吳曉剛

原來(lái)如此糾“圓”錯(cuò)

吳曉剛

圓中的概念性質(zhì)、定理公式眾多，且綜合性較強(qiáng)，有別于一般直線形的思維方法，所以同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)這一章時(shí)會(huì)感覺(jué)到困難一些，犯錯(cuò)的情況也會(huì)多一些.本文將幫助同學(xué)們對(duì)圓有關(guān)的知識(shí)進(jìn)行“糾錯(cuò)”，亦能“究錯(cuò)”.

一、概念不清難甄別

例1下列說(shuō)法中，正確的有_______個(gè).

①長(zhǎng)度相等的弧叫做等??；②平分弦的直徑垂直于弦，并且平分這條弦所對(duì)的弧；③相等的圓心角所對(duì)的弧相等；④三角形的內(nèi)心在三角形內(nèi)，三角形的外心在三角形外.

【錯(cuò)解】4.

【剖析】本題考查的是圓的有關(guān)概念、性質(zhì)，需要同學(xué)們對(duì)其理解透徹，稍有差池即錯(cuò)，一知半解的同學(xué)還認(rèn)為4個(gè)說(shuō)法都對(duì)，實(shí)則都似是而非.說(shuō)法①中的等弧指的是“在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧”，而只是長(zhǎng)度相等的弧不一定能夠重合；說(shuō)法②中，由于直徑也是弦，而任意兩條直徑都互相平分，但不一定互相垂直，也就不一定平分弦所對(duì)的??；說(shuō)法③必須在同圓或等圓中才成立；說(shuō)法④中“三角形的內(nèi)心在三角形內(nèi)”是正確的，而三角形的外心的位置不一定，銳角三角形的外心在三角形內(nèi)，直角三角形的外心在三角形的邊上，鈍角三角形的外心才在三角形外，故四個(gè)說(shuō)法全錯(cuò).

【正解】0.

二、忽視分類致漏解

【錯(cuò)解】45.

【剖析】本題沒(méi)有圖，很多同學(xué)在根據(jù)題意畫圖求解時(shí)想當(dāng)然地畫出如圖1的情形，由OB=可得∠BOC=90°，則這種情況的求解是對(duì)的，但只考慮了點(diǎn)A在優(yōu)弧BC上的情況，點(diǎn)A也可能在劣弧BC上，錯(cuò)解中由于沒(méi)有分類討論造成漏解.如圖2，點(diǎn)A在劣弧BC上，優(yōu)弧BC的度數(shù)為270°，則∠A=135°.

圖1

圖2

【正解】45或135.

例3在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC= 4.以C為圓心，r為半徑畫圓，當(dāng)r滿足_________時(shí)，⊙C與斜邊AB有一個(gè)公共點(diǎn).

【錯(cuò)解】r=2.4.

【剖析】由⊙C與斜邊AB有一個(gè)公共點(diǎn)，很多同學(xué)第一反應(yīng)就是直線與圓相切，如圖3， CH⊥AB，S△ABC=AB·CH，得CH= 2.4，當(dāng)r=CH=2.4時(shí)，⊙C與AB相切，有一個(gè)公共點(diǎn)H.這種情況符合題意，但由于試題要求的“斜邊AB”指的是線段，則還應(yīng)考慮⊙C與直線AB相交但與線段AB只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況.如圖4，當(dāng)r=3時(shí)，⊙C與斜邊AB有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)r＞4時(shí)，⊙C與斜邊AB沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)3＜r≤4時(shí)，⊙C與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn).

圖3

圖4

【正解】r=2.4或3＜r≤4.

三、思維不暢惱轉(zhuǎn)化

A.AB＞2CDB.AB=2CD

C.AB＜2CDD.AB、CD的大小無(wú)法確定

【錯(cuò)解】B.

圖5

【剖析】不少同學(xué)直接由弧的數(shù)量關(guān)系猜想出弦的數(shù)量關(guān)系導(dǎo)致錯(cuò)解.“等弧”可以得到“等弦”，但“兩倍弧”卻不能得到“兩倍弦”，而是應(yīng)轉(zhuǎn)化到“等弧”來(lái)解決.如圖5，取的中點(diǎn)E，連接AE、 BE，可得所以AE=BE=CD.在△ABE中，AE+BE＞AB，所以AB＜2CD.

【正解】C.

四、道是無(wú)圓苦構(gòu)造

例5在△ABC中，∠B=45°，AC=2，則△ABC面積的最大值為（）.

【錯(cuò)解】C.

【剖析】本題沒(méi)有圓，好似“無(wú)頭無(wú)腦”，相當(dāng)一部分同學(xué)就把題目中的三角形“意會(huì)”成一個(gè)等腰直角三角形，兩條直角邊長(zhǎng)為2，得到面積為2的錯(cuò)解.而當(dāng)我們構(gòu)造出以AC為弦，以∠B為弦AC所對(duì)的圓周角的圓時(shí)，此題就“柳暗花明”了.如何構(gòu)造這個(gè)圓呢？可以取AC的中點(diǎn)H，過(guò)H作AC的垂線，在垂線上取一點(diǎn)O，使OH=AH=CH=1，則∠AOC=90°，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，則點(diǎn)B是優(yōu)弧AC上一動(dòng)點(diǎn)（與A、 C不重合），此時(shí)∠ABC=當(dāng)B、O、 H三點(diǎn)共線時(shí)，△ABC的面積最大，為

【正解】B.

圖6

（作者單位：江蘇省江陰市要塞中學(xué)）