江俊勤

(廣東第二師范學(xué)院 物理系，廣東 廣州　510303)

?

地球靜止軌道衛(wèi)星的數(shù)值模擬

江俊勤

(廣東第二師范學(xué)院 物理系，廣東 廣州510303)

在理論力學(xué)框架下，考慮科里奧利力和慣性離心力，對地球靜止軌道衛(wèi)星的漂移、調(diào)整和同步的過程進行了詳細(xì)的數(shù)值模擬，并借此領(lǐng)略發(fā)射地球靜止軌道衛(wèi)星的精湛技術(shù).

地球靜止軌道衛(wèi)星；科里奧利力；慣性離心力；漂移；調(diào)整；同步

關(guān)于地球靜止軌道衛(wèi)星，在傳統(tǒng)的物理學(xué)教材中通常有如下問題.

我國是少數(shù)幾個能夠發(fā)射地球靜止軌道衛(wèi)星的國家，這種衛(wèi)星永遠(yuǎn)停留在赤道上空的一個固定位置(相對于與地球固連的地球參考系)，常用于轉(zhuǎn)播電視節(jié)目和無線電通信.

問：這種人造地球衛(wèi)星離地面高度是多少？已知地球質(zhì)量為me=5.9723×1024kg，半徑R=6.378×106m.

答：設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量為m, 地球自轉(zhuǎn)角速度為ω，衛(wèi)星離地面高度為h,G為引力常數(shù).

因為衛(wèi)星相對于地球靜止，所以

即

所以

(1)

傳統(tǒng)教材的這種簡單的“問與答”，掩蓋了發(fā)射地球靜止軌道衛(wèi)星的許多精彩細(xì)節(jié)(漂移、高度調(diào)整、同步)，會讓人誤以為：只要把衛(wèi)星送到赤道上空離地面3.579×107m處，相對于地球靜止釋放就可以了，衛(wèi)星就會乖乖地靜止于指定點的赤道上空.實際情況并非如此簡單！

現(xiàn)在考慮一個重要而有趣的問題：假設(shè)人造地球衛(wèi)星被三級火箭送進赤道“同步”軌道時，所在軌道高度不是準(zhǔn)確的，而是存在一定的誤差，那么此后的衛(wèi)星會怎樣運動？(設(shè)相對初速度為零和緯度為零，都是精確的)

本文在理論力學(xué)框架內(nèi)，不計地球公轉(zhuǎn)、月亮與衛(wèi)星的引力及太陽輻射壓力等的影響，單純討論人造衛(wèi)星(看做一個質(zhì)點)在地球(看成一個完美的勻質(zhì)球體)的引力作用下，在地球自轉(zhuǎn)的影響下(考慮科里奧利力和慣性離心力)，當(dāng)“同步”軌道的初始高度h與“準(zhǔn)確高度”之間存在一定的誤差時會發(fā)生怎么的情況. 通過對衛(wèi)星的漂移、高度調(diào)整和同步過程的數(shù)值模擬，展示發(fā)射地球靜止軌道衛(wèi)星的一些精彩環(huán)節(jié)，領(lǐng)略發(fā)射地球靜止軌道衛(wèi)星的高要求與精湛技術(shù).

1　運動微分方程

把地球看成一個完美的均勻球體(質(zhì)量為me)，人造地球衛(wèi)星看成一個質(zhì)點(質(zhì)量為m)，不計其他星體的影響, 則衛(wèi)星所受的萬有引力為

(2)

由于地球靜止軌道衛(wèi)星(赤道同步衛(wèi)星)遠(yuǎn)離地球大氣層，空氣阻力可以忽略.

圖1　地球參照系

取如圖1所示的地球參照系，x、y、z為衛(wèi)星P相對于地球的坐標(biāo)，則人造地球衛(wèi)星受到引力、慣性離心力和科里奧利力的共同作用. 根據(jù)理論力學(xué)的轉(zhuǎn)動參照系理論或分析力學(xué)理論[1], 并將式(2)代入，可得衛(wèi)星P的動力學(xué)微分方程：

(3)

式(3)是一個復(fù)雜的微分方程組，本文將用標(biāo)準(zhǔn)的微分方程數(shù)值解法求解，并取有關(guān)地球的常數(shù)為：me=5.9723×1024kg，R=6.378×106m，ω=2π/T0，G=6.674 28×10-11N·m2·kg-2，其中T0=86 164 s，是地球相對于遙遠(yuǎn)恒星自轉(zhuǎn)的周期，稱為1個恒星日. 而本文所講的1天是指1個太陽日，即24 h =86 400 s.

2　地球靜止軌道衛(wèi)星的數(shù)值模擬——漂移、調(diào)整與同步

式(1)的結(jié)果取h=3.579×107m，是符合誤差理論的要求的，因為地球的平均半徑R和質(zhì)量me都不是一個十分精確的數(shù)，特別是R=6.378×106m(4位有效數(shù)字，有的書更粗略地取R=6.40×106m)，計算結(jié)果也只能保留4位有效數(shù)字了(有的教科書干脆取h≈3.6×107m)；實際中h的準(zhǔn)確值是多少、如何確定，屬于專門的衛(wèi)星技術(shù)問題，超出了基礎(chǔ)物理學(xué)的范圍，本文的目的在于從原理上說明地球靜止軌道衛(wèi)星的基本特點，并不追求得到和實際衛(wèi)星一致的精確數(shù)據(jù)(取R=6.378×106m是否偏大，也不影響本文對基本原理的敘述). 作為純粹的物理計算，我們可以把me、R和ω全部當(dāng)做精確數(shù)看待，這樣，式(1)的計算結(jié)果可以取任意多位有效數(shù)字，例如可取h=3.578 640 74×107m = 35 786 407.4 m，即精確到dm量級.

作為 “地球靜止軌道衛(wèi)星的漂移與調(diào)整”數(shù)值模擬的第一步，取初始高度h為式(1)的計算結(jié)果，即取h=3.579×107m, 初始相對速度嚴(yán)格為零. 即方程組(3)的初始條件取為

(x0,y0,z0)=(4.2168×107，0,0)，

(v0x,v0y,v0z)=(0,0,0)

取100天時間作為研究時段，求方程組(3)的數(shù)值解，可計算出衛(wèi)星的周期、近地距離、遠(yuǎn)地距離：

T=86 207.9 s，hmin=3.579×107m，

hmax=3.581 16×107m

T比T0(86 164 s)多43.9 s，衛(wèi)星的運動周期與地球自轉(zhuǎn)周期比較接近. 但近地距離(即發(fā)射高度)比遠(yuǎn)地距離少了21.6 km，說明衛(wèi)星并沒有相對于地球靜止，而是相對于地球運動，圖2繪制了100天內(nèi)衛(wèi)星的運動軌跡，圖3給出了10天內(nèi)(100天太長，周期太多) 衛(wèi)星離地面高度(L-R)的變化情況.

圖2所示的運動軌跡是全局性的三維軌跡圖，右邊那段看上去像弧形的“一小段”軌跡，其長度超過了地球的直徑，數(shù)值計算表明，其長度到達(dá)了1.35×107m(平均每天漂移達(dá)135 km之多).

圖2　當(dāng)h=3.579×107 m時，100天內(nèi)衛(wèi)星的運動軌跡(俯視順時針)

為了能清楚地展示衛(wèi)星漂移過程的細(xì)節(jié)，我們把視野集中在10天內(nèi)衛(wèi)星漂移的區(qū)域內(nèi)，即在赤道平面內(nèi)取長為1 400 km、寬為50 km的矩形區(qū)域，并繪制衛(wèi)星在該區(qū)域內(nèi)的運動軌跡(動畫片共60幅圖)，圖4是10天內(nèi)的運動軌跡(出發(fā)點為x-x0=0，y=0).

圖3顯示：由于發(fā)射的初始高度不準(zhǔn)確(后面進一步模擬表明，高了3 592.5 m)，發(fā)射后衛(wèi)星高度開始上升，大約12個小時后上升到最高處(遠(yuǎn)地點)，然后開始下降，大約24個小時(1個周期)后恢復(fù)到最低處(近地點)，即每天在高度為hmin=3.579×107m與hmax=3.581 16×107m之間往返一次，波動幅度高達(dá)Δh≈2.16×104m = 21.6 km.

圖3　當(dāng)h=3.579×107 m時，10天內(nèi)衛(wèi)星離地面高度(L-R)的變化情況

圖4顯示，衛(wèi)星的軌跡類似于圓外擺線(畫圖時y方向被壓縮了)，內(nèi)接圓的半徑為x0=R+hmin=4.216 8×107m，每天出現(xiàn)一次的近地點和遠(yuǎn)地點都不同.

圖4　當(dāng)h=3.579×107m時，10天內(nèi)衛(wèi)星的運動軌跡 (赤道平面內(nèi))

由此看來，衛(wèi)星高度取物理學(xué)教科書的計算結(jié)果h=3.579×107m =35 790 km，根本不可能獲得赤道同步衛(wèi)星，這樣的衛(wèi)星運行100天后在y方向的漂移距離到達(dá)了13 500 km ，可以說衛(wèi)星已漂到了別國的上空. 由于地球靜止軌道衛(wèi)星集中在赤道上空同一高度，如此大幅度的漂移以及每天21.6 km的高度變化，會造成衛(wèi)星之間的碰撞！

同步衛(wèi)星軌道高度的準(zhǔn)確度必須遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于物理學(xué)教科書估算值的精度！

現(xiàn)在提高精確度，把初始高度取為h=3.578 64×107m=35 786 400 m，初始相對速度嚴(yán)格為零，其他參數(shù)不變. 并研究10天內(nèi)的運行情況，重新求方程組(3)的數(shù)值解，得衛(wèi)星的運動周期：

T=86 163.9 s

只比1個恒星日少0.1 s，已經(jīng)很接近地球自轉(zhuǎn)周期了.

近地距離和遠(yuǎn)地距離分別為：

hmin=3.578 635 522×107m，

hmax=3.578 640 000×107m

10天內(nèi)的運動軌跡如圖5所示，類似于擺線(半徑為x0=R+hmax的圓弧對于2 814 m的漂移來說，可以看做直線).

圖5　當(dāng)h=35 786 400 m時，10天內(nèi)衛(wèi)星的運動軌跡 (赤道平面內(nèi))

這些結(jié)果顯示：當(dāng)初始高度調(diào)整為h=35 786 400 m時，衛(wèi)星的穩(wěn)定性大為提高：發(fā)射后的初期，衛(wèi)星高度開始下降，大約12個小時(半個周期)后下落到最低處(近地點)，然后開始上升，大約24個小時(1個周期)后恢復(fù)到最高處(遠(yuǎn)地點)，每天的波動幅度Δh為

Δh=3.578 640 000×107m-3.578 635 522×107m=44.78 m，(且|x-x0|max≈Δh)

衛(wèi)星在y方向上的位移仍然是累積性的，但10天內(nèi)的累積位移已大幅度減少為大約2814 m，從原來的每天135 km減少為每天281 m.

但是，按照每天281 m的漂移計算，使用5年后累積漂移將達(dá)到513 km，已經(jīng)從一個城市上空移動到其他城市上空，仍然不符合靜止的要求，也影響穩(wěn)定性，所以衛(wèi)星發(fā)射入軌之初(以及后來的多年服役期間)必須使用衛(wèi)星自帶的設(shè)備(包括發(fā)動機和燃料)進行軌道調(diào)整(校正).

現(xiàn)在進行第一次調(diào)整. 把衛(wèi)星軌道高度調(diào)整為h=35 786 410 m，同時相對速度歸零. 這相當(dāng)于取初態(tài)為R=6.378×106m，h=35 786 410 m，v0=0，重新求方程組(3)的數(shù)值解，結(jié)果如下.

衛(wèi)星運行的周期(幾乎與地球自轉(zhuǎn)周期相同)：

T=86 164.0 s.

每個周期內(nèi)(大約一天)衛(wèi)星高度的變化量Δh為

Δh=3.578 642 522×107-3.578 641 000×107=15.22(m)

10天內(nèi)衛(wèi)星運動軌跡如圖6所示.

圖6　當(dāng)h=35 786 410 m時，10天內(nèi)衛(wèi)星的運動軌跡 (赤道平面內(nèi))

顯而易見：初始高度從h=35 786 400 m調(diào)整為h=35 786 410 m后，衛(wèi)星又進一步穩(wěn)定了(更接近同步的要求)，x方向和y方向上位移更小了，y方向累積漂移每天約為96 m，而x方向的變化量每天約15 m. 但漂移方向為-y(向西)，與之前的方向相反，而且離地面高度是先增加、后減少，這說明本次調(diào)整效果雖然明顯，但調(diào)整有些過頭了(有些矯枉過正).

下面進行第二次調(diào)整. 取軌道初始高度精確到分米級：把衛(wèi)星高度往回微調(diào)為h=35 786 407.4 m(初始相對速度嚴(yán)格歸零). 重新求解方程組(3)，結(jié)果為每個周期(等于地球自轉(zhuǎn)周期)內(nèi)衛(wèi)星高度的變化量僅為0.38 m，y方向每天漂移僅為2.39 m. 10天內(nèi)衛(wèi)星運動軌跡如圖7所示.

圖7　當(dāng)h=35 786 407.4 m時，10天內(nèi)衛(wèi)星的運動軌跡 (赤道平面內(nèi))

至此，可以認(rèn)為衛(wèi)星真正“與地球同步，靜止于赤道上空”.

為了便于比較，現(xiàn)將各種不同的初始高度與每天累積漂移及離地面高度的波動量匯總，如表1所示.

表1　各種初始高度所對應(yīng)的每天累積漂移及離地面高度的波動

綜上所述，由于“入軌”的初始高度不是完全準(zhǔn)確的，而是存在一定的誤差，所以衛(wèi)星相對于地球并不靜止，它將向西或向東漂移，高度也隨之波動，需要對軌道進行反復(fù)調(diào)整(校正)，才能完成靜止衛(wèi)星的定點. 發(fā)射高度超過地球半徑5.6倍的地球靜止軌道衛(wèi)星，實現(xiàn)如此超高精確度的定位(精確到米甚至分米)，需要何等精湛的技術(shù)！

[1]周衍柏．理論力學(xué)[M]．2版. 北京：高等教育出版社，2009.

Numerical simulation of geostationary satellite

JIANG Jun-qin

(Department of Physics, Guangdong University of Education, Guangzhou，Guangdong 510303, China)

:In the theoretical mechanics framework, by considering the Coriolis force and inertial centrifugal force, the process of the drift, adjustment and synchronization of the geostationary satellite is numerically simulated. The exquisite technology for launching the geostationary satellite is understood and appreciated.

geostationary satellite; Coriolis force;inertial centrifugal force; drift; adjustment; synchronous

2015-05-22 ；

2015-09-08

廣東省高等學(xué)校物理專業(yè)綜合改革試點項目(9010-14246)資助

江俊勤(1962—)，男，廣東揭陽人，廣東第二師范學(xué)院物理系教授，主要從事理論物理教學(xué)和格點規(guī)范理論的研究工作.

教學(xué)討論

O 313.1；O 4-39

A

1000- 0712(2016)03- 0011- 04