劉忠

《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》指出：“數(shù)學課程應適當介紹數(shù)學的歷史、應用和發(fā)展趨勢，數(shù)學對推動社會發(fā)展的作用，數(shù)學的社會需求，數(shù)學科學的思想體系，數(shù)學的美學價值，數(shù)學家的創(chuàng)新精神。”

在高中教學中，由于受應試教育的影響，不少師生認為，學數(shù)學的目的只是為了高考考高分、上好大學。為了讓學生能考到高分、上好的大學，不少教師也是蠻拼的：要求學生背題型，以便學生解題時“按圖索驥”；要求學生記解題技巧，學生解題時不假思索；要求學生進行魔鬼訓練，于學生解題時熟能生巧。這種扼殺學生學習的熱情、將美好的數(shù)學妖魔化的殺雞取卵的做法有時也確實取得了一些“效果”——部分學生得到了高分，但這種不重視數(shù)學人文精神，不呵護學生學習積極性，不注重數(shù)學知識的發(fā)生與發(fā)展，不通過數(shù)學教學培養(yǎng)學生的數(shù)學思維形成數(shù)學思想的做法，必定使學生對數(shù)學知識和數(shù)學的作用不理解，從而使他們對數(shù)學產(chǎn)生厭惡感和恐懼感。更為嚴重的是，會使一部分學生發(fā)誓高考后再也不碰數(shù)學了，教師也就真正成了使學生學習數(shù)學的興趣喪失殆盡的罪魁禍首！

雖然高中階段，學生學習數(shù)學的主要目的確實是提高數(shù)學成績，但教師的做法不能違背數(shù)學教育的目的，不能“近視”，要著眼于學生的長遠發(fā)展。因為學生高中畢業(yè)后未必都從事數(shù)學方面的工作，因此在高中階段教師要讓學生真正體會到數(shù)學的內(nèi)涵、精髓和魅力，真正感覺到數(shù)學文化的巨大作用，真正學會數(shù)學思維、形成數(shù)學思想。日本學者米山國藏說得好：“在學校學的許多數(shù)學知識，如果畢業(yè)后沒有機會去用的話，不到一兩年就會忘掉。然而，唯有深深銘刻在頭腦中的數(shù)學的精神、思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等，會隨時隨地發(fā)生作用，使他們終身受益?！币簿褪钦f，在一定意義上數(shù)學文化比數(shù)學本身更重要。

一、北師大版高中《數(shù)學》教科書中的數(shù)學文化

北師大版高中《數(shù)學》教科書是非常重視數(shù)學文化的。編者通過正文、例題、章首語、彩頁（插圖）、閱讀材料、小資料、課題學習、探究活動等將數(shù)學發(fā)展史、數(shù)學家及其貢獻、數(shù)學應用、數(shù)學名題、數(shù)學美等予以展現(xiàn)，具體地表現(xiàn)在：

1.數(shù)學的起源與發(fā)展有：函數(shù)概念的發(fā)展、弧度概念的引入、數(shù)系的擴充。歷史上數(shù)學計算方法的三大發(fā)明（阿拉伯數(shù)字、十進制和對數(shù)）、算法的發(fā)展（第一個算學家是劉徽，第二個算學家是祖沖之）、統(tǒng)計小史等。

2.數(shù)學家及其貢獻有：康托與集合論、笛卡爾與解析幾何、海倫公式與秦九韶三斜求積術、趙爽勾股圓方圖、米索不達米亞開方、哥德巴赫猜想、歐拉公式、斐波那契數(shù)列、伽羅瓦簡介、高斯簡介、人的潛能——Dantzig的故事等。

3.數(shù)學應用有：生活中的映射（既是同一種血型又具有相同的指紋和手紋的人“幾乎”是唯一的，這樣就找到了從特征到人之間的一一映射）、放射性物質(zhì)的衰減現(xiàn)象研究、存款模型（零存整取，定期自動轉(zhuǎn)存，分期付款）、大數(shù)的故事（棋盤上的學問，64片金片在三根金針上移動的寓言）、個人所得稅計算（2000年江西天津高考第6題）、函數(shù)建模案例、數(shù)學與音樂、選舉的預測、CT掃描和核磁共振、提丟斯根據(jù)太陽系中行星到太陽的距離規(guī)律探明了一些新的行星（或小行星）、“二戰(zhàn)”期間盟軍獲取德軍的坦克數(shù)的方法、隨機與保險等。

4.數(shù)學名題有：“韓信點兵”問題，物不知數(shù)，百雞問題。科學家富蘭克林遺產(chǎn)分配方案可行嗎？

5.數(shù)學美有：射影幾何、微分幾何、分形幾何圖形欣賞，水立方、碳60分子結構、圓錐曲線的形成等。

二、教學中如何進行數(shù)學文化教學

1.教師要有豐富的數(shù)學文化知識

教師的數(shù)學文化知識從何處來？從有關著作和文章中來！在中國，“數(shù)學文化”從提出到重視經(jīng)歷了十多年的歷程，已大致形成了體系。有關數(shù)學文化的著作有：克萊因的《古今數(shù)學思想》《西方文化中的數(shù)學》，鄧東皋、孫小禮和張祖貴合編的《數(shù)學與文化》，顧沛的《數(shù)學文化》，齊民友的《數(shù)學與文化》，鄭毓信的《數(shù)學文化學》，還有筆者的《中學數(shù)學文化》（2010年江西教育出版社出版）等等。

2.教師要有傳授數(shù)學文化的意識

教師有數(shù)學文化知識還要會去傳授！數(shù)學文化內(nèi)容大多數(shù)不在正文，而在章首語、彩頁（插圖）、閱讀材料、小資料、課題學習、探究活動等欄目中，而且平常的各種考試涉及較少，所以，教師們基本不講。那么用什么方法，通過什么途徑去傳授呢？開選修課行嗎？筆者曾經(jīng)進行過“高中新課程‘數(shù)學文化選修課開設的實驗研究”，通過實驗，筆者得出的結論是：在我們學校（或類似學校）想通過開設“數(shù)學文化”選修課來向?qū)W生傳授數(shù)學文化是不合適的，因為學生只為高考學數(shù)學。比較好的方法還是科任教師在課堂上進行數(shù)學文化的滲透，當遇到有關數(shù)學文化內(nèi)容（即使是章首語、閱讀材料、課題學習等中的內(nèi)容）時不僅不能繞道而行，而且要有意識地強化。如講等差數(shù)列求和公式時就可以用課本上介紹的數(shù)學家高斯和高斯法；講到斐波那契數(shù)列時，除將它的通項公式進行推導外，還要介紹它的其他性質(zhì)。筆者在講授必修3“算法的基本思想”中的例4：“韓信點兵”問題時，首先是介紹了韓信及其成就，然后在此基礎上詳細講解了我國明朝數(shù)學家程大位對這道名題的解法：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝。七子團圓正月半，除百零五便得知?！彪m然用了不少時間，但筆者感覺很值得。

“興趣是最好的老師?！睂W生學習數(shù)學的興趣從何而來？教師不是簡單地對學生說“你們要對數(shù)學感興趣！”學生就會感興趣，而是要“細雨濕身看不見，閑花落地聽無聲”，在教學中對學生進行熏陶，在潛移默化中達到目的。

3.教師傳授數(shù)學文化的一些具體做法

（1）教師的教學要重視科學人文精神

數(shù)學是訓練思維能力特別是邏輯思維能力的科學，雖然也有其他學科或方式可培養(yǎng)人的思維能力，但在深度、廣度、系統(tǒng)性等方面都無法與數(shù)學相比。由于在數(shù)學學習的過程中，觀察、比較、類比、猜想、抽象、歸納、概括等各種思維形式都在發(fā)揮作用，因此數(shù)學教育的“育人功能”也就在不知不覺中產(chǎn)生。endprint

就數(shù)學學習而言，不少學生的學習成績不理想，通常不是智力問題，而是非智力問題。動機、興趣、情感、意志和性格等在學習過程中始終發(fā)揮著動力、導向、引導、維持和強化等一系列相互聯(lián)系著的作用。

數(shù)學的“育人功能”越來越受到教育主管部門和廣大教育工作者的重視。我國的數(shù)學教育從重視“雙基（重視基礎知識和基本技能）”，到“雙基”與“三能力（計算能力、邏輯推理能力和空間想象能力）”并重，再到“四基（基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗）”、“五能力（空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解和數(shù)據(jù)處理能力）”和數(shù)學的理性精神、美學意義及樹立辯證唯物主義和歷史唯物主義世界觀的重視，標志著數(shù)學教育觀的不斷發(fā)展與變革。所以，教師在教學上不能簡單地認為“數(shù)學=邏輯”，要重視學生的情感、態(tài)度和價值觀。

（2）教師的教學要有充足的“文化味”

①多用些記憶的口訣

正如乘法口訣“三七二十一”一樣，它表示的是三乘以七的結果，如果沒記住而臨時來推導那顯然是不行的。高中數(shù)學中也有很多要記憶的公式定理，如果都能像“奇變偶不變，符號看象限”一樣來記，那想忘記都難。因此我們要多編些口訣來幫助學生理解和記憶?！凹显厝匦裕ギ悷o序確定性；集合元素盡相同，兩個集合才相同?！薄? 和空集不相同，正確區(qū)分才成功；運算如果有難處，文氏圖兒來相助?！薄敖嵌然《戎芙橇?，換算關系找到了，扇形看作三角形，面積公式簡化了。”等就是時今最流行的高中數(shù)學口訣。

②多作些形象的比喻

③多引用些名句和名詩詞

數(shù)學本來就有詩情畫意！著名數(shù)學家華羅庚對數(shù)形結合的思想方法用一首詩作了精彩描述：“數(shù)缺形時少知覺，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結合百般好，割裂分家萬事非?！?/p>

由張景中院士與李尚志教授等主編的湘教版《普通高中課程標準實驗教科書——數(shù)學》，每一章都有“章首詩”，如：“錐頂柱身立海天，高低大小也渾然。平行垂直皆風景，有角有棱足壯觀?！薄坝裢米訉O世代傳，棋盤麥塔上摩天。壇壇罐罐求堆垛，步步為營算連環(huán)?！焙笠皇自娊榻B了歷史上四個與數(shù)列有關的故事：“玉兔子孫”講的是斐波那契數(shù)列；“棋盤麥塔”講古印度國際象棋發(fā)明者向國王要獎賞的故事；堆垛連環(huán)都是中國古代數(shù)列問題。如果我們用這套教材，您會花時間去講解嗎？

近代中國著名學者王國維的治學三重境界：“昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路；衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴；眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處?！彼徒o學生多好啊！2014年“北約”自主招生語文試題中還有一道據(jù)此作文的題呢。

對于周期函數(shù)的定義域，學生一般難搞懂定義域無界（不一定是實數(shù)集R，如正切函數(shù)）是什么意思，筆者用“前不見古人，后不見來者”來描述了。“三視圖”是一個比較難懂的知識點，但高考必考?！叭晥D”是說，要了解一個幾何體，必須從“正面”“側面”“上面”三個不同的角度去看，因此教師可用蘇軾瀏覽廬山時寫下的膾炙人口的詩句“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中”來描述。“孤帆遠影碧空盡，惟見長江天際流”體現(xiàn)了極限（或無限）的意境，讓人們體會到一個變量趨向于無窮的動態(tài)意境。

④多一些風趣和幽默

“沒有幽默就沒有生活！”古希臘哲學家芝諾的學生問他：“老師，難道你有不懂得的東西嗎？”芝諾風趣地回答：“如果用小圓代表你們學到的知識，用大圓代表我學到的知識，那么大圓的面積是多一點；但兩圓之外的空白，都是我們的無知面，圓越大，其圓周接觸的無知面就越多。”回答令人拍案叫絕！

俄國大文豪列夫·托爾斯泰以奇妙的等式啟迪人們謙虛好學，他說：“一個人就好像分數(shù)，他的實際才能好比分子，而對自己的估價好比分母。分母愈大，則分數(shù)的值就愈小。”

還是前面不等式解集的寫法問題，有一個同學在我做了“上衛(wèi)生間”的比喻后還寫錯，我就問他：“某某同學，你是男生還是女生？”學生哄堂大笑。其實這也是分類討論思想，結果要按自己的性別來定，是男性就回答男生，是女性就回答女生，總不能說自己是男女生吧？這種幽默有助于同學們對知識的理解。

還有一種幽默就是語言幽默。教師妙語連珠、風趣幽默，學生必定精神振奮、困倦全無。遇到字寫得差的學生，可以說：你的字寫得很流暢，好像是懷體，懷素比較有名，因為他發(fā)明了狂草；對于解選擇填空題，要注意特殊解法，可以說：你不會做，但可以對，這一點也不矛盾；針對易錯題學生做錯的情況，可以說：這道題很經(jīng)典，因為，它不難卻殺倒一大片；針對考試時發(fā)揮不好的學生，可以說：我們不要用最短的時間去做錯所有會做的題，再用大量時間去做不會做的題等等。

⑤適當穿插數(shù)學謎語、對聯(lián)

高中數(shù)學謎語如：查帳（謎底：對數(shù)）；劍穿楚霸王（謎底：通項），待命（謎底：等差[諧音]）；小喬 （謎底：周期[諧音]）；競賽前夕 （謎底：等比）； 你盼著我，我盼著你（謎底：相等）；五角錢一趟（謎底：一元二次）；等等。

數(shù)學對聯(lián)中，有很多名聯(lián)，數(shù)學家華羅庚的“三強韓趙魏，九章勾股弦”乃絕對！黃鶴樓之數(shù)學聯(lián)：“六千年數(shù)學，曠世傳來，想初等代數(shù)，解析幾何，集合理論，積分方程，何其博大精深，極目古今悠，莫驚疑數(shù)海茫茫，形山隱隱；一萬里長江，幾人淘盡，仰割圓劉徽，算率沖之，流數(shù)牛頓，過橋歐拉，真是超凡入圣，放懷天地闊，須禮贊勛名赫赫，偉業(yè)煌煌。”“愛情如幾何曲線；幸福似小數(shù)循環(huán)”“七橋島上云追月，四色圖中蝶戀花”“有理函數(shù)涵百福，無窮集合集千祥”“花甲重開，外加三七歲月；古稀雙慶，內(nèi)多一個春秋”等等。

教學中，當講解有關內(nèi)容時穿插這些數(shù)學謎語或?qū)β?lián)，一是可以活躍課堂氣氛，使學生對這些知識和方法的學習更感興趣；再者，由于這些謎語和對聯(lián)都包含很多知識、典故，學生要弄懂這些謎語和對聯(lián)就必須先了解相關知識和典故，整個過程無形中擴大了學生的知識面，使學生徜徉在數(shù)學文化的海洋中。endprint

⑥適當應用幾何畫板（數(shù)學軟件）

信息化社會必定離不開數(shù)學教與學的信息化，“高中數(shù)學課程應提倡利用信息技術來呈現(xiàn)以往教學中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容”。被稱為21世紀的動態(tài)幾何軟件——幾何畫板，就是一種師生都應學習和使用的數(shù)學軟件，它的最大特點是提供了一個探索幾何圖形內(nèi)在關系的環(huán)境，它能把較為抽象的幾何圖形形象化、“動態(tài)化”。例如，我們可以借助它畫出y=Asin（ωx+φ）的圖像，并通過設置動畫，觀察參數(shù)A，ω，φ變化對函數(shù)圖像的影響。幾何畫板的可“動態(tài)化”特點，還讓我們可以進行數(shù)學實驗。筆者就通過實驗發(fā)現(xiàn)了《中學數(shù)學教學參考》2013年第10期（上旬）刊載的《一對形似質(zhì)異問題的辨析》中的一道試題的錯誤。

數(shù)學課件發(fā)展到今天已不再是只當幻燈片用了，本人認為沒有使用幾何畫板的數(shù)學課件是很難達到好效果的。因此在數(shù)學教學中善于使用它，一是為教學提供方便，二是對學生耳濡目染。

三、教學中如何進行高考數(shù)學文化試題的教學

早在2004年，重慶高考文科試題中就有這樣一道題：“毛澤東在《送瘟神》中寫道：‘坐地日行八萬里。又知地球的體積大約是火星的8倍，則火星的大圓周長約為_______萬里?！边@可能是最早的高考數(shù)學文化試題。從此以后，各地高考數(shù)學題都慢慢地增加了數(shù)學文化方面的內(nèi)容。目前，全國新課標卷、湖北卷等都有“依托數(shù)學史料，彰顯數(shù)學文化”的鮮明特色，每年的高考卷中無論文科理科試卷，必有一道數(shù)學文化試題。例如，2015年高考新課標卷Ⅰ中就有這樣一道題：“《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：‘今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問：積及為米幾何？其意思為：‘在屋內(nèi)墻角處堆放米[如圖（圖略），米堆為一個圓錐的四分之一]，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（ ）A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛”。這些題都有這樣一個特點：題目文字多；從內(nèi)容來說，一是介紹有關的數(shù)學史料（數(shù)學家、數(shù)學名著等），二是介紹原題（文言文），三才是我們一般意義的考試題。從學生答題的角度來講，只要看全題的第三部分就行，但命題者之所以增加篇幅闡述前兩部分，就是為了使學生了解數(shù)學歷史、向?qū)W生傳播數(shù)學文化。有些人說，學數(shù)學是為了高考?，F(xiàn)在我們可以看到了，即使只從高考能考高分的角度來講，我們也要重視數(shù)學文化、重視數(shù)學文化試題的研究。這正是高考指揮棒的作用，是高考數(shù)學教育改革要我們這樣做。

高考數(shù)學文化試題如何教學呢？除了按一般試題進行教學外，還要讓學生知道，高考數(shù)學中的數(shù)學文化試題，相當于語文卷中的閱讀理解題，對題意閱讀理解后就不難了。為了消除恐懼感，要告訴學生這類題的題型結構和解題思路，多編制或搜集一些這方面的題讓學生平常練習，這樣，到考試時學生不僅不恐懼，反而會感到很高興！

（作者單位：江西省永豐中學）

責任編輯 喻漢林

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