徐世民，徐興磊，蔣繼建

(菏澤學院 物理與電子工程系，山東 菏澤　274015)

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基于反正規(guī)序技術的Weyl對應規(guī)則

徐世民，徐興磊，蔣繼建

(菏澤學院 物理與電子工程系，山東 菏澤274015)

利用微分-積分技巧和算符微商方法研究Wigner算符和Weyl對應規(guī)則，給出了Wigner算符的正規(guī)序形式，得到了一些特殊函數(shù)的新的微分形式.更有意義的是克服了積分發(fā)散的困難，給出了Wigner算符和Weyl對應規(guī)則的反正規(guī)序微分型表示式. 最后給出幾個計算實例.

有序算符；Wigner算符；算符微商；積分發(fā)散

(1)

式中

(2)

(3)

把式(3)代入式(2)，于是有

(4)

注意，在正規(guī)序符號∶∶內(nèi)玻色算符是可對易的，也就是說在∶∶內(nèi)玻色算符可視為普通的數(shù)，可按牛頓-萊布尼茲積分法則直接實現(xiàn)積分，故有

(5)

這就是Wigner算符的正規(guī)序形式.在上面的計算中，我們利用了積分公式

(6)

把式(5)或式(6)代入式(1)，得到

(7)

或

(8)

這就是正規(guī)序形式的Weyl對應規(guī)則. 式中d2α≡dαrdαi，αr和αi分別是α的實部和虛部，并且有dqdp=2d2α. 于是，對于給定的經(jīng)典函數(shù)h(q,p)或h(α,α*)，就可以在式(7)或式(8)中完成牛頓-萊布尼茲積分得到其量子對應，需要強調(diào)的是此結果是正規(guī)序的.若要脫掉正規(guī)序符號∶∶，必須先把其內(nèi)算符排列成正規(guī)序形式. 例如經(jīng)典函數(shù)q2p2的Weyl量子對應為

(9)

進一步，還可以把上式改寫成

在上面的計算中已經(jīng)使用了積分公式:

條件是Re(α)>0.

(10)

把式(10)代入式(2)，得到

(11)

在教學實踐和教學研究工作中，我們對上述積分發(fā)散的數(shù)學困難進行了廣泛探討和深入研究，發(fā)現(xiàn)可以通過充分使用微分-積分技巧克服積分發(fā)散這一困難. 換言之，反正規(guī)序技術同樣適用于研究Weyl對應規(guī)則和Wigner算符. 本文將使用微分-積分技巧和算符微商方法研究Wigner算符和Weyl對應規(guī)則，得到一些特殊函數(shù)的新的微分形式和Wigner算符的反正規(guī)序表示式，最后給出幾個計算實例.

1　Wigner算符的正規(guī)序微分形式及幾個特殊函數(shù)的新的微分形式

依據(jù)一個算符函數(shù)對另一個算符的微商定義[5]

(12)

我們有

所以可以把式(4)改寫成

(13)

或表示成

(14)

這就是Wigner算符的正規(guī)序微分形式，一種嶄新的表示式. 把式(13)或式(14)代入式(1)，得到

(15)

或

(16)

如果把式(5)、式(6)跟式(13)、式(14)進行比較，容易得到

(17)

(18)

以及它們的逆變換

(19)

δ(α-α′)δ(α*-α′*)

(20)

式(17)—式(20)表明，德爾塔函數(shù)δ(x-x′)與純高斯函數(shù)exp[-(x-x′)2]通過微分算子exp[±(1/4)?2/?x2]相聯(lián)系，這在特殊函數(shù)論中是很重要的.

我們還發(fā)現(xiàn)，微分算子exp[-(1/4)?2/?x2]和exp[-?2/?t?s]能夠通過作用于單項式分別生成厄米多項式和雙變量厄米多項式[6]，即

(21)

以及它們的逆變換

(22)

這些結論表明，正規(guī)序技術和算符微分法不僅能夠有效地解決函數(shù)算符的積分問題，而且可以幫助人們發(fā)現(xiàn)一些特殊函數(shù)的微分形式.

2　Wigner算符與Weyl對應規(guī)則的反正規(guī)序微分形式

既然式(11)不能直接積分，我們就另圖良策. 使用微分-積分技巧和算符微商方法改寫之，即

(23)

或表示成

(24)

這就是Wigner算符的反正規(guī)序微分形式，一種嶄新的表示式. 把式(23)或式(24)代入式(1)，得到

(25)

或

(26)

(27)

3　Weyl對應規(guī)則之逆規(guī)則

為了得到Weyl對應規(guī)則之逆規(guī)則，我們進一步利用Glauber相干態(tài)的超完備性

(28)

改寫式(14)，即

(29)

α′)(α*-α′*)]=

(30)

(31)

于是，用2πΔ(α′,α′*)乘以式(1)并求跡，得到

(32)

這就是Weyl對應規(guī)則之逆規(guī)則，它給出了求給定算符的Weyl經(jīng)典對應之方法.

4　幾個例子

作為第一個例子，我們求由相干態(tài)|z〉構成的ket-bra算符|z〉〈z|之Weyl經(jīng)典對應與反正規(guī)序形式.利用式(29)和(32)，有

|z〉〈z| → 2πtr[Δ(α,α*)|z〉〈z|]=

2π〈z|Δ(α,α*)|z〉=

2exp[-2(α-z)(α*-z*)]

(33)

(34)

計算中我們再次利用了式(20).特別地，取z=0，則有

(35)

這就是真空投影算符的反正規(guī)序形式.

作為第二個例子，我們求坐標本征態(tài)投影算符|q〉〈q|的反正規(guī)序形式，過程如下：|q′〉〈q′| → 2πtr[Δ(q,p)|q′〉〈q′|]=

2π〈q′|Δ(q,p)|q′〉=

于是有

(36)

(37)

在上面計算的最后一步中，我們利用了式(21)，式中Hn(ζ)是厄米多項式.

總之，我們利用微分-積分技巧和算符微商方法研究了Wigner算符和Weyl對應規(guī)則，給出了Wigner算符的正規(guī)序形式，得到了一些特殊函數(shù)的新的微分形式. 更有意義的是克服了積分發(fā)散的困難，給出了Wigner算符和Weyl對應規(guī)則的反正規(guī)序微分型表示式. 最后給出幾個計算實例.

[1]Weyl H. The Theory of Group and Quantum Mechanics[M]. New York: Dover publisher,1931: 272.

[2]徐世民, 張運海, 徐興磊. 經(jīng)典函數(shù)與量子算符的Weyl對應[J]. 大學物理, 2012, 31(4): 1-5.

[3]范洪義. 量子力學表象與變換輪[M]. 上海: 上?？茖W技術出版社, 1997: 150-151.

[4]Fan H Y. Operator Ordering in Quantum Optics Theory and The development of Dirac’s Symbolic Method[J]. J Opt B: Quantum Semicl Opt, 2003, 5: R147.

[5]徐世民, 徐興磊, 李洪奇，等. 復合函數(shù)算符的微商法則及其在量子物理中的應用[J].物理學報, 2014, 63(24): 240302.

[6]Eldelyi A. Higher Transcendental Functions(Bateman Manuscript Project)[M]. New York: McGraw-Hill, 1953:1.

Weyl prescription based on the anti-normal ordering technology

XU Shi-min, XU Xing-lei, JIANG Ji-jian

(Department of Physics and Electronic Engineering,Heze University, Heze, Shandong 274015, China)

Wigner operator and Weyl prescription are studied by virtue of the skill of differential-integral and the method of operators’ differential quotient. The differential formula of Wigner operator in normal ordering is given, and new differential formulae of some special functions are obtained. It is more important that the integral divergent difficulty is smoothed away and the differential formula of Wigner operator and the Weyl prescription in anti-normal ordering are derived. Several examples are calculated.

ordered operator；Wigner operator；differential quotient of operators；integral divergence

2015-05-29；

2015-09-16

徐世民(1962—)，山東定陶人，菏澤學院物理與電子工程系教授，主要從事量子力學教學與研究工作.

教學研究

O 413.1

A

1000- 0712(2016)02- 0005- 06