徐世民,徐興磊,蔣繼建
(菏澤學(xué)院 物理與電子工程系,山東 菏澤 274015)
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基于反正規(guī)序技術(shù)的Weyl對應(yīng)規(guī)則
徐世民,徐興磊,蔣繼建
(菏澤學(xué)院 物理與電子工程系,山東 菏澤274015)
利用微分-積分技巧和算符微商方法研究Wigner算符和Weyl對應(yīng)規(guī)則,給出了Wigner算符的正規(guī)序形式,得到了一些特殊函數(shù)的新的微分形式.更有意義的是克服了積分發(fā)散的困難,給出了Wigner算符和Weyl對應(yīng)規(guī)則的反正規(guī)序微分型表示式. 最后給出幾個(gè)計(jì)算實(shí)例.
有序算符;Wigner算符;算符微商;積分發(fā)散
(1)
式中
(2)
(3)
把式(3)代入式(2),于是有
(4)
注意,在正規(guī)序符號(hào)∶∶內(nèi)玻色算符是可對易的,也就是說在∶∶內(nèi)玻色算符可視為普通的數(shù),可按牛頓-萊布尼茲積分法則直接實(shí)現(xiàn)積分,故有
(5)
這就是Wigner算符的正規(guī)序形式.在上面的計(jì)算中,我們利用了積分公式
(6)
把式(5)或式(6)代入式(1),得到
(7)
或
(8)
這就是正規(guī)序形式的Weyl對應(yīng)規(guī)則. 式中d2α≡dαrdαi,αr和αi分別是α的實(shí)部和虛部,并且有dqdp=2d2α. 于是,對于給定的經(jīng)典函數(shù)h(q,p)或h(α,α*),就可以在式(7)或式(8)中完成牛頓-萊布尼茲積分得到其量子對應(yīng),需要強(qiáng)調(diào)的是此結(jié)果是正規(guī)序的.若要脫掉正規(guī)序符號(hào)∶∶,必須先把其內(nèi)算符排列成正規(guī)序形式. 例如經(jīng)典函數(shù)q2p2的Weyl量子對應(yīng)為
(9)
進(jìn)一步,還可以把上式改寫成
在上面的計(jì)算中已經(jīng)使用了積分公式:
條件是Re(α)>0.
(10)
把式(10)代入式(2),得到
(11)
在教學(xué)實(shí)踐和教學(xué)研究工作中,我們對上述積分發(fā)散的數(shù)學(xué)困難進(jìn)行了廣泛探討和深入研究,發(fā)現(xiàn)可以通過充分使用微分-積分技巧克服積分發(fā)散這一困難. 換言之,反正規(guī)序技術(shù)同樣適用于研究Weyl對應(yīng)規(guī)則和Wigner算符. 本文將使用微分-積分技巧和算符微商方法研究Wigner算符和Weyl對應(yīng)規(guī)則,得到一些特殊函數(shù)的新的微分形式和Wigner算符的反正規(guī)序表示式,最后給出幾個(gè)計(jì)算實(shí)例.
依據(jù)一個(gè)算符函數(shù)對另一個(gè)算符的微商定義[5]
(12)
我們有
所以可以把式(4)改寫成
(13)
或表示成
(14)
這就是Wigner算符的正規(guī)序微分形式,一種嶄新的表示式. 把式(13)或式(14)代入式(1),得到
(15)
或
(16)
如果把式(5)、式(6)跟式(13)、式(14)進(jìn)行比較,容易得到
(17)
(18)
以及它們的逆變換
(19)
δ(α-α′)δ(α*-α′*)
(20)
式(17)—式(20)表明,德爾塔函數(shù)δ(x-x′)與純高斯函數(shù)exp[-(x-x′)2]通過微分算子exp[±(1/4)?2/?x2]相聯(lián)系,這在特殊函數(shù)論中是很重要的.
我們還發(fā)現(xiàn),微分算子exp[-(1/4)?2/?x2]和exp[-?2/?t?s]能夠通過作用于單項(xiàng)式分別生成厄米多項(xiàng)式和雙變量厄米多項(xiàng)式[6],即
(21)
以及它們的逆變換
(22)
這些結(jié)論表明,正規(guī)序技術(shù)和算符微分法不僅能夠有效地解決函數(shù)算符的積分問題,而且可以幫助人們發(fā)現(xiàn)一些特殊函數(shù)的微分形式.
既然式(11)不能直接積分,我們就另圖良策. 使用微分-積分技巧和算符微商方法改寫之,即
(23)
或表示成
(24)
這就是Wigner算符的反正規(guī)序微分形式,一種嶄新的表示式. 把式(23)或式(24)代入式(1),得到
(25)
或
(26)
(27)
為了得到Weyl對應(yīng)規(guī)則之逆規(guī)則,我們進(jìn)一步利用Glauber相干態(tài)的超完備性
(28)
改寫式(14),即
(29)
α′)(α*-α′*)]=
(30)
(31)
于是,用2πΔ(α′,α′*)乘以式(1)并求跡,得到
(32)
這就是Weyl對應(yīng)規(guī)則之逆規(guī)則,它給出了求給定算符的Weyl經(jīng)典對應(yīng)之方法.
作為第一個(gè)例子,我們求由相干態(tài)|z〉構(gòu)成的ket-bra算符|z〉〈z|之Weyl經(jīng)典對應(yīng)與反正規(guī)序形式.利用式(29)和(32),有
|z〉〈z| → 2πtr[Δ(α,α*)|z〉〈z|]=
2π〈z|Δ(α,α*)|z〉=
2exp[-2(α-z)(α*-z*)]
(33)
(34)
計(jì)算中我們再次利用了式(20).特別地,取z=0,則有
(35)
這就是真空投影算符的反正規(guī)序形式.
作為第二個(gè)例子,我們求坐標(biāo)本征態(tài)投影算符|q〉〈q|的反正規(guī)序形式,過程如下:|q′〉〈q′| → 2πtr[Δ(q,p)|q′〉〈q′|]=
2π〈q′|Δ(q,p)|q′〉=
于是有
(36)
(37)
在上面計(jì)算的最后一步中,我們利用了式(21),式中Hn(ζ)是厄米多項(xiàng)式.
總之,我們利用微分-積分技巧和算符微商方法研究了Wigner算符和Weyl對應(yīng)規(guī)則,給出了Wigner算符的正規(guī)序形式,得到了一些特殊函數(shù)的新的微分形式. 更有意義的是克服了積分發(fā)散的困難,給出了Wigner算符和Weyl對應(yīng)規(guī)則的反正規(guī)序微分型表示式. 最后給出幾個(gè)計(jì)算實(shí)例.
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[6]Eldelyi A. Higher Transcendental Functions(Bateman Manuscript Project)[M]. New York: McGraw-Hill, 1953:1.
Weyl prescription based on the anti-normal ordering technology
XU Shi-min, XU Xing-lei, JIANG Ji-jian
(Department of Physics and Electronic Engineering,Heze University, Heze, Shandong 274015, China)
Wigner operator and Weyl prescription are studied by virtue of the skill of differential-integral and the method of operators’ differential quotient. The differential formula of Wigner operator in normal ordering is given, and new differential formulae of some special functions are obtained. It is more important that the integral divergent difficulty is smoothed away and the differential formula of Wigner operator and the Weyl prescription in anti-normal ordering are derived. Several examples are calculated.
ordered operator;Wigner operator;differential quotient of operators;integral divergence
2015-05-29;
2015-09-16
徐世民(1962—),山東定陶人,菏澤學(xué)院物理與電子工程系教授,主要從事量子力學(xué)教學(xué)與研究工作.
教學(xué)研究
O 413.1
A
1000- 0712(2016)02- 0005- 06