尹平

用好例題拓展提高學(xué)習(xí)實(shí)效

尹平

教科書中的例題是圍繞本節(jié)（或本章）的概念、定理而設(shè)置的典型題目，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，往往有些同學(xué)不重視、不關(guān)注.本文借助于課本中一道題，加以變式拓展，希望能帶給同學(xué)們一些新的認(rèn)識(shí).

原題呈現(xiàn)：蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第34頁：

圖1

如圖1，在矩形ABCD中，AB= 16cm，BC=6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，直到到達(dá)點(diǎn)B為止；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)D移動(dòng)，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間P、Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm？

【分析】設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，因?yàn)镻Q長(zhǎng)為10cm，所以構(gòu)造出以PQ為斜邊的直角三角形，作PH⊥CD，垂足為H，用t表示出線段HQ的長(zhǎng)，用勾股定理列方程即可求解.

解：設(shè)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)經(jīng)過t秒時(shí)，點(diǎn)P，Q間的距離是10cm，

圖2

如圖2，作PH⊥CD，垂足為H，

則PH=BC=6，PQ=10，

HQ=CD-AP-CQ=16-5t.

因?yàn)镻H2+HQ2=PQ2，

可得：（16-5t）2+62=102，

解得t1=4.8，t2=1.6.

答：P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)經(jīng)過1.6或4.8秒時(shí)，點(diǎn)P，Q間的距離是10cm.

變式一條件不變，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離可能是18cm嗎？如果可能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t，如果不可能，請(qǐng)說明理由.

解：與上述過程相同，

（16-5t）2+62=182，

所以在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離不可能是18cm.

變式二（2016·威海一模）如圖3，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，直到到達(dá)點(diǎn)B為止，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間P、Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm？

圖3

圖4

圖5

【分析】設(shè)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)經(jīng)過t秒時(shí)，點(diǎn)P，Q間的距離是10cm，表示出PB、BQ，利用勾股定理建立方程求得答案即可.

解：設(shè)P，Q兩點(diǎn)從出發(fā)經(jīng)過t秒時(shí)，點(diǎn)P，Q間的距離是10cm，

則PB=16-3t，BQ=6-2t，

因?yàn)镻B2+BQ2=PQ2，

所以（16-3t）2+（6-2t）2=102，

變式三條件不變，如圖4，∠DQP能否為直角？若能，請(qǐng)求出相應(yīng)的時(shí)間t的值.

【分析】題目明確問∠DQP能否為直角，所以需要構(gòu)建△DQP，再根據(jù)勾股定理求解.

解：能.

由∠DQP=90°，則有DQ2=DP2-PQ2，

所以（16-2t）2=62+（3t）2-62，

時(shí)，∠DQP為直角.

變式四條件不變，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，點(diǎn)P、Q、D組成的三角形是等腰三角形？

【分析】設(shè)時(shí)間為ts，過P作PM⊥CD于M，過Q作QN⊥AB于N，根據(jù)四邊形ABCD是矩形可知DC=AB=16cm，AD=BC=PM=QN=6cm，∠A=∠C=∠B=∠ADC=90°，故DM=AP=3tcm，BN= CQ=2tcm，再分DP=PQ，DQ=PQ及DP=DQ三種情況進(jìn)行討論即可.

解：設(shè)時(shí)間為ts，過P作PM⊥CD于M，過Q作QN⊥AB于N（如圖5），

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以DC=AB= 16cm，AD=BC=PM=QN=6cm，

∠A=∠C=∠B=∠ADC=90°，

則DM=AP=3tcm，BN=CQ=2tcm.

分為三種情況：

①當(dāng)DP=PQ時(shí)，則DM=MQ=3tcm，

∵3t+3t+2t=16，解得：t=2；

②當(dāng)DQ=PQ時(shí)，在Rt△PNQ中，由勾股定理得：（16-2t）2=62+（16-3t-2t）2，

7t2-32t+12=0，

解得：

③當(dāng)DP=DQ時(shí)，在Rt△DAP中，由勾股定理得：（16-2t）2=62+（3t）2，

即5t2+64t-220=0，

圖6

變式五如圖6，在矩形ABCD中，AB= 12cm，BC=4cm，點(diǎn)P以4cm/s的速度從頂點(diǎn)A出發(fā)沿折線A—B—C向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以2cm/s的速度從頂點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)末端停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).問兩動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，使得點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為

【分析】注意題目中對(duì)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的表述，從而知道每個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑.不難看出P分別在AB、BC上運(yùn)動(dòng)，所以需要分類討論.

①當(dāng)0＜t≤3時(shí)，則有（12-4t-2t）2+42=20，

②當(dāng)3＜t≤4時(shí)，則有（16-4t）2+（2t）2=20，

得方程5t2-32t+59=0，

此時(shí)Δ＜0，此方程無解.

通過以上題目的變式，同學(xué)們一定會(huì)發(fā)現(xiàn)解決此類問題，關(guān)鍵是要會(huì)表示出相關(guān)線段長(zhǎng)，利用勾股定理，再結(jié)合方程進(jìn)行求解.同學(xué)們也可以作適當(dāng)?shù)淖兪剑囋嚳?，你?huì)發(fā)現(xiàn)新天地.

（作者單位：江蘇省海門市正余初級(jí)中學(xué)）