張　超，胡建民， 黃曉利，王月媛，王選章

(哈爾濱師范大學(xué) 光電帶隙材料省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 物理與電子工程學(xué)院，哈爾濱　150025)

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折射和半波損失情況下布拉格方程的推導(dǎo)

張超，胡建民， 黃曉利，王月媛，王選章

(哈爾濱師范大學(xué) 光電帶隙材料省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 物理與電子工程學(xué)院，哈爾濱150025)

為簡(jiǎn)化布拉格方程的推導(dǎo)過(guò)程同時(shí)又能深刻反映晶體X射線衍射的物理本質(zhì)，本文在考慮折射和半波損失的情況下，在單光束反射模型的基礎(chǔ)上根據(jù)折射定律和相干條件給出布拉格方程的推導(dǎo)過(guò)程，得到更具有普遍意義的布拉格方程.

晶體折射；半波損失；布拉格方程

X射線被發(fā)現(xiàn)以后，德國(guó)物理學(xué)家勞厄?qū)⒕w看作三維衍射光柵，既證明了X射線的電磁波本質(zhì)，又證實(shí)了晶體結(jié)構(gòu)的周期性，由此建立晶體X射線衍射方程[1]．1913年，布拉格父子提出晶面反射模型，推導(dǎo)出布拉格方程．林一山根據(jù)光的衍射理論對(duì)布拉格條件做了定量推導(dǎo)[2]．現(xiàn)有教材和文獻(xiàn)大多采用的晶面反射模型如圖1所示，晶面間距為d，反射X光的光程差為波長(zhǎng)λ的整數(shù)倍時(shí)發(fā)生衍射加強(qiáng)，于是得出2dsinθ=mλ，其中θ為衍射角，m為衍射級(jí)數(shù)．圖1所示的晶面反射模型是兩條或兩條以上的入射光束經(jīng)過(guò)不同晶面反射后發(fā)生的相干疊加，在此稱為多光束反射模型．姚忠祥在考慮晶體折射率n的情況下對(duì)布拉格方程進(jìn)行修正，由此得到的布拉格方程為[3]

(1)

顯然，方程(1)沒(méi)有考慮X射線在晶體界面上的相位問(wèn)題，即半波損失．半波損失是指當(dāng)光束由折射率較小的介質(zhì)經(jīng)過(guò)界面進(jìn)入折射率較大的介質(zhì)時(shí)，其電矢量方向發(fā)生改變，即振動(dòng)相位發(fā)生突變[4].為使幾何光程和相位一致，需要在幾何光程的基礎(chǔ)上考慮半波損失．

圖1　特定情況下的多光束反射模型[3]

圖2　單光束反射模型

如果只取一束X射線被不同的晶面反射，在反射光的光程差滿足波長(zhǎng)整數(shù)倍條件時(shí)也可以發(fā)生相干疊加，在此稱之為單光束反射模型，如圖2所示．由于X射線衍射的物理本質(zhì)是晶體中所有原子經(jīng)典散射波相干疊加的結(jié)果．所以，采用單光束反射模型推導(dǎo)布拉格方程即可以簡(jiǎn)化推導(dǎo)過(guò)程又能夠深刻反映晶體X射線的物理本質(zhì)．本文在考慮折射和半波損失的情況采用單光束反射模型給出布拉格方程的推導(dǎo)過(guò)程．

(2)

根據(jù)折射率的定義

cosθ=n(ω)cosθ′

(3)

(4)

又

(5)

由式(2)﹑式(4)和式(5)可得

(6)

當(dāng)光程差等于入射光波長(zhǎng)的整數(shù)倍時(shí)發(fā)生相干疊加

(7)

這就是考慮折射和半波損失情況下采用單光束反射模型推導(dǎo)的布拉格方程．在不考慮半波損失的情況下式(7)與式(1)一致．由式(7)可見(jiàn)，當(dāng)衍射角發(fā)生變化時(shí)，對(duì)于面間距不同的晶面將對(duì)應(yīng)不同的衍射峰，而半波損失并不影響衍射譜的基本特征(衍射峰的形狀和相對(duì)位置)，所以X射線衍射在實(shí)際應(yīng)用中并不考慮半波損失．此外，X射線衍射在本質(zhì)上是晶體中所有原子經(jīng)典散射波相干疊加的結(jié)果，而折射和半波損失只發(fā)生在晶體表面，對(duì)于晶體內(nèi)部的晶面不會(huì)發(fā)生折射和半波損失．理想情況下，晶體表面原子數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于晶體內(nèi)部原子數(shù)，這也是晶體結(jié)構(gòu)的X射線衍射分析中不考慮折射和半波損失的一個(gè)重要原因．

[1]胡建民，周勝，信江波,等. 固體物理學(xué)教程[M]. 哈爾濱：東北林業(yè)大學(xué)出版社，2010：46-51.

[2]林一山. 對(duì)布拉格條件的嚴(yán)格推導(dǎo)[J]. 大學(xué)物理，2009，28(8)：56-58.

[3]姚仲祥. 折射和色散對(duì)布喇格方程的影響[J]. 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械學(xué)院學(xué)報(bào). 1989，12(3)：83-86.

[4]Born M,Wolf E.光學(xué)原理[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2005：35-36.

Derivation of the Bragg equation in the case of refraction and the half-wave loss

ZHANG Chao, HU Jian-min, HUANG Xiao-li, WANG Yue-yuan,WANG Xuan-zhang

(Key Laboratory for Photonic and Electronic Bandgap Materials, Ministry of Education, School of Physics and Electronic Engineering, Harbin Normal University, Harbin, Heilongjiang 150025, China)

To simplify the derivation of the Bragg equation and at the same time to reflect profoundly the physical nature of the crystal X-ray diffraction, a more universal Bragg equation is given using the single-beam reflectance model on the basis of law of refraction and coherent conditions in the case of considering refraction and the half-wave loss.

crystal refraction; half-wave loss; Bragg equation

2015-02-11；

2015-06-02

黑龍江省高等學(xué)校教改工程項(xiàng)目(JG2013010361)和國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11075043)資助

張超，(1989—)，男，甘肅武威市人，哈爾濱師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院2010級(jí)本科生.

胡建民，Email:hujianmin@foxmail.com

O 436.1；

A

1000- 0712(2016)01- 0057- 02