郝成紅, 黃耀清, 王　歡,洪　炎, 李梓菁, 段俊生

(上海應用技術學院 理學院，上?！?01418)

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考慮空氣阻力時空竹的斜拋運動

郝成紅, 黃耀清, 王歡,洪炎, 李梓菁, 段俊生

(上海應用技術學院 理學院，上海201418)

研究馬格努斯效應的旋轉拋體運動，考慮質心運動方向上的阻力作用，得到運動方程的嚴格解析解.

馬格努斯效應；旋轉拋體；軌跡

“當一個圓柱體繞自身軸線旋轉并且有流體在垂直于該軸線方向流過時，它會受到一個垂直于流動方向的橫向力，力的方向總是從來流方向與圓柱面上線速度是相反的那一邊指向是相同的那一邊”[1]，這種現(xiàn)象稱為馬格努斯(Magnus)效應. 文獻[1]討論了空竹的下落運動，但是沒考慮到空氣阻力的作用. 本文研究空竹在空氣中以某一出射角和初速度旋轉拋出，并考慮空氣對拋體運動的阻力作用，給出了運動方程的嚴格解析解.

1　旋轉拋體運動的理論計算

如圖1所示，建立Oxyz直角坐標系，Oxy平面垂直地面，設旋轉拋體的自轉軸與Oz軸平行.

圖1

設ω是拋體旋轉的角速度，方向指向Oz軸正向，為簡化計算，將其設為常矢量. v是拋體質心速度.μ是與流體性質及物體大小、幾何形狀相關的常量.

旋轉拋物體在運動過程中受到3個力的作用,即由馬格努斯效應所產(chǎn)生的垂直于旋轉軸的橫向力F、空氣阻力F阻和重力FG作用.

根據(jù)馬格努斯效應，橫向力F表示為

F=μ(ω×v)

(1)

F垂直于ω和v所確定的平面.

空氣阻力F阻為[2]

F阻=-kv

(2)

其中k是空氣阻力系數(shù).

重力FG為

FG=mg

(3)

其中m為旋轉拋體的質量，g為重力加速度.

根據(jù)質心運動定理，旋轉拋體的運動微分方程為

(4)

由式(4)中第1式解出

(5)

將式(5)代入式(4)第2式，得到

(6)

式(6)的齊次方程特征根方程為

(7)

方程的特征根是

(8)

(9)

設t=0時，旋轉拋體質心的初速度為v0，方向與Ox軸的夾角為α.可以解得C1、C2分別為：

(10)

(11)

將式(10)、式(11)代入式(9)得

(12)

把式(12)代入式(4)第2式，得

(13)

為了簡化表達式，令

(14)

(15)

(16)

(17)

2　討論

給定式(16)、式(17)中各參量(v0、α、μ、ω、m、k)，并取g=10 m/s2.給出圖2—圖9各參量值(見表1).圖2—圖9是經(jīng)過數(shù)值計算得到的旋轉拋體質心的運動軌跡.

表1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

1)k=0，ω≠0，即不考慮空氣阻力時，有

(18)

(19)

即文獻[1]的結果.

2) 當ω=0，k≠0，即當物體不旋轉時,有

(20)

(21)

得到文獻[4]的結果.

3) 當ω=0，而k很小或趨近于零時，求式(20)、式(21)k→0時的極限，得

x(t)=(v0cosα)t

(22)

(23)

即為不考慮空氣阻力的斜拋運動.

4) 其他參量不變，只改變v0的3種典型運動模式.

圖2、圖3和圖4所給出的運動軌跡是固定了初速度v0之外的其他參量，只改變v0的大小得到的3種典型的運動模式. 其中圖3是圖2中曲線最高點與回轉交叉點重合為一個點的臨界狀態(tài)，圖4則是速度減小，不能完成回旋而直接進入下降狀態(tài).

6)A=0和B=0的兩種情況.

旋轉拋體的運動必須考慮到馬格努斯效應的影響. 主要的因素是拋體旋轉角速度ω和拋體質心線速度v，以及空氣的阻力. 本文的理論結果與旋轉拋體實際的軌跡會有一定的偏差, 其原因之一就是沒有考慮到角速度隨時間變化的情況，而實際拋體的轉動角速度一定是時間t的函數(shù). 如果實驗過程很短，可以認為角速度ω的變化很小, 則偏差就會小一些.

[1]于鳳軍.馬格努斯效應與空竹的下落運動[J].大學物理，2012，31(9)：19-21.

[2]郝成紅.考慮空氣阻力的拋體射程[J].大學物理，2008，27(12)：21-22.

[3]盛祥耀，胡金德，陳魁,等.數(shù)學手冊[M].北京：清華大學出版社，2005：243.

[4]馬文蔚.物理學教程：上冊[M]. 北京：高等教育出版社，2002：44.

The projectile motion of diabolo with air friction

HAO Cheng-hong, HUANG Yao-qing, WANG Huan,HONG Yan, LI Zi-jing, DUAN Jun-sheng

(School of Science, Shanghai Institute of Technology, Shanghai 201418, China)

Considering the interaction of friction in motion direction of mass center of projectile body, we have studied the motion of rotating projectile on Magnus effect. There is an exact solution of motion locus to present.

Magnus effect; rotating projectile; locus

2015-07-29；

2015-09-30

上海應用技術學院高校實驗技術隊伍建設項目(1021NH153004008-2015)、上海應用技術學院教師發(fā)展中心教學改革項目(4521ZK140007111)資助

郝成紅(1960—)，男，黑龍江雙城堡人，上海應用技術學院理學院副教授，主要從事大學物理教學及研究工作.

黃耀清，E-mail:huangyaoqingsit@126.com

O 313.3

A

1000- 0712(2016)03- 0015- 03