朱雪梅
選擇合適的方法解一元二次方程
朱雪梅
干什么事都有訣竅,解一元二次方程也是如此.一元二次方程有四種基本解法:直接開(kāi)平方法,配方法,求根公式法,因式分解法.在解一元二次方程時(shí),我們應(yīng)當(dāng)仔細(xì)觀察方程的形式和系數(shù)特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)姆椒?,力求解題過(guò)程簡(jiǎn)潔、明快.
例1用直接開(kāi)平方法解下列方程.
(1)x2-4=0;(2)(x+3)2-2=0;(3)4(x-2)2= 9(x+3)2.
【分析】(1)將方程化為x2=4,然后兩邊直接開(kāi)平方;(2)將(x+3)2-2=0化為(x+3)2=2的形式,然后兩邊直接開(kāi)平方;(3)把(x-2)和(x+3)分別作為一個(gè)整體,然后考慮使用直接開(kāi)平方法.
解:(1)移項(xiàng),得x2=4.
因?yàn)閤是4的平方根,所以x=±2,
即x1=2,x2=-2.
(2)移項(xiàng),得(x+3)2=2.
(3)根據(jù)平方的性質(zhì)有:2(x-2)=3(x+3)或2(x-2)=-3(x+3),
即:x1=-13,x2=-1,
【點(diǎn)評(píng)】形如x2=b、(x-a)2=b、(x-a)2=(x-b)2的方程適合用直接開(kāi)平方法來(lái)求解.
例2(1)x2-4x=396;(2)3x2-2x-3=0.
【分析】利用配方法解一元二次方程的步驟:
(1)把方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊,常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊;
(2)把二次項(xiàng)系數(shù)化為1;
(3)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方,使左邊配成一個(gè)完全平方式,右邊是常數(shù);
(4)如果方程的右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù),就用直接開(kāi)平方法求出它的解;如果方程的右邊是一個(gè)負(fù)數(shù),那么這個(gè)方程無(wú)解.
解:(1)∵x2-4x=396,
∴x2-4x+4=400,
∴(x-2)2=400,
∴x-2=±20,
∴x1=-18,x2=22;
(2)把二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得x2-x-1=0,
移項(xiàng),得x2-x=1,
配方,得x2-即
【點(diǎn)評(píng)】對(duì)比這兩個(gè)方程可以發(fā)現(xiàn),第一個(gè)方程用配方法方便些,第二個(gè)方程較繁瑣,對(duì)于具備形如完全平方式的雛形的方程用配方法比較方便.
例3解方程:(1)(4x+2)2=x(2x+1);
解:(1)∵(4x+2)2=x(2x+1),
【點(diǎn)評(píng)】這兩個(gè)方程顯然用因式分解法比較簡(jiǎn)便,為什么呢?因?yàn)檫@兩個(gè)方程有一個(gè)共同的特征,能通過(guò)移項(xiàng)將方程右邊化為0,而左邊可通過(guò)因式分解化成乘積的形式.常見(jiàn)的適合因式分解法的方程的基本形式有x2-a2=0、x2+ bx=0、x2-(a+b)x+ab=0.
四、公式法是把“萬(wàn)能鑰匙”,它對(duì)任何形式的一元二次方程都適用
【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用公式法解一元二次方程的時(shí)候,只需找準(zhǔn)方程的a、b、c的值,即先把方程化為一般形式.公式法可以求任何形式的一元二次方程的解,不過(guò)由于公式法的運(yùn)算量較大,因此如果能使用其它方法,盡可能選用其它方法來(lái)解.但如果方程已經(jīng)化成一般形式,則選用公式法較為簡(jiǎn)便.
那么選擇合適的方法來(lái)解一元二次方程的考慮方式如何呢?
(1)如果題目適合使用直接開(kāi)平方法解方程,那就直接使用開(kāi)平方法解方程;
(2)能使用因式分解方法求解的一元二次方程,就不要使用公式法解決;
(3)不易使用因式分解法解的方程,且方程中的系數(shù)絕對(duì)值較大時(shí),考慮使用配方法解方程;
(4)公式法是解決一元二次方程的通用方法,當(dāng)其它方法都不易解決時(shí),考慮使用公式法解題.
(作者單位:江蘇省南通市越江中學(xué))