考慮，不要忘記“在同圓或等圓中”這個重要前提.

圖1

圖2

例2（2016·湖南婁底）如圖2，已知AB是⊙O的直徑，∠D=40°，則∠CAB的度數為（）.

A.20°B.40°C.50°D.70°

【解析】根據圓周角推論“在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等”可得∠B=∠D=40°，“直徑所對的圓周角是直角”得∠ACB= 90°，所以∠CAB=180°-90°-40°=50°，故選C.

【點評】利用圓周角推論“直徑所對的圓周角是直角”，常常需要添加輔助線，“連直徑”或者“連弦”構成“直徑所對的圓周角”，從而將問題轉化到直角三角形中，為進行角、線段之間的相互轉化開辟途徑.

變式1如圖3，△ABC內接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于點E，過點B作⊙O的切線交DA的延長線于點F，且∠ABF=∠ABC.求證：AB=AC.

【解析】此題策略是連直徑，得直角三角形.

圖3

圖4

如圖4，連接BD，可得BD是直徑，根據同角的余角相等的性質得∠ABF=∠D，根據同弧所對的圓周角相等得∠D=∠C，再根據∠ABF=∠ABC，可證得∠ABC=∠C，即可得AB=AC.

變式2（2016·江蘇揚州）如圖5，⊙O是△ABC的外接圓，直徑AD=4，∠ABC=∠DAC，則AC長為（）.

【解析】此題策略是連弦，得直角三角形.

圖5

圖6

如圖6，連接CD，依據“弧、弦、圓心角的關系”定理：在同圓或等圓中，如果兩條?。踊　?yōu)?。?、兩條弦、兩個圓心角中有一組量對應相等，那么它們所對應的其余各組量也分別（對應）相等，及圓周角定理和推論，由∠ABC=∠DAC可得得出AC=CD，又AD為直徑，得∠ACD=90°，由等腰直角三角形的性質和勾股定理（或三角函數），可求得在Rt△ACD中，

【反思】這幾題用“圓”糅合了三角形和圓的基本知識，以及利用輔助線轉化的數學思想，分別從不同的角度考查對圓的對稱性的理解情況，考查對圖形的識別能力、觀察分析能力以及綜合運用知識的能力.

圖7

考點2垂徑定理

例3（2016·湖北黃石）如圖7所示，⊙O的半徑為13，弦AB的長度是24，ON⊥AB，垂足為N，則ON=（）.

A.5B.7C.9D.11

【解析】已知⊙O的半徑為13，弦AB的長度是24，ON⊥AB，垂足為N，由垂徑定理可得AN= BN=12，再由勾股定理可得ON=5，故答案選A.

【點評】垂徑定理常常結合勾股定理，在做與半徑和弦都有關的計算時，作輔助線的方法是“既作弦心距又連半徑”，構造直角三角形，利用勾股定理來解決.

公式：半弦弦心距d2=半徑r2（其中a為弦長，d為弦心距，r為半徑）.

圖8

變式3直徑為52厘米的圓柱形油槽內裝入一些油后，截面如圖8，若油最大深度為16厘米.那么油面寬度AB的長是多少厘米？

【解析】此題策略是“既作弦心距又連半徑”，得直角三角形.

∴AB=2AC=48（厘米）.

考點3圓內接四邊形

例4（2016·湖南婁底）如圖9，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，已知∠C=∠D，則AB與CD的位置關系是________.

圖9

【解析】已知四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，由圓內接四邊形的對角互補的性質可得∠A+∠C=180°，又因∠C=∠D，可得∠A+∠D=180°，所以AB∥CD.

【點評】四個頂點共圓，要學會聯(lián)系“對角互補”和特殊四邊形中的知識，對解決角度計算、線段的數量關系和位置關系有重要作用.

二、與圓有關的位置關系

與圓有關的位置關系涉及的知識點主要有：點到圓心的距離d與圓的半徑之間的聯(lián)系，圓心到直線的距離d與圓的半徑之間的聯(lián)系，兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之間的聯(lián)系，圓的切線性質定理與判定定理等，一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，在解答題、探究題中作為主要考查目標也常出現(xiàn)，這部分內容不僅以考查基礎知識的形式出現(xiàn)，而且還以考查綜合運用能力的形式出現(xiàn).

考點4點、線、圓與圓的位置關系

圖10

例5（2016·湖南永州）如圖10，給定一個半徑長為2的圓，圓心O到水平直線l的距離為d，即OM=d.我們把圓上到直線l的距離等于1的點的個數記為m.如d=0時，l為經過圓心O的一條直線，此時圓上有四個到直線l的距離等于1的點，即m=4，由此可知：

（1）當d=3時，m=________；

（2）當m=2時，d的取值范圍是________.

【解析】（1）當d=3時，因為3＞2，即d＞r，直線與圓相離，則m=1；

（2）當d=3時，m=1；當d=1時，m=3；所以當1＜d＜3時，m=2，即d的取值范圍是1＜d＜3.

【點評】與圓有關的位置關系，應了解點和圓、直線和圓、圓與圓共有幾種位置關系，并要能靈活運用數形結合思想，恰當地運用數量關系來判斷位置關系是解題的關鍵.

考點5切線的性質和判定

圖11

例6（2016·廣東廣州）如圖11，以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，點P是切點，則劣弧AB的長為_______.（結果保留π）

【解析】因為AB是切線，P為切點，由切線性質“圓的切線垂直于過切點的半徑”和“垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦”，可得AP=連接半徑OA或OB，由勾股定理可得OB=12，再由垂徑定理和圓心角定理，可得劣弧AB所對的圓心角∠AOB=120°，再由弧長公式可得劣弧AB的長為8π.

圖12

例7（2016·湖北黃石）如圖12，⊙O的直徑為AB，點C在圓周上（異于A，B），AD⊥CD.

（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；

（2）若AC是∠DAB的平分線，求證：直線CD是⊙O的切線.

【解析】（1）根據直徑所對的圓周角是直角，可得∠ACB=90°，再由勾股定理即可求得AC=4；

（2）連接過圓上的點C的半徑，根據角平分線性質及等腰三角形的性質，∴∠DAC=∠OCA，即AD∥OC，又∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，∴DC是⊙O的切線.

【點評】重點知識：切線的識別與特征.

遇到有切線時，一般要引過切點的半徑，以便利用切線的性質定理，得到垂直，進而得到直角三角形，從而使思考簡化；或連接要證的切線與圓的交點，以便判定切線.

三、與圓有關的計算

與圓有關的計算涉及范圍較廣，主要有線段的長度、角度、弧長、陰影部分面積、扇形面積、圓柱側面積、圓錐的側面積計算，這里我們主要研究弧長、扇形面積、圓柱圓錐的側面積和全面積.

考點6弧長、扇形面積

例8（2016·湖南長沙）如圖13，扇形OAB的圓心角為120°，半徑為3，則該扇形的弧長為________.（結果保留π）

【解析】已知扇形OAB的圓心角為120°，半徑為3，根據弧長公式可得扇形的弧長為=2π.

圖13

圖14

例9（2016·浙江寧波）如圖14，半圓O的直徑AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，則圖中陰影部分面積為________.

【解析】已知CD∥AB，根據“同底等高的兩個三角形的面積相等”可得S△ACD=S△COD，所以S陰影=

【點評】熟知計算公式是關鍵，還要學會通過作圖、識圖、閱讀圖形探索弧長、扇形及其組合圖形面積的計算方法和解題規(guī)律，把不規(guī)則圖形的問題轉化為規(guī)則圖形的問題（例題9是利用同底等高進行了轉化）.本考點應注意：

（1）在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數，n和180都不要帶單位；

（2）題設未標明精確度的，可以將弧長用π表示；

（3）正確區(qū)分弧、弧的度數、弧長三個概念，度數相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一.

圖15

考點7圓柱、圓錐的側面積和全面積

例10（2016·浙江寧波）如圖15，圓錐的底面半徑r為6cm，高h為8cm，則圓錐的側面積為（）.

A.30πcm2B.48πcm2

C.60πcm2D.80πcm2

【解析】根據勾股定理可求得圓錐的母線長為10cm，再由圓錐的側面積公式得S=πRl= π×6×10=60π（cm2）.

【點評】正確區(qū)分圓錐側面展開圖中各元素與圓錐間的各元素的對應關系是處理此類問題的關鍵.比如圓錐的側面積就是其展開扇形的面積，所以應掌握扇形面積計算公式以及圓錐與扇形之間的聯(lián)系.

分析近年“與圓有關的計算”的中考題，不難發(fā)現(xiàn)，“與圓有關的計算”離不開解直角三角形，特別是勾股定理，而解直角三角形離不開直角三角形，因而如何構造直角三角形是必須掌握的；另外在涉及弧長、扇形面積的計算時，要靈活運用相關的計算公式，要弄清楚圓錐的高、母線、底面的半徑與圓錐的側面展開圖之間的內在聯(lián)系.

“圓”是我們學習的第一個曲線圖形，在圖形認識上是一個飛躍.圓的復習應緊緊圍繞基本概念、基本圖形、重要定理及圓的有關計算進行，要在復雜圖形中分解出基本圖形，或通過添加適當輔助線，構造或分解基本圖形，將復雜問題簡單化.

另外，要體會圓中一些隱含條件的作用，如“同弧所對的圓周角相等”“半徑都相等”等，培養(yǎng)挖掘隱含條件的意識和能力.

“萬變不離其宗”，如何游刃有余地解決圓的問題，除了熟悉基本知識基本圖形以外，還要注意滲透轉化的思想、數形結合的思想、方程的思想、由特殊到一般的思想、分類討論的思想方法以及運動變化、變中不變等觀點.

相信大家定能利用“圓”進一步地把初中幾何知識系統(tǒng)化，培養(yǎng)應用意識，拓展數學思維，豐富解決數學問題的方法與手段，提高綜合運用能力、創(chuàng)新意識和實踐的能力，對初中的幾何知識有一個整體上的了解，把教材內容融會貫通，使數學能力實現(xiàn)一個“質”的飛躍！

（作者單位：江蘇省南京師范大學附屬蘇州石湖中學）