孫月香，李　媛，白在橋

(北京師范大學 物理學系，北京　100875)

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耦合共振管的頻率特性研究

孫月香，李媛，白在橋

(北京師范大學 物理學系，北京100875)

用聲功率法測量了耦合共振管在不同耦合強度下的頻率特性，發(fā)現(xiàn)隨著耦合強度的增大，耦合共振管的頻率的回避交叉現(xiàn)象越明顯，這與量子力學中能級的回避交叉具有數學上的相似性.

耦合共振管；聲功率；共振回避交叉

聲學共振管是大學基礎物理實驗常見教學儀器，通常的實驗內容有測量聲速、共振頻率以及管內聲壓分布等.我們在管子內部放置一個有孔的隔板，就得到兩個耦合的共振管.這個系統(tǒng)可以類比于經典力學中的兩個耦合的彈簧振子，或者量子力學中一維雙勢阱中的粒子.在這類系統(tǒng)中存在兩個接近的共振頻率(經典力學)或能級(量子力學)，而隨著系統(tǒng)參數(比如隔板位置、彈簧勁度系數或中間位壘位置)的改變，共振頻率或能級一般會出現(xiàn)回避交叉的現(xiàn)象[1].本文介紹了利用耦合共振管對這一有趣現(xiàn)象的實驗研究.

共振管實驗的關鍵是共振頻率的測量.在通常的實驗中，學生普遍根據聽到的聲音(或麥克風采集到的信號)的強度達到極大值來確定共振頻率，但是由于人耳的分辨率有限，而且接收信號與人耳或麥克風的位置有關，加之麥克風也會對管內聲場有所影響，這種方法會影響共振頻率測量的準確性.本文采用直接探測揚聲器聲功率的方法來確定共振頻率，具有簡單易行且測量準確的優(yōu)點.

1　簡化模型

根據(不含時)波動方程之間的相似性，管的共振頻率與一維雙勢阱中粒子的能級之可以建立嚴格的對應關系[2]，這里我們用一個簡化的模型對此進行說明.

圖1　耦合彈簧振子模型示意圖

(1)

(2)

2　裝置與方法

本實驗采用的共振管是長為1 m、內徑為79 mm的有機玻璃管.在管的一端放置一個揚聲器，并將另一端封閉起來.管子中間放入一個有孔的隔板，將管子分成兩個共振腔.改變隔板的位置，可以改變兩個共振腔的長度，從而使共振頻率有所改變.我們選用不同開孔半徑的隔板來改變兩個共振腔的耦合強度(開孔半徑越大，耦合強度越大).具體地，本文采用的隔板開孔半徑為r1=0.5R、r2=0.25R、r3=0.125R(R為共振管內徑).同時，隔板的邊緣嵌入了一塊強磁鐵，這樣就可以在管外用磁鐵吸引，改變隔板的位置.

為了測量揚聲器的功率，將揚聲器與一個已知阻值的電阻串聯(lián)，接入信號發(fā)生器(RIGOL DG1022)的輸出端.信號發(fā)生器的頻率可以通過VISA由LABVIEW程序控制.用數據采集卡(USB6009)采集揚聲器兩端的電壓與電阻兩端的電壓，得到揚聲器兩端的電壓信號和流過它的電流信號.整個實驗裝置如圖2所示.

圖2　實驗裝置圖

測出電壓與電流信號的有效值以及它們的相位差(經過采樣順序修正)，根據能量守恒，聲功率可以由下式計算：

P聲=P總-P熱=UIcosφ-I2R

(3)

其中U、I分別為電壓和電流的信號的有效值，φ為它們的相位差，R為揚聲器線圈的直流電阻.揚聲器的聲功率反映了管內聲場的強度，我們在一定范圍內控制掃描信號的源輸出頻率，測得每個頻率對應的聲功率，找到聲功率的峰值所對應的頻率，即可確定共振頻率.

3　結果與分析

取r1=0.5R的隔板，使它與揚聲器的距離在42 cm與58 cm之間變化，在每個位置上測量共振曲線，結果見圖3.

圖3　隔板不同位置處的共振曲線

可以看出，隨著隔板逐漸向中間靠近(兩管長逐漸相等)，兩個共振頻率逐漸靠近，但不會重合，而是在管長近似相等的地方發(fā)生“排斥”，然后逐漸遠離.從圖3中讀出共振頻率，結果見圖4，從中可以更清楚地看出共振頻率排斥現(xiàn)象.

圖4　隔板不同位置對應的共振頻率r1=0.5R

進一步觀察，可以發(fā)現(xiàn)在每條共振曲線上，兩個共振峰的高度一般有明顯的不同：峰值較大的對應主要發(fā)生在前管(距揚聲器較近)的共振，峰值較低的對應主要發(fā)生在后管(距揚聲器距離較遠)的共振.所以，雖然共振頻率發(fā)生了排斥，共振模式卻發(fā)生了“隔空穿越”.

對于另外兩個孔徑的隔板也有類似的現(xiàn)象，只不過孔徑越小，兩個共振頻率能夠達到的最近距離越小(排斥作用越弱)，同時共振曲線上兩個模式對應的共振峰的高度差越顯著.

圖5　隔板不同位置對應的共振頻率(r2=0.25R)

圖6　隔板不同位置對應的共振頻率(r3=0.125R)

為了與理論比較，我們計算了簡化模型的頻率特性.在系數矩陣A中代入k和m對l的依賴關系，可得

(4)

其中，l1和l2為兩個共振腔的長度(l1+l2等于總管長).我們假設耦合系數在參數變化范圍內保持不變，并乘以適當的標度系數使計算的共振頻率與實驗數據在數量級上相當，結果見圖7，可以看出，理論模型與實測結果在定性上完全相同.事實上，這種特征值回避交叉的行為具有普遍性，與模型的細節(jié)無關[2].

圖7　隔板不同位置對應的共振頻率(數值模擬)

4　總結

通過對傳統(tǒng)聲學共振管進行簡單的改造，并利用LABVIEW控制信號發(fā)生器和測量揚聲器的聲功率，我們搭建了耦合共振管頻率特性自動測量系統(tǒng).利用這個系統(tǒng)在實驗上演示了耦合系統(tǒng)的共振頻率排斥現(xiàn)象.在數學上，這個現(xiàn)象與量子力學中的能級回避交叉有完全相同的解釋.這種經典振動系統(tǒng)與量子體系的類比，為我們理解量子力學現(xiàn)象提供了有益的圖像.

[1]Cohen-Tannaoudji, Claude, et al. Quantum Mechanics (Vol. 1)[M]. Germany: Wiley-VCH,1992:409.

[2]Hilbert S, Batelaan H. Acoustic analog to quantum mechanical level splitting[J]. American Journal of Physics, 2007, 75(11):1003-1008.

Study of avoided crossing in coupled acoustic resonant tube

SUN Yue-xiang, LI Yuan, BAI Zai-qiao

(Department of Physics, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

In this paper, we apply acoustical power method to measure the frequency characteristics of the couple acoustic resonant tube under different coupling strengths. Our experiments show that the phenomenon of avoided crossing in coupled acoustic resonant tube is more obvious as the coupling strength increases. The mathematical similarity between acoustic systems and quantum mechanical is also shown.

coupled acoustic resonant tube; acoustical power; avoided crossing

2015-05-08；

2015-09-17

孫月香(1992—)、女，山西太原人，北京師范大學物理系2012級本科生．

大學生園地

O 321

A

1000- 0712(2016)02- 0048- 04