王笑瑢

摘 要：索洛增長模型認為經(jīng)濟增長存在趨同現(xiàn)象，隨著人均資本的增加，人均GDP增長率逐漸減少并趨于零，但是技術(shù)的進步可以使一個經(jīng)濟體保持長久的、穩(wěn)定的GDP增長率。同時，索洛經(jīng)濟增長模型為經(jīng)濟增長貢獻率研究提供了思路和方法。學(xué)習(xí)索洛增長模型對日后分析經(jīng)濟增長方面的課題具有重要作用。

關(guān)鍵詞：索洛增長模型；趨同；貢獻程度

一、模型的推導(dǎo)

1.假設(shè)條件

資本邊際產(chǎn)品遞減；規(guī)模報酬不變；勞動力參與率不變；忽略政府作用；封閉經(jīng)濟；家庭收入儲蓄比例S，消費比例1-S；固定的人口增長率n；外生中性技術(shù)進步。

2.生產(chǎn)函數(shù)的推導(dǎo)

1928年，美國經(jīng)濟學(xué)教授道格拉斯與數(shù)學(xué)家柯布提出了柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)（簡稱CD模型），其基本形式為Y=At·KαLβ，其中α、β分別代表資本彈性和勞動彈性，At表示第t年的技術(shù)水平，這個參數(shù)在短期內(nèi)是個常量。

1957年，索洛將技術(shù)進步引入生產(chǎn)函數(shù)，提出?？怂怪行约夹g(shù)進步函數(shù)Y=A（t）·F（K，L），具體形式為：Y=A0eλt·Kα·Lβ，其中A0為基期的科技水平，λ為科技進步系數(shù)或技術(shù)進步率，α、β為資本彈性和勞動彈性。

對上述方程取對數(shù)再對時間t求導(dǎo)，得：1/Y·dY/dt=λ+α/K·dK/dt+β/L·dL/dt。

由于實際經(jīng)濟活動及統(tǒng)計數(shù)據(jù)的非連續(xù)性，所以用差分替代微分，且dt=1，得：

ΔY/Y=λ+α·ΔK/K+β·ΔL/L （1）

令y=ΔY/Y，k=ΔK/K，l=ΔL/L，即得索洛增長速度方程：

y=λ+αk+βl （2）

從上式可以看出，索洛模型中認為影響經(jīng)濟增長的因素有技術(shù)進步率、資本以及勞動。通過測算出α和β的值，可以得出這三者對經(jīng)濟的貢獻程度。

3.增長模型的推導(dǎo)

在上文中，技術(shù)進步率可以用ΔA/A來表示，則方程（1）可以寫為：

ΔY/Y=ΔA/A+α·ΔK/K+β·ΔL/L （3）

在模型推導(dǎo)過程中，暫定ΔA/A=0。根據(jù)規(guī)模報酬不變，當(dāng)ΔL/L=1，ΔK/K=1時，ΔY/Y=1，即α+β=1。因此，公式（3）可寫為：

ΔY/Y=ΔA/A+α·ΔK/K+（1-α）·ΔL/L （4）

定義y=Y/L，又Δy/y=ΔY/Y-ΔL/L，Δk/k=ΔK/K-ΔL/L

對公式（4）進行移項，得出ΔY/Y-ΔL/L=α·（ΔK/K-ΔL/L），最終得出：Δy/y=α·Δk/k。

從上式可以看出，Δy/y受Δk/k影響。因此，在接下來的推導(dǎo)過程中，依次計算推導(dǎo)ΔK/K、ΔL/L、Δk/k以及Δy/y。

首先ΔK/K。根據(jù)國民收入核算的相關(guān)理論，實際國民收入（PI）=實際GDP（Y）-資本存量的折舊（δK）。在簡單經(jīng)濟體中，從國民收入支出看，Y-δK=C+S·（Y-δK）；從實際GDP（Y）支出看，Y=C+I，兩邊減折舊，為Y-δK=C+（I-δK）。綜上，C+（I-δK）=C+S·（Y-δK），即I-δK=S·（Y-δK）。又，ΔK=I-δK。所以，ΔK=S·（Y-δK），那么，ΔK/K=S·Y/K-Sδ。

其次ΔL/L。ΔL/L=n。

然后Δk/k。Δk/k=S·Y/K-Sδ-n。又因為Y/K=y/k，所以，該式也可寫為Δk/k=S·y/k-Sδ-n，即為索洛增長模型。

最后是Δy/y。由上文可得，Δy/y=α·（S·y/k-Sδ-n）。

以上的分析推導(dǎo)過程是在忽略掉技術(shù)水平A的基礎(chǔ)上進行的，現(xiàn)在將其加入。根據(jù)生產(chǎn)函數(shù)Y=A·F（K，L）及規(guī)模報酬不變假設(shè)，資本L和勞動K同時除以L，則意味著Y也需除以L，用公式表示為：Y/L=A·F（K/L，L/L），即：y=A·f（k），由此得出修正后的索洛增長模型：Δk/k=SA·f（k）/k-Sδ-n

二、穩(wěn)態(tài)及有條件趨同

1.穩(wěn)態(tài)

索洛增長模型表明，在長期經(jīng)濟增長過程中，資本積累無法保證經(jīng)濟持續(xù)發(fā)展。只有持續(xù)不斷的技術(shù)進步，才能使經(jīng)濟保持穩(wěn)定GDP增長率。因為隨著人均資本的增加，人均資本增長率在逐漸下降并趨于零，導(dǎo)致人均GDP增長率也下降并趨于零，經(jīng)濟增長存在穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。

索洛增長模型中的Δk/k受兩部分影響，一是SA·f（k）/k，向下的曲線；二是Sδ+n，一條直線，Δk/k為二者的差。人均資本增長率Δk/k的大小受儲蓄率S、技術(shù)水平A、人均資本k，折舊率δ以及人口增長率n的影響。

當(dāng)固定除人均資本以外變量時，隨著人均資本k的增長，Δk/k逐漸減少，并最終為零，此時的人均資本k達到穩(wěn)態(tài)水平k*。

現(xiàn)在，放開對技術(shù)水平A、儲蓄率S、折舊率δ以及人口增長率n的限制，考察它們對Δk/k的影響。

A、S及δ的變化影響曲線部分。當(dāng)A、S或者δ有所提升時，在初始資本k（0）下，它們分別對應(yīng)更高、更高、更低的Δk/k，隨著k的不斷增加，Δk/k逐漸減少，最終為零，此時K*也更高。同時，n的變化影響著直線部分。當(dāng)n所提升時，在初始資本k（0）下，對應(yīng)有更低的Δk/k，隨著k的不斷增加，Δk/k逐漸減少，最終為零，此時K*也更低。

綜上，短期內(nèi)，人均資本k、儲蓄率S、技術(shù)水平A、人口增長率n以及折舊率δ的變動都會導(dǎo)致人均資本增長率Δk/k以及人均穩(wěn)態(tài)資本K*或高或低的變化；長期內(nèi)，無論這些因素如何變化，最終人均資本增長率Δk/k和人均GDP增長率Δy/y均為零，人均資本k達到穩(wěn)態(tài)水平K*。但是當(dāng)我們重新定義索洛模型中技術(shù)進步的定義時，會發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟體可以實現(xiàn)持續(xù)的GDP增長。

2.有條件趨同

對于兩個經(jīng)濟體或者多個經(jīng)濟體來說，索洛模型認為它們之間存在趨同，即經(jīng)濟落后的國家可以追趕上經(jīng)濟發(fā)達的國家。趨同現(xiàn)象的存在仍然是建立在之前關(guān)于穩(wěn)態(tài)的分析基礎(chǔ)之上的。

根據(jù)上文闡述，影響穩(wěn)態(tài)人均資本K*的因素有S、A、δ及n。現(xiàn)在假設(shè)存在兩個相互獨立、封閉的經(jīng)濟體1和2，它們的初始資本k（0）不同，但是它們擁有相同的以上四個因素的數(shù)值，即它們的K*是一樣的。

因此，雖然經(jīng)濟體1的初始資本較低，但是其因此而具有較高的Δk/k，使得k1逐漸接近k2，即經(jīng)濟體1向經(jīng)濟體2趨同。

當(dāng)不同經(jīng)濟體的K*相同的時候，上述趨同存在。一旦該假設(shè)不成立時，則該趨同也不存在。

比如儲蓄率s的不同導(dǎo)致兩個經(jīng)濟體存在不同的K*。經(jīng)濟體1擁有較低的S和k（0），對應(yīng)著較低K*；經(jīng)濟體2擁有較高的S和k（0），對應(yīng)著較高K*。在這種情況下，兩個經(jīng)濟體誰增長更快一點是不確定的，即他們各自的曲線與直線間的距離無法判斷誰更長。因此，趨同失效。對于A、n及δ的變化，會導(dǎo)致相同結(jié)果--趨同失效。

在K*固定的情況下形成的趨同為有條件趨同。即較低的k（0）預(yù)期會帶來較高的Δk/k，但要取決于K*。當(dāng)存在較低的k（0）和較高的K*時，則會有較高的Δk/k；當(dāng)存在較低的k（0）和較低的K*時，則會有較低的Δk/k。其中，K*與S、A同向變化，與n、δ反向變化。

三、結(jié)論

綜上，索洛經(jīng)濟增長模型在兩方面為今后經(jīng)濟增長研究提供思路和方法，一是貢獻率，當(dāng)掌握了勞動力、資本和技術(shù)與經(jīng)濟增長的關(guān)系之后，通過實證軟件，可以明確三者對經(jīng)濟增長的影響程度；二是經(jīng)濟趨同，當(dāng)一地區(qū)經(jīng)濟增長逐漸放緩，有趨同趨勢時，是否人均資本出現(xiàn)問題是一個研究思路。

參考文獻：

羅伯特·J·巴羅，沈志彥，陳利賢譯.宏觀經(jīng)濟學(xué)：現(xiàn)代觀點[M].2008.