李長(zhǎng)文,初　磊

(海軍潛艇學(xué)院,山東 青島 266199)

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理想聲自導(dǎo)魚雷運(yùn)動(dòng)要素的距離方位觀測(cè)解算方法

李長(zhǎng)文,初磊

(海軍潛艇學(xué)院,山東 青島 266199)

為快速預(yù)測(cè)魚雷的聲自導(dǎo)彈道,以特定時(shí)刻相對(duì)本艦的距離、舷角為運(yùn)動(dòng)要素,將其彈道參數(shù)化為以此要素為初值的微分方程組的解,論證了其解析解與一個(gè)代數(shù)方程等價(jià),證明了此方程經(jīng)變換后可用標(biāo)準(zhǔn)牛頓方法計(jì)算?？紤]聲速的作用,建立了發(fā)射、接收點(diǎn)分開的主動(dòng)聲納探測(cè)模型,構(gòu)造了基于距離、方位觀測(cè)值解算魚雷運(yùn)動(dòng)要素的相對(duì)較優(yōu)的彈道擬合準(zhǔn)則。實(shí)現(xiàn)了小樣本條件下理想聲自導(dǎo)彈道估計(jì)的快速計(jì)算。仿真實(shí)驗(yàn)證實(shí),該方法預(yù)測(cè)的彈道可滿足反魚雷魚雷射擊參數(shù)計(jì)算的需要。

聲自導(dǎo)魚雷;運(yùn)動(dòng)要素解算;彈道擬合準(zhǔn)則;反魚雷魚雷

水面艦船以反魚雷魚雷對(duì)抗?jié)撋漪~雷之前,需要計(jì)算預(yù)先設(shè)計(jì)的反魚雷魚雷射擊參數(shù)[1-3],其依據(jù)是水面艦船確認(rèn)魚雷報(bào)警后對(duì)魚雷的觀測(cè)。這些觀測(cè)一般以主動(dòng)聲納方式進(jìn)行,可以給出魚雷的距離與方位等信息。在一定的條件下,利用這些信息可以對(duì)魚雷的彈道進(jìn)行估計(jì)?；隰~雷彈道過程,相關(guān)條件可以假設(shè)為:魚雷處于直航、聲自導(dǎo)、線導(dǎo)等運(yùn)動(dòng)狀態(tài),對(duì)魚雷彈道的估計(jì)除當(dāng)前時(shí)刻之前運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的估計(jì)外,更主要的是對(duì)當(dāng)前時(shí)刻之后運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的預(yù)測(cè)[4-5]。

對(duì)應(yīng)于直航情形,魚雷運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以用當(dāng)前時(shí)刻位置、航速、航向這幾個(gè)運(yùn)動(dòng)要素表達(dá)。在有距離、方位等觀測(cè)信息的條件下,估計(jì)魚雷彈道狀態(tài)比較簡(jiǎn)單,這里所說的簡(jiǎn)單主要是模型簡(jiǎn)單、算法簡(jiǎn)單、計(jì)算速度快、精度高等。對(duì)應(yīng)于聲自導(dǎo)情形,這類問題將變得復(fù)雜,作者未發(fā)現(xiàn)相關(guān)報(bào)導(dǎo)。

聲自導(dǎo)運(yùn)動(dòng)方式主要有被動(dòng)、主動(dòng)、主被動(dòng)聯(lián)合等,一般由變周期的分周期控制實(shí)現(xiàn),控制的規(guī)則有固定提前角、變提前角等。若固定提前角為零,即直瞄式或尾追式跟蹤,這是魚雷被動(dòng)聲自導(dǎo)運(yùn)動(dòng)的主要制導(dǎo)方式,這時(shí),考慮到制導(dǎo)周期很小,可以近似認(rèn)為魚雷速度方向總是魚雷到本艦(噪聲源)的方向,以下稱之為理想聲自導(dǎo)運(yùn)動(dòng),本文只就這一情形進(jìn)行相關(guān)問題的研究。研究主要包括理想聲自導(dǎo)魚雷運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的計(jì)算、無誤差條件下主動(dòng)聲納對(duì)魚雷的距離方位觀測(cè)值的計(jì)算、考慮誤差條件下理想聲自導(dǎo)魚雷運(yùn)動(dòng)要素估計(jì)等。

1　理想聲自導(dǎo)彈道狀態(tài)及計(jì)算

假設(shè)水面艦船以速度v等速直航,魚雷以速度vT對(duì)水面艦船進(jìn)行理想聲自導(dǎo)跟蹤,速度方向?yàn)轸~雷到水面艦船噪聲源的方向。以水面艦船艦艉(假設(shè)為噪聲源)作為其位置參考點(diǎn),對(duì)魚雷進(jìn)行觀測(cè)的某個(gè)時(shí)刻為零時(shí)刻,假設(shè)零時(shí)刻魚雷已經(jīng)處于理想聲自導(dǎo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。由于魚雷聲自導(dǎo)運(yùn)動(dòng)的空間范圍較小,可以忽略地球橢球形狀的影響,將水面艦船的運(yùn)動(dòng)看成零時(shí)刻所處水平面上的運(yùn)動(dòng)。魚雷對(duì)水面艦船的跟蹤分為水平面上的跟蹤與豎直面上的跟蹤,尾追階段基本上已處于戰(zhàn)斗深度,可以忽略其變深運(yùn)動(dòng)。假設(shè)只進(jìn)行水平面上的跟蹤,則運(yùn)動(dòng)規(guī)律與其在水面上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律相同。因此,以零時(shí)刻水面艦船位置點(diǎn)為原點(diǎn),在當(dāng)?shù)厮矫嫔?以水面艦船速度方向?yàn)閤軸正方向,其正右方向?yàn)閥軸正方向,建立一個(gè)該水平面上的直角坐標(biāo)系,以描述水面艦船及魚雷的運(yùn)動(dòng)。為便于公式推導(dǎo),平面直角坐標(biāo)系的點(diǎn)(x,y)以及原點(diǎn)到這點(diǎn)的自由向量以復(fù)數(shù)x+iy表示,i為虛數(shù)單位。

如圖1,在上述坐標(biāo)系下,水面艦船總是位于實(shí)軸Ox軸上,時(shí)刻t到原點(diǎn)的距離為vt,所以表示水面艦船位置點(diǎn)Ov(t)的位置向量OOv(t)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)vt,即

Ov(t)=vt

(1)

假設(shè)魚雷運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以t時(shí)刻相對(duì)水面艦船的距離D(t)、舷角X(t)表示,則其絕對(duì)位置點(diǎn)G(t)的復(fù)數(shù)為

G(t)=vt+D(t)eiX(t)

(2)

式中:i為虛數(shù)單位。

圖1　理想聲自導(dǎo)運(yùn)動(dòng)

1.1魚雷運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的微分方程組

魚雷運(yùn)動(dòng)的速度向量復(fù)數(shù)為

G′(t)=v+[D′(t)+D(t)iX′(t)]eiX(t)

(3)

式中:G′(t),D′(t),X′(t)表示這些時(shí)間變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

由前面關(guān)于理想聲自導(dǎo)的假設(shè),魚雷速度方向相對(duì)Ox軸的角為X(t)+π,所以其速度向量復(fù)數(shù)的另一表示為vTei(X(t)+π),將這一表示與G′(t)相等,則

-vT=ve-iX(t)+D′(t)+D(t)iX′(t)

(4)

改成實(shí)部與虛部表示的分量形式:

(5)

此即魚雷相對(duì)水面艦船運(yùn)動(dòng)狀態(tài)所滿足的微分方程組。給定任一時(shí)刻t0的距離D(t0),舷角X(t0),總有唯一解,(D(t),X(t)),t≥0,因此(D(t0),X(t0))可以作為理想聲自導(dǎo)魚雷的運(yùn)動(dòng)要素。運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的計(jì)算就是解這個(gè)微分方程組,在解算魚雷運(yùn)動(dòng)要素的搜索算法中要不斷調(diào)用解這個(gè)方程組的計(jì)算程序。若用數(shù)值方法計(jì)算,一方面計(jì)算誤差隨著時(shí)間變長(zhǎng)而增加,更主要的是計(jì)算速度遠(yuǎn)不能滿足需要。因此,必須尋找解微分方程組(5)的精確快速算法。

考慮到對(duì)稱性,只研究0≤X(t)≤π的情形。若X(t0)=0(或π),即自水面艦船正前方(或正后)方跟蹤目標(biāo),魚雷將作直線運(yùn)動(dòng),且舷角保持X(t)=X(t0),D(t)=D(t0)-(v+vT)(t-t0)(正前方),或D(t)=D(t0)-(v-vT)(t-t0)(正后方),自t0時(shí)刻至魚雷追上水面艦船時(shí)刻的跟蹤時(shí)間tg=D0/(v+vT)(正前方),或tg=D0/(v-vT)(正后方)。下面假設(shè)t0>0,D(t0)>0,0

(1/D)dD/dX=-kcscX-cotX

(6)

式中:k=vT/v,此方程有解析解:

D=D(t0)sinX(t0)tank[X(t0)/2]cotk(X/2)cscX

(7)

只要能計(jì)算X(t),就可以用此式計(jì)算D(t)。因?yàn)槭?6)正比于cosk-1(X/2)/sink+1(X/2),所以,D→0?k>1,X→π,即當(dāng)且僅當(dāng)魚雷速度大于水面艦船速度,理想聲自導(dǎo)運(yùn)動(dòng)的魚雷才能追上目標(biāo),且總是自正后方追上目標(biāo),以下假設(shè)k>1。

將式(7)代入式(5)可得X(t)的微分方程:

csc2X(t)cotk[X(t)/2]X′(t)=r

(8)

式中:

r=[v/D(t0)]cscX(t0)cotk[X(t0)/2]

(9)

式(8)兩邊自t0到t積分,得:

(10)

此為X(t)所滿足的方程,計(jì)算魚雷彈道狀態(tài)的關(guān)鍵就是解這個(gè)方程。式(10)中的時(shí)間滿足-t0≤t-t0≤tg,tg為跟蹤時(shí)間,只需在式(10)令t→t0+tg,X(t)→π,即可得:

(11)

式(11)即為計(jì)算理想聲自導(dǎo)跟蹤時(shí)間的公式,對(duì)X(t0)=0(或π)的情形同樣成立。

1.2魚雷彈道狀態(tài)的計(jì)算

前文已將微分方程組(5)的求解變?yōu)橐粋€(gè)關(guān)于未知數(shù)X(t)的代數(shù)方程(10)的求解,雖然這個(gè)方程無解析解,但可以用比較標(biāo)準(zhǔn)的方法精確快速地計(jì)算。

利用r,tg的表達(dá)式可將式(10)改為

(12)

令z=cot[X(t)/2]∈(0,∞),則

X(t)=2arccotz

方程(12)變?yōu)?/p>

(13)

因?yàn)間′(z)=zk-2+zk>0,所以g(z)為(0,∞)上單調(diào)上升函數(shù)。因?yàn)間(0)<0,g(∞)=∞,所以g(z)=0在(0,∞)上有唯一解。

用Newton方法計(jì)算一元方程的數(shù)值解十分快速和精確,對(duì)于單調(diào)上升(下降)的函數(shù),只要其二階導(dǎo)數(shù)大于(小于)0,起點(diǎn)的選擇可不作要求。對(duì)于函數(shù)g(z),考慮到g″(z)=(k-2)zk-3+kzk-1,若k≥2,則g″(z)>0,無論方程的解小于z0(t0

定理1設(shè)b>a>0,函數(shù)y=g(z)在[a,b]上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且g′(z)>0,z ∈[a,b],則存在α>0,使f(u)=g(uα),滿足f′(u)>0,f″(u)>0,u∈[a1/α,b1/α]的充要條件為p=minz∈[a,b]zg″(z)/g′(z)>-1,且可取α=1/(1+q),q∈(-1,p]。

證明?α>0,u∈[a1/α,b1/α]

f′(u)=g′(uα)αuα-1>0

f″(u)=g″(uα)(αuα-1)2+g′(uα)α(α-1)uα-2?

f′(u)>0,f″(u)≥0,?u∈[a1/α,b1/α]?

f″(u)≥0,?u∈[a1/α,b1/α]?

uαg″(uα)/g′(uα)+1-1/α≥0,u∈[a1/α,b1/α]?

0<1/α≤1+zg″(z)/g′(z),z∈[a,b]?

p=minz∈[a,b]zg″(z)/g′(z)>-1

且

α≥1/(1+q),q ∈(-1,p]

證畢。

式(13)的g(z)滿足:

g′(z)>0,0

取α=1/(1+k-2)=1/(k-1),則

滿足:

f′(u)>0,f″(u)≥0,u∈[0,u0],u0=z0k-1

可以用u0為起點(diǎn)的Newton方法計(jì)算方程f(u)=0的數(shù)值解u*,迭代格式為

ul+1=ul-f(ul)/ f′(ul),l=0,1,…

(14)

停止條件為l>lmax或|f(ul)|<ε,實(shí)驗(yàn)程序內(nèi)取lmax=5,ε=10-15,實(shí)際計(jì)算時(shí)取uα=eαlnu,還能提高計(jì)算速度。圖2是k<2的一次實(shí)驗(yàn)對(duì)應(yīng)的g(z),f(u)的圖形,圖中,u,f(u),z,g(z)均為無量綱量。

g(z)=0的數(shù)值解為z*=(u*)α,以此可以計(jì)算t≤t0+tg時(shí)刻的X(t),D(t),之后以式(2)計(jì)算魚雷絕對(duì)位置點(diǎn)復(fù)數(shù),以公式:

vG(t)=-vTeiX(t)

(15)

計(jì)算魚雷速度向量復(fù)數(shù)。

圖2　k=1.2113時(shí)g(z),f(u)曲線

2　主動(dòng)聲納對(duì)理想聲自導(dǎo)魚雷的觀測(cè)

設(shè)水面艦船以主動(dòng)聲納探測(cè)魚雷,信號(hào)發(fā)射點(diǎn)P(t)相對(duì)艦艉的有向線段數(shù)量為L(zhǎng)s,信號(hào)接收點(diǎn)Q(t)相對(duì)艦艉的有向線段的數(shù)量為L(zhǎng)r,則其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為

P(t)=vt+Ls, Q(t)=vt+Lr

(16)

Ls或Lr的符號(hào)為正表示相應(yīng)的點(diǎn)位于艦艉前方,符號(hào)為負(fù)表示相應(yīng)的點(diǎn)位于艦艉后方,為簡(jiǎn)單起見,假設(shè)這些點(diǎn)與魚雷位于同一水平面上。記主動(dòng)信號(hào)發(fā)射時(shí)刻為ts,j,j=1,2,…,ts,j時(shí)刻由P(ts,j)點(diǎn)發(fā)射的信號(hào)到達(dá)魚雷的時(shí)刻記為tr,j,假設(shè)到達(dá)信號(hào)在G(tr,j)點(diǎn)被魚雷立即反射,反射信號(hào)到達(dá)接收點(diǎn)的時(shí)刻記為ta,j。假設(shè)聲波在水中的傳播可近似為直線,平均聲速為常數(shù),記為vs,則

|G(tr,j)-P(ts,j)|=vs(tr,j-ts,j)

(17)

|Q(ta,j)-G(tr,j)|=vs(ta,j-tr,j)

(18)

給定j,z=tr,j-ts,j,由式(17)有:

(19)

其解z*可利用Newton方法計(jì)算,格式同式(14),起點(diǎn)可取1.5|G(ts,j)-P(ts,j)|/vs,方程(19)左端函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式為

ta,j為方程(18)的解,可以用上述方法計(jì)算。但由于接收點(diǎn)Q(t)等速直航,與方程(17)不同,故方程(18)為一個(gè)關(guān)于δ=ta,j-tr,j的二次方程,因此有簡(jiǎn)單的解析計(jì)算公式。

定理2以A(t),B(t)表示2個(gè)水下運(yùn)動(dòng)物體t時(shí)刻位置點(diǎn)的空間坐標(biāo),記w=-1(A發(fā)B收),1(B發(fā)A收),設(shè)B以速度vB=(vBxvByvBz)勻速運(yùn)動(dòng),‖vB‖

式中:U=A(tA)-B(tA),q=U(vB/ vs)

證明由已知:

‖A(tA)-B(tB)‖=vs(tA-tB)w

因?yàn)锽(t)=B(0)+vBt,所以

B(tB)=B(tA)-vB(tA-tB)

‖U‖2+2(UvB)(tA-tB)+‖vB‖2(tA-tB)2

用求根公式計(jì)算tA-tB,因?yàn)椤瑅B/vs‖<1,根式前面的正負(fù)號(hào)與w相同。證畢。

利用上述定理可得:

(20)

式中:Uj=G(tr,j)-Q(tr,j),q=ksReUj,ks=v/vs。

接收點(diǎn)于ta,j時(shí)刻收到信號(hào)的理論距離及到達(dá)方位(此處以舷角表示)為

d0j=|G(tr,j)-Q(ta,j)|

(21)

β0j=arg[G(tr,j)-Q(ta,j)]

(22)

假設(shè)無系統(tǒng)誤差,只考慮隨機(jī)觀測(cè)誤差,這些理論值的觀測(cè)值為

dj=d0j+Δdj

(23)

βj=β0j+Δβj

(24)

為簡(jiǎn)單起見,假設(shè)這些觀測(cè)值都在可觀測(cè)范圍內(nèi),Δdj,Δβj,j=1,2,…,相互獨(dú)立,且

3　理想聲自導(dǎo)運(yùn)動(dòng)要素的距離方位觀測(cè)估計(jì)

所謂距離方位觀測(cè)解算,就是用當(dāng)前時(shí)刻t0之前(ta,j

即可以只用觀測(cè)值dj,j=1,…,n,求出(D(t0),X(t0))的極大似然估計(jì),且這個(gè)估計(jì)與以Jd為目標(biāo)函數(shù)的最小二乘法估計(jì)相同。

同樣也可以只用βj,j=1,…,n,給出(D(t0),X(t0))的極大似然估計(jì),且與以

為目標(biāo)函數(shù)的最小二乘法估計(jì)相同。

為便于反魚雷魚雷發(fā)現(xiàn)魚雷以及發(fā)現(xiàn)魚雷時(shí)刻的態(tài)勢(shì)有利于后續(xù)的跟蹤,只要有可能,就應(yīng)利用所有觀測(cè)信息對(duì)魚雷運(yùn)動(dòng)狀態(tài)給出精確的預(yù)測(cè)[6]。因此必須綜合考慮樣本(dj,βj),j=1,…,n,其似然函數(shù)為

對(duì)于σd,σβ已知的情形,這對(duì)應(yīng)于以

為目標(biāo)函數(shù)的加權(quán)最小二乘法估計(jì),對(duì)于σd,σβ未知的情形,Jd,β不能作為目標(biāo)函數(shù),只能以L為目標(biāo)函數(shù)求(D(t0),X(t0))的極大似然估計(jì),這其中包含對(duì)σd,σβ的估計(jì)。

數(shù)值實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),搜索以上這幾種目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)需要較長(zhǎng)的時(shí)間,且對(duì)于樣本容量n 較小的情形,估計(jì)的精度不足。為此,考慮一種彈道擬合的方法,記

zj=djexp(iβj), j=1,…,n

(25)

為ta,j時(shí)刻魚雷相對(duì)于接收點(diǎn)的觀測(cè)位置復(fù)數(shù),則復(fù)隨機(jī)變量zj的數(shù)學(xué)期望E(zj)為

E(zj)=E[(d0j+Δdj)exp(i(β0j+Δβj))]=

E(d0j+Δdj)E[exp(i(β0j+Δβj))]=

d0jexp(iβ0j)E[exp(iΔβj)]

由正態(tài)分布特征函數(shù)在點(diǎn)1處的值可知:

(26)

所以

(27)

因?yàn)?/p>

|zj-E(zj)|2=|(d0j+Δdj)exp[i(β0j+Δβj)]-

所以zj的方差Var(zj)為

(28)

式(27)、式(28)說明距離方位觀測(cè)條件下,觀測(cè)位置點(diǎn)并非理論位置點(diǎn)的無偏估計(jì),且是異方差的,為平衡各次觀測(cè),可令

(29)

為目標(biāo)函數(shù),以

minJ(D(t0),X(t0))

s.t. (D(t0),X(t0))∈(0,dmax)×(0,π)

的解D*(t0),X*(t0)作為D(t0),X(t0)的估計(jì),此處稱之為彈道擬合準(zhǔn)則。數(shù)值實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),這個(gè)最優(yōu)問題的求解速度較其他方法快,且以最近的15～25個(gè)觀測(cè)樣本,能給出滿足射擊參數(shù)計(jì)算等要求的彈道估計(jì)。圖3為一次計(jì)算的圖形(輸入?yún)?shù),略)。

圖3　一次仿真實(shí)驗(yàn)預(yù)測(cè)的魚雷彈道

4　結(jié)束語

本文構(gòu)造了對(duì)理想聲自導(dǎo)運(yùn)動(dòng)的魚雷運(yùn)動(dòng)要素進(jìn)行基于距離方位觀測(cè)的估計(jì)方法,用仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。該方法對(duì)于解算等速直航運(yùn)動(dòng)或其他參數(shù)化彈道的魚雷運(yùn)動(dòng)要素同樣適用。但這類方法的

實(shí)質(zhì)為非線性最優(yōu)化問題,其算法的速度一般不能滿足實(shí)時(shí)計(jì)算的需要,對(duì)于給定的算法速度,必須設(shè)置發(fā)射反魚雷魚雷的時(shí)刻較當(dāng)前時(shí)刻t0有一點(diǎn)延遲,給計(jì)算預(yù)留一定的時(shí)間。正是這一原因,需要嘗試一些提高算法速度的辦法。

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Method of Solving Motion Factors of Ideal Acoustic Homing Torpedo by Distance and Bearing Observations

LI Chang-wen,CHU Lei

(Navy Submarine Academy,Qingdao 266199,China)

To predict the trajectory of acoustic homing torpedo fastly,the distance and bearing relative to this ship for specified time were taken as the torpedo motion factors,and the trajectory was parameterized to the solution of differential equations taking the factors as initial value.The result demonstrates that the analytic solution is equivalent to an algebraic equation,and this transformed algebraic-equation can be calculated using standard Newton method.A detection model of active sonar with the separation of sending and receiving point was established by considering sound speed influence.Based on the observation value of distance and azimuth,a relatively superior criterion named trajectory fitting for solving the motion factor was constructed.The fast calculation was realized for estimating the ideal acoustic homing trajectory under the conditions of small samples.Simulation results show that the torpedo trajectory predicted by this method can meet the parameters calculation for firing anti-torpedo torpedo.

acoustic homing torpedo;solution to motion factor;trajectory fitting criterion;anti-torpedo torpedo

2016-01-25

李長(zhǎng)文(1962- ),男,副教授,研究方向?yàn)殡S機(jī)數(shù)學(xué)及軍事運(yùn)籌學(xué)。E-mail:lcwqtxy2996@sina.com。

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1004-499X(2016)03-0043-05