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        具有Neumann邊界條件的非局部多孔體介質(zhì)方程解的爆破時(shí)間下界估計(jì)*

        2016-10-18 07:41:34方鐘波
        關(guān)鍵詞:方程解下界邊界條件

        方鐘波, 柴 艷

        (中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 青島 266100)

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        具有Neumann邊界條件的非局部多孔體介質(zhì)方程解的爆破時(shí)間下界估計(jì)*

        方鐘波, 柴艷

        (中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 青島 266100)

        本文中研究一類(lèi)具有非齊次Neumann邊界條件的非局部多孔體介質(zhì)方程解的爆破現(xiàn)象。對(duì)邊界流為線性源及線性吸收情形,利用微分不等式技巧得到解發(fā)生爆破時(shí)爆破時(shí)間下界估計(jì)值。

        多孔體介質(zhì)方程;非局部源;Neumann邊界條件;爆破時(shí)間下界

        引用格式:方鐘波, 柴艷. 具有Neumann邊界條件的非局部多孔體介質(zhì)方程解的爆破時(shí)間下界估計(jì)[J]. 中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2016, 46(9): 129-132.

        FANGZhong-Bo,CHAIYan.Lowerboundsestimatesoftheblow-uptimeforanonlinearnonlocalporousmediumequationwithNeumannboundarycondition[J].PeriodicalofOceanUniversityofChina, 2016, 46(9): 129-132.

        考慮一類(lèi)具有非局部源與非齊次Neumann邊界條件的多孔體介質(zhì)方程初邊值問(wèn)題

        ut=Δum+up∫Ωuqdx,(x,t)∈Ω×(0,T),

        (1)

        (2)

        u(x,0)=u0(x),x∈Ω,

        (3)

        其中:Ω?R3是具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域;p≥0;q>0;p+q>m>1;k是常數(shù);ν是?Ω上的單位外法線向量;T是可能發(fā)生爆破的時(shí)間。

        方程(1)描述流體力學(xué)、人口動(dòng)力學(xué)及生物群體力學(xué)等諸多領(lǐng)域中擴(kuò)散現(xiàn)象[1-2]。從流體力學(xué)角度來(lái)說(shuō),描述牛頓流在多孔體介質(zhì)中的流動(dòng),其中up∫Ωuqdx叫“非局部熱源”項(xiàng),非線性邊界流(2)中系數(shù)k為正或負(fù)時(shí)分別稱(chēng)為“線性源”或“線性吸收”邊界流。

        對(duì)拋物型方程(組)解的爆破現(xiàn)象的研究已有許多文獻(xiàn)和專(zhuān)著,見(jiàn)文獻(xiàn)[3-4]及相關(guān)文獻(xiàn)。但是,這些文獻(xiàn)討論的問(wèn)題是關(guān)于解的整體存在性與非存在性及漸近性質(zhì)相關(guān)的問(wèn)題。最近,此類(lèi)問(wèn)題中爆破解的爆破時(shí)間上下界估計(jì)值的計(jì)算方面也引起了許多學(xué)者和專(zhuān)家的廣泛關(guān)注。其實(shí),爆破時(shí)間上界估計(jì)方面已有較好的成果,比如Levine[5]介紹的凸性方法,Gao等[6]介紹的輔助函數(shù)法、極值原理和上下解方法相結(jié)合的方法等。相對(duì)而言,爆破時(shí)間下界估計(jì)更難。Song[7]研究了研究了具有非局部源項(xiàng)和吸收項(xiàng)的半線性擴(kuò)散方程

        ut=Δu+∫Ωupdx-kuq, (x,t)∈Ω×(0,T),

        其中p>q>1。他們利用微分不等式的技巧,在齊次Dirichlet邊界條件或齊次Neumann邊界條件下得到了爆破時(shí)間的下界。之后,Liu等[8]和Fang等[9]采用類(lèi)似的方法,考慮了具有非局部源項(xiàng)和吸收項(xiàng)的擬線性拋物型方程,并得到了爆破時(shí)間下界估計(jì)值。

        由上所知,具有非齊次Neumann邊界條件的非局部多孔體介質(zhì)方程初邊值問(wèn)題(1)~(3)中爆破解的爆破時(shí)間下界估計(jì)的研究還未得到展開(kāi)。此類(lèi)問(wèn)題的難度在于文獻(xiàn)[7-9]中采用的微分不等式技巧不再適用于問(wèn)題(1)~(3)等。本文,對(duì)邊界流為線性源及線性吸收情形,利用改進(jìn)的微分不等式技巧得到爆破時(shí)間下界估計(jì)值。實(shí)際上,當(dāng)p+q>m>1且初始值充分大時(shí),類(lèi)似于文獻(xiàn)[10]方法易得問(wèn)題(1)~(3)解在有限時(shí)刻T爆破。

        注意到,由Sobolev型不等式的最優(yōu)化常數(shù),導(dǎo)致所得的結(jié)果僅局限在三維空間,見(jiàn)文獻(xiàn)[13]。同時(shí),此類(lèi)問(wèn)題的研究對(duì)于發(fā)展方程解的生命跨度的確定有著非常重要的意義。

        1 當(dāng)k>0時(shí)爆破時(shí)間T的下界

        定義輔助函數(shù)

        η(t)=∫Ωuα(p+q-1)dx,

        (4)

        η′(t)=α(p+q-1)∫Ωuα(p+q-1)-1utdx=

        α(p+q-1)∫Ωuα(p+q-1)-1[Δum+up∫Ωuqdx]dx=

        kα(p+q-1)∫?Ωuα(p+q-1)dS-

        mα(p+q-1)[α(p+q-1)-1]∫Ωuα(p+q-1)+m-3

        (5)

        由積分等式

        div(uα(p+q-1)x)=3uα(p+q-1)+α(p+q-1)uα(p+q-1)-1(x·▽u)

        可得

        (6)

        再由Schwarz不等式得

        (7)

        把(6),(7)帶入(5)得

        {mα(p+q-1)[α(p+q-1)-1]-

        α(p+q-1)∫Ωuα(p+q-1)+p-1dx∫Ωuqdx。

        (8)

        利用H?lder不等式可知

        (9)

        ∫Ωuα(p+q-1)+p-1dx ≤

        (10)

        (11)

        (12)

        把(9)-(12)帶入(8)有

        (13)

        其中

        (14)

        (15)

        類(lèi)似于[12]中(2.28)式的推導(dǎo)得

        (16)

        用H?lder不等式得

        (17)

        把(17)帶入(16)且應(yīng)用下列不等式

        (18)

        由(15)及(18)可知

        ∫Ωvα+1dx≤

        (19)

        ∫Ωvα+1dx≤

        (20)

        其中κ1,κ2>0待定。由(20)可以得出

        (21)

        其中

        (22)

        則(22)式可簡(jiǎn)寫(xiě)成

        (23)

        在(0,t)積分(23)得

        其中

        2 當(dāng)k≤0時(shí)爆破時(shí)間T的下界

        對(duì)η(t)求導(dǎo),并由(2)及k≤0,可得

        η′(t)=α(p+q-1)∫Ωuα(p+q-1)-1utdx=

        α(p+q-1)∫Ωuα(p+q-1)-1[Δum+up∫Ωuqdx]dx=

        kα(p+q-1)∫?Ωuα(p+q-1)dS-

        mα(p+q-1)[α(p+q-1)-

        α(p+q-1)∫Ωuα(p+q-1)+p-1dx∫Ωuqdx≤

        -mα(p+q-1)[α(p+q-1)-

        (24)

        類(lèi)似于定理1的證明過(guò)程,可得

        因此,可以建立下面的定理。

        [1]Bebernes J ,Eberly D. Mathematical Problems from Combustion Theory [M]. New York:Springer-Verlag, 1989.

        [2]Wu Z, Zhao J, Yin J,et al. Nonlinear Diffusion Equations [M].Singapore: World Scientific, 2001.

        [3]Levine H A. The role of critical exponents in blow-up theorems [J]. SIAM Rev, 1990, 32: 262-288.

        [4]Samarskii A A, Kurdyumov S P, Galaktionov V A , et al. Blow-up in Problems for Quasilinear Parabolic Equations [M]. Moscow: Nauka, 1987, Berlin: Walter de Gruyter, 1995.

        [5]Levine H A. Nonexistence of global weak solutions to some properly and improperly posed problems of mathematical physics: The method of unbounded fourier coefficients [J]. Math Ann, 1975, 214: 205-220.

        [6]Gao X, Ding J, Guo B Z. Blow up and global solutions for quasilinear parabolic equations with Neumann boundary conditions [J]. Applicable Analysis, 2009, 88: 183-191.

        [7]Song J C. Lower bounds for the blow-up time in a non-local reaction-diffusion problem [J]. Applied Mathematics Letter, 2011,24: 793-796.

        [8]Liu D, Mu C, Xin Q. Lower bounds estimate for the blow-up time of a nonlinear porous medium equation [J]. Acta Mathematica Scientia, 2012, 32B(3): 1206-1212.

        [9]Fang Z B, Yang R, Chai Y. Lower bounds estimate for the blow-up time of a slow diffusion equation with nonlocal source and inner absorption [J]. Mathematical Problems in Engineering, 2014 ,42: ID764248: 6.

        [10]Li F, Xie C. Global existence and blow-up for a nonlinear porous medium equation [J]. Appl Math Lett, 2003, 16: 185-192.

        [11]Talenti G. Best constant in Sobolev inequality [J]. Ann Mat Pura Appl, 1976, 110(1): 353-372.

        [12]Li Y, Liu Y , Lin C. Blow-up phenomena for some nonlinear parabolic problems under mixed boundary conditions [J]. Nonliner Anal Real World Appl, 2010, 11: 3815-3823.

        AMSSubjectClassifications:35R45; 35K65

        責(zé)任編輯陳呈超

        Lower Bounds Estimates of the Blow-up Time for a Nonlinear NonlocalPorousMediumEquationwithNeumannBoundaryCondition

        FANGZhong-Bo,CHAIYan

        (SchoolofMathematicalSciences,OceanUniversityofChina,Qingdao266100,China)

        Inthispaper,theblow-upphenomenaofanonlinearnonlocalporousmediumequationwithnonhomogeneousNeumannboundaryconditionareinvestigated.Byusingadifferentialinequalitytechnique,lowerboundsestimatesoftheblow-uptimeareobtainedwhenboundaryfluxislinearsourceorlinearabsorption.

        porousmediumequation;nonlocalsource;Neumannboundarycondition;thelowerboundofblow-uptime

        山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZR2012AM018);中央高?;究蒲谢痦?xiàng)目(201362032)資助

        2014-03-20;

        2014-10-12

        方鐘波(1968-),男,教授。E-mail:fangzb7777@hotmail.com

        O175

        A

        1672-5174(2016)09-129-04

        10.16441/j.cnki.hdxb.20140082

        SupportedbytheNaturalScienceFoundationofShandongProvinceofChina(ZR2012AM018)andtheFundamentalResearchFundsfortheCentralUniversity(201362032)

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