王鈺，王曉鳴，程杰，于紀(jì)言

（南京理工大學(xué)智能彈藥技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京210094）

基于等效力方法的雙旋彈側(cè)向控制力落點(diǎn)響應(yīng)分析

王鈺，王曉鳴，程杰，于紀(jì)言

（南京理工大學(xué)智能彈藥技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，江蘇南京210094）

為研究雙旋式彈道修正彈在側(cè)向控制力作用下彈丸的落點(diǎn)響應(yīng)規(guī)律，實(shí)現(xiàn)控制力作用下落點(diǎn)修正量的簡(jiǎn)便計(jì)算，提出等效控制力方法。將側(cè)向控制力對(duì)彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的影響分解為力的直接作用和力與力矩引起的角運(yùn)動(dòng)變化產(chǎn)生的間接影響?；陔p旋彈的7自由度彈道模型，推導(dǎo)出受控條件下彈丸平均攻角的變化量，從而求解等效控制力，并依此推導(dǎo)出控制力引起的落點(diǎn)位置變化量的理論表達(dá)式。理論分析表明，其余參數(shù)相同時(shí)，修正距離與控制力作用點(diǎn)到質(zhì)心的距離幾乎呈正比。仿真和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，理論公式計(jì)算的誤差在10%以?xún)?nèi)。

兵器科學(xué)與技術(shù)；雙旋彈；側(cè)向控制力；落點(diǎn)修正量；提前相位角

0 引言

無(wú)控彈藥的靈巧化和制導(dǎo)化是當(dāng)今彈藥技術(shù)發(fā)展的趨勢(shì)和主流方向之一，彈道修正彈作為其中一員，越來(lái)越得到國(guó)內(nèi)外科學(xué)家的重視。彈道修正彈采用彈道修正技術(shù)，完成彈丸的簡(jiǎn)易彈道修正功能，使其能夠在預(yù)定目標(biāo)起爆，具有精度較高、低成本、高作戰(zhàn)效能的特點(diǎn)。在施加了修正力之后，彈丸姿態(tài)和落點(diǎn)的變化情況，對(duì)于修正彈丸修正能力和控制方法的研究有至關(guān)重要的影響。

1995年Grosso［1］在美國(guó)專(zhuān)利中提出了靈巧彈藥的隔轉(zhuǎn)空氣鴨舵控制概念，提到對(duì)于旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈丸向左的側(cè)向力會(huì)帶來(lái)彈丸平均攻角向右偏的效果。Corriveau等［2］以PRODAS軟件為工具對(duì)105mm旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈丸進(jìn)行了大量的6自由度彈道模型仿真發(fā)現(xiàn)，左舷的的側(cè)向力使得彈丸落點(diǎn)右偏，右舷的側(cè)向力使得落點(diǎn)左偏，這種修正效果與尾翼穩(wěn)定彈丸相反。文獻(xiàn)［3-5］則從線(xiàn)性化理論出發(fā)簡(jiǎn)化6自由度剛體修正彈道，明確給出了角運(yùn)動(dòng)響應(yīng)幅值與相位偏差的分析公式，仿真結(jié)果也顯示側(cè)向力修正響應(yīng)結(jié)果與力作用點(diǎn)和質(zhì)心、壓心位置密切相關(guān)，并且給出了旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈丸角運(yùn)動(dòng)對(duì)側(cè)向力響應(yīng)存在180°偏差的物理解釋。Fresconi等［6］以完整7自由度模型進(jìn)行了大量的數(shù)值仿真，給出了修正力幅值、力作用點(diǎn)、滾轉(zhuǎn)控制對(duì)彈丸落點(diǎn)攻角變化的影響。國(guó)內(nèi)，常思江等［7］對(duì)鴨式布局的雙旋彈丸進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模，并通過(guò)仿真分析對(duì)控制力和力矩作用下的雙旋彈丸攻角響應(yīng)進(jìn)行了分析。許諾等［8］經(jīng)過(guò)模型簡(jiǎn)化，得到雙旋彈丸角運(yùn)動(dòng)方程，并得到當(dāng)鴨舵轉(zhuǎn)角固定時(shí)，彈體可以獲得與鴨舵安裝角近似呈正比的彈道修正能力。張蛟龍［9］通過(guò)仿真研究了不同起控時(shí)間的修正能力。朱大林［10］采用彈丸線(xiàn)性化理論和Murphy的復(fù)變量方法建立彈丸復(fù)攻角運(yùn)動(dòng)方程，并進(jìn)行了穩(wěn)定性分析。Gao等［11］對(duì)于側(cè)向力對(duì)旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈丸的修正效果也進(jìn)行了有效地建模和分析。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)控制力作用下彈丸的瞬態(tài)響應(yīng)均開(kāi)展了定性或定量的建模和分析。但對(duì)控制力作用下彈丸落點(diǎn)響應(yīng)的定量分析還沒(méi)有得到足夠的重視，相關(guān)研究較少，難以支撐雙旋彈丸的控制策略研究。為解決該問(wèn)題，本文采用基于等效力分析的方法，推導(dǎo)了控制力作用下彈丸的落點(diǎn)響應(yīng)方程，在考慮不同彈丸參數(shù)條件下，分析了控制力作用下的彈丸位置變化和落點(diǎn)響應(yīng)情況。

1 控制力引起的角運(yùn)動(dòng)

對(duì)于雙旋彈丸，由于控制力作用點(diǎn)不在彈丸質(zhì)心，在控制階段，控制力對(duì)彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生影響，其相對(duì)于質(zhì)心的力矩也對(duì)彈丸的角運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生影響。為分析控制力對(duì)彈丸角運(yùn)動(dòng)的影響，首先建立雙旋彈丸的7自由度彈道模型，然后推導(dǎo)出側(cè)向控制力作用下的彈丸角運(yùn)動(dòng)方程。

1.1彈道模型建立

本文研究的雙旋彈丸模型如圖1所示，其中pA、pF分別表示彈丸尾部和頭部的滾轉(zhuǎn)角速度，φA、φF分別表示彈丸尾部和頭部的滾轉(zhuǎn)角，lCG表示側(cè)向控制力作用點(diǎn)與全彈質(zhì)心在彈軸方向上的距離。

圖1　雙旋模型Fig.1 Dual-spin model of projectile

在小攻角范圍內(nèi)，阻力受鴨舵相位角的影響可忽略不計(jì)［12］，故可將鴨舵引起的誘導(dǎo)阻力作為彈體固定的氣動(dòng)力，從而忽略鴨舵所受控制力在彈軸方向的分量，則彈丸側(cè)向控制力在彈軸系下的分量可記為Fc=［0FcηFcζ］.文中使用的基準(zhǔn)、彈軸和彈道坐標(biāo)系定義見(jiàn)參考文獻(xiàn)［13］。

在彈道坐標(biāo)系下建立彈道方程的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，在彈軸坐標(biāo)系下建立動(dòng)力學(xué)模型，則有控雙旋彈丸的7自由度模型，如（1）式～（4）式所示:

式中:m為全彈質(zhì)量；v表示彈丸速度；θv、ψv表示速度高低角、速度方位角；x、y、z表示基準(zhǔn)坐標(biāo)系下的彈丸位置；θa、ψa表示彈軸高低角、彈軸方位角；Fxv、Fyv、Fzv表示彈道坐標(biāo)系Ovxvyvzv下彈體總體所受合力在xv、yv及zv軸上的投影，包括氣動(dòng)力和重力的合力F0及舵翼受到的控制力Fc兩部分；MεA、MεF分別表示彈軸坐標(biāo)系下彈丸尾部和頭部所受力矩在ε軸上的投影；Mη、Mζ表示彈丸總體所受合力矩在η、ζ軸上的投影，包括總氣動(dòng)力矩M0和控制力矩Mc兩個(gè)部分，Mη=MηA+MηF，Mζ=MεA+MεF；q、r分別表示俯仰和偏航角速度；IxA、IxF和IyA、IyF分別表示彈尾和彈頭部分在x軸和y軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，且滿(mǎn)足Iy=IyA+IyF；H*=pAIxA+pFIxF.

經(jīng)過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，側(cè)向控制力在彈道系下的投影和控制力矩在彈軸系下的投影為

式中:Fcη、Fcζ、Fcxv、Fcyv、Fczv分別表示控制力在彈軸系和彈道系各坐標(biāo)軸下的分量；δv和δh分別為高低和水平攻角；Mcε表示舵翼所受ε方向上的導(dǎo)轉(zhuǎn)力矩；Mcη、Mcζ分別為η和ζ方向上的控制力矩分量。對(duì)于雙旋彈丸，舵翼所受總的側(cè)向控制力記為f，控制相位角為φF，則有Fc=Fcη+iFcζ=feiφF.定義在彈尾向彈頭視圖中，控制力向上時(shí)控制相位角φF= 0°，向右時(shí)φF=90°，如圖2所示。

圖2　控制相位角定義（彈尾向彈頭視圖）Fig.2 Definition of control force direction（from projectile tail to head）

1.2控制力作用下的攻角方程

對(duì)于雙旋彈道修正彈，假設(shè)彈丸在控制階段與無(wú)控階段均能保持旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定，則側(cè)向控制力對(duì)彈丸角運(yùn)動(dòng)的影響可作為擾動(dòng)分析。引入只考慮阻力和重力的理想彈道模型，此時(shí)彈道傾角表示為θi.基于上述假設(shè)，可將理想彈道中未考慮的其他因素視作擾動(dòng)，可得7自由度彈道模型中速度高低角θv= θi+ψ1，彈軸高低角θa=θi+φ1，ψ1為有控彈道速度高低角和理想彈道傾角的差值，φ1為有控彈道彈軸高低角和理想彈道傾角的差值。

與理想彈道模型不同，高速旋轉(zhuǎn)彈丸在實(shí)際飛行過(guò)程中彈軸與速度軸不重合，相對(duì)于理想彈道模型，使用復(fù)擺動(dòng)角Φ=φ1+iψa表示的彈軸的空間方位，復(fù)偏角Ψ=ψ1+iψv表示相速度方向［13］。攻角定義為彈軸與速度軸的夾角，故有Δ=Φ-Ψ= δv+iδh.綜合上述分析與假設(shè)，則φ1、ψa、ψ1、ψv、δv、δh均為小量。

1.2.1復(fù)攻角方程

復(fù)偏角可表示為:Ψ=ψ1+iψv，i為虛數(shù)符號(hào)。將理想彈道模型代入到（1）式中，并略去高階小量，得復(fù)偏角方程:

復(fù)擺動(dòng)角可表示為:Φ=φ1+iψa.將理想彈道模型代入（3）式和（4）式中，經(jīng)簡(jiǎn)化可得復(fù)擺動(dòng)方程:

式中:kzz=ClpρSd2/（2Iy），Clp表示滾轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)導(dǎo)數(shù)；kz=CMaρSd/（2Iy），CMa為翻轉(zhuǎn)力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)；ky=CmpaρSd2/（2Iy），Cmpa為馬格努斯力矩系數(shù)二次導(dǎo)數(shù)。

式中:H=by-bx-gsinθv-2+kzz；M=kz；P=（pAIxA+

pFIxF）×（Iyv）-1；T=by-Iyky（pAIxA+pFIxF）-1.

1.2.2控制力（矩）引起的攻角變化量

彈丸無(wú)控飛行階段，彈丸舵翼自由旋轉(zhuǎn)，舵翼所受的側(cè)向力周期性地施加在彈丸頭部。由于彈丸無(wú)控飛行時(shí)間遠(yuǎn)大于舵翼轉(zhuǎn)動(dòng)的周期，可認(rèn)為舵翼提供的側(cè)向力作用在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中相互抵消，未對(duì)彈丸的平均攻角產(chǎn)生明顯地影響。有控制飛行階段，控制相位角固定，對(duì)彈丸施加相對(duì)固定的側(cè)向力。此時(shí)攻角方程（見(jiàn)（9）式）右側(cè)控制力相關(guān)項(xiàng)會(huì)直接影響攻角方程的解，故而對(duì)彈丸平均攻角產(chǎn)生明顯的影響。

由于彈尾部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量遠(yuǎn)大于彈頭部分，彈尾部分轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)大于彈頭部分轉(zhuǎn)速，又由于本文考慮的控制力（矩）不影響彈丸的穩(wěn)定性，且攻角為小量，故控制力（矩）對(duì)于每一小段彈道的彈道諸元的影響均較小，可假設(shè)有控與無(wú)控狀態(tài)下的H、M、P、T不變。因此，無(wú)控與有控情況下的攻角方程近似，僅右側(cè)的控制力相關(guān)項(xiàng)不同，故控制力和力矩引起的平均攻角變化量可近似為只保留控制力（矩）相關(guān)項(xiàng)的彈丸攻角方程特解。

用系數(shù)凍結(jié)法，研究任意小段彈道，可求得由控制力（矩）產(chǎn)生的平均攻角為

由于公式比較復(fù)雜，不易分析，而且控制力的導(dǎo)數(shù)在實(shí)際使用中難以獲得，故進(jìn)行簡(jiǎn)化。在全彈道過(guò)程中v與其他參數(shù)相比很大，可忽略其高階分母項(xiàng)；與Iykzz等項(xiàng)相比和項(xiàng)很小，可忽略；與M相比，PT值很小，也可忽略。經(jīng)簡(jiǎn)化的平均攻角為

由（11）式可知:控制力對(duì)攻角的影響在方向上是耦合的，即左右方向的側(cè)向控制力，除了使得方向攻角發(fā)生變化外，對(duì)高低攻角也有影響；高低方向同理。對(duì)于雙旋彈丸，側(cè)向控制力由彈頭部的舵翼提供，則lCG＞Iykzzm-1，由（11）式可知，在控制力彈軸平面，攻角的變化方向與控制力方向相反。

對(duì)105mm彈丸進(jìn)行仿真計(jì)算，設(shè)定控制力為10N，飛行10s后開(kāi)始控制，彈丸的相關(guān)參數(shù)如表1所示，詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)［14］?？刂屏Ψ较蚍謩e為0°、90°、180°、270°時(shí)彈丸飛行過(guò)程中的復(fù)攻角變化情況如圖3所示。由圖3可知，起控后彈丸的攻角突然產(chǎn)生振蕩。隨著飛行過(guò)程中控制力的持續(xù)作用，彈丸攻角逐漸收斂，控制力方向不同，收斂值也不相同。向上（下）施力時(shí)，主要體現(xiàn)為高低攻角減小（增大）；向右（左）施力時(shí)，水平攻角減?。ㄔ龃螅?，與理論推導(dǎo)相符。

表1　105mm彈丸參數(shù)表Tab.1 Parameters of 105 mm projectile

圖3　105mm彈丸不同方向控制力作用下復(fù)攻角圖（lCG=0.3m）Fig.3 Complex angles of attack of a 105 mm projectile with control force in different directions（lCG=0.3m）

為進(jìn)一步考查維持有控飛行、從無(wú)控到有控和從有控到無(wú)控的狀態(tài)切換過(guò)程中，不同控制力方向作用下角運(yùn)動(dòng)變化情況下理論計(jì)算值與仿真值的貼合程度。設(shè)定飛行起控時(shí)間為10s，結(jié)束控制時(shí)間為40s，對(duì)105mm彈丸進(jìn)行仿真計(jì)算，考察無(wú)控彈道與有控彈道攻角的差值，并與根據(jù)（11）式計(jì)算出的理論值比較。分別比較0°和90°控制相位角時(shí)仿真和理論計(jì)算的攻角變化量，如圖4和圖5所示。

圖4　0°控制時(shí)與無(wú)控相比高低攻角變化量Fig.4 Comparison of theoretical and simulated angles of attack caused by control force at 0°

圖5　90°控制時(shí)與無(wú)控相比水平攻角變化量Fig.5 Comparison of theoretical and simulated angles of sideslip caused by control force at 90°

由圖5可知，仿真結(jié)果中起控和結(jié)束控制時(shí)，攻角的變化量均有振蕩過(guò)程，然后逐漸收斂；理論計(jì)算的結(jié)果則與仿真獲得的攻角變化量的均值很接近，能夠表現(xiàn)角運(yùn)動(dòng)的平均變化情況。對(duì)于不同角度控制情況下，（11）式對(duì)于攻角變化量均值的計(jì)算均能較好的貼合仿真值。

2 等效控制力

由第1節(jié)的推導(dǎo)可知，當(dāng)高旋彈丸受到側(cè)向控制力Fc作用時(shí)，平均攻角的變化量為Δ*.根據(jù)攻角的經(jīng)典理論可知，當(dāng)彈丸角運(yùn)動(dòng)形成攻角時(shí)立刻產(chǎn)生在攻角平面內(nèi)與速度垂直的升力和垂直于攻角平面的馬格努斯力［13］。故Δ*對(duì)彈丸產(chǎn)生了附加的升力和馬格努斯力，其綜合效應(yīng)即體現(xiàn)為控制力對(duì)角運(yùn)動(dòng)影響，從而產(chǎn)生的附加控制力Fa.這種附加控制力與控制力本身的合力即為等效控制力，控制力對(duì)彈丸質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的影響即為等效控制力的作用效果。

2.1角運(yùn)動(dòng)引起的附加控制力

由（11）式計(jì)算出的控制力產(chǎn)生的平均攻角Δ*是無(wú)控和有控彈道攻角之差的平均值。因此與無(wú)控彈丸相比，有控彈丸多了控制力和控制力所衍生出的附加力——Δ*產(chǎn)生的升力和馬格努斯力。向上的平均攻角偏差量產(chǎn)生向上的升力和向左的馬格努斯力；向右的平均攻角偏差量產(chǎn)生向右的升力和向上的馬氏力。

這種由于平均攻角變化引起的彈丸氣動(dòng)力變化量記為附加控制力，速度系下的附加控制力為

2.2角運(yùn)動(dòng)引起的附加阻力

根據(jù)上述推導(dǎo)可知，有控飛行的彈丸攻角與無(wú)控飛行時(shí)相比，有較大差距。即便彈丸仍然保持飛行穩(wěn)定，攻角不致過(guò)大，但其對(duì)阻力的影響不可忽略。為方便計(jì)算，考慮平均攻角變化量引起的阻力變化量作為附加阻力FD進(jìn)行計(jì)算，如（13）式所示。其中阻力模型依據(jù)參考文獻(xiàn)［12］建立，彈翼組合體阻力系數(shù)可表示為CxBW=CD0+CD2δ2，CD0為零升阻力系數(shù)，CD2為阻力系數(shù)對(duì)攻角的2階導(dǎo)數(shù)，δ=

2.3等效控制力

2.3.1理論推導(dǎo)

控制力對(duì)彈丸落點(diǎn)的影響主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面:1）控制力直接對(duì)彈道軌跡的影響；2）由于控制力和控制力矩對(duì)彈丸角運(yùn)動(dòng)的影響間接產(chǎn)生對(duì)彈道軌跡的影響。因此控制力對(duì)彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的影響主要源于控制力Fc（見(jiàn)（5）式）、角運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的附加控制力Fa（見(jiàn)（12）式）和附加阻力（見(jiàn)（13）式）作用的疊加，則等效控制力為

將（5）式、（12）式與（13）式代入（14）式，獲得等效控制力的具體表達(dá)式，適當(dāng)簡(jiǎn)化并投影到彈軸系上，得彈軸系下的等效控制力表達(dá)式為

由（15）式可知，當(dāng)彈丸的結(jié)構(gòu)和氣動(dòng)參數(shù)滿(mǎn)足1-lCGCLa/（dCMa）＜0時(shí)，附加控制力對(duì)彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的影響占主導(dǎo)，故而體現(xiàn)為彈丸落點(diǎn)偏向與控制力方向相反。結(jié)合翻轉(zhuǎn)力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)CMa與升力系數(shù)導(dǎo)數(shù)CLa的關(guān)系，定義參考參量:Pref=1-lCGh-1，其中h表示彈丸壓心到質(zhì)心之間的距離。當(dāng)參考參量Pref為負(fù)時(shí)（lCG＞h），施力點(diǎn)在壓心之前，彈丸落點(diǎn)的偏向與控制力方向相反；當(dāng)Pref為正時(shí)（lCG＞h），施力點(diǎn)在壓心之后，落點(diǎn)的偏向與控制力方向相同。且Pref絕對(duì)值與修正能力幾乎呈正比。對(duì)于鴨舵式的彈道修正彈而言，控制力的施力點(diǎn)往往在壓心之前，故而可以從理論上解釋此類(lèi)彈丸的控制力響應(yīng)與控制力方向相反的現(xiàn)象，也可與Costello等［3］的研究相互驗(yàn)證。

2.3.2仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證不同參考參量情況下彈丸修正量的關(guān)系，使用155mm彈丸參數(shù)（如表2所示）進(jìn)行仿真?？刂屏Υ笮≡O(shè)定為10N，改變控制力作用點(diǎn)的位置，計(jì)算不同位置對(duì)應(yīng)的參考參量和修正量，如圖6所示。修正距離表示有控彈丸與無(wú)控彈丸之間的距離，在控制力方向，當(dāng)有控彈丸落點(diǎn)向控制力方向移動(dòng)，修正距離為正，反向?yàn)樨?fù)。

表2　155mm彈丸參數(shù)Tab.2 Parameters of 155 mm projectile

由圖6可知，落點(diǎn)修正距離幾乎與參考參量呈正比，且理論值與仿真值符合得很好。當(dāng)參考參量為正時(shí)，落點(diǎn)修正距離為正；當(dāng)參考參量為負(fù)時(shí)，落點(diǎn)修正距離為負(fù)。即落點(diǎn)修正的方向與參考參量的方向相同。在相同的控制條件下，參考參量的絕對(duì)值越大，落點(diǎn)修正距離的絕對(duì)值越大。

圖6　參考參量與修正距離關(guān)系圖Fig.6 Relation between correction quantity and reference parameter

3 修正效果預(yù)測(cè)

根據(jù)牛頓定律可以方便地計(jì)算出等效控制力（由（14）式計(jì)算獲得）作用下彈丸位置的變化量，然后根據(jù)彈丸高度的變化量，計(jì)算彈丸飛行時(shí)間的變化量，從而推算出落點(diǎn)變化量。最后用理論計(jì)算在不同控制力作用下的落點(diǎn)變化量與仿真、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比。

3.1落點(diǎn)變化量

由于控制力作用，彈丸在飛行過(guò)程中偏離無(wú)控彈道，從而偏離無(wú)控落點(diǎn)?？刂屏?duì)彈丸落點(diǎn)變化的影響主要包括:1）有控飛行段，控制力和控制力矩對(duì)彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的影響；2）控制結(jié)束后的自由飛行段，由于有控飛行段對(duì)彈丸速度的影響在自由飛行段的持續(xù)，對(duì)落點(diǎn)造成的影響。

當(dāng)在彈丸飛行過(guò)程中施加控制力Fc，并維持時(shí)間tc秒，然后自由飛行tn秒，根據(jù)上述分析，有控與無(wú)控的位置變化量為

當(dāng)落點(diǎn)高度保持一致時(shí)，由于控制力對(duì)高度方向位移的影響，有控與無(wú)控飛行時(shí)間不同。彈丸有控飛行與無(wú)控飛行之間的時(shí)間差記為Δt.由于旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定式彈道修正彈中控制力對(duì)彈丸的飛行影響較小，對(duì)飛行時(shí)間的變化量也較小，故假設(shè)在Δt時(shí)間段內(nèi)，有控或無(wú)控彈丸處于勻加速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，且加速度近似。故有控彈道與無(wú)控彈道的時(shí)間差Δt可由（17）式計(jì)算獲得，其中vy和ay分別為無(wú)控彈道y方向落點(diǎn)速度和加速度。

綜合考慮控制力對(duì)位置和落地時(shí)間的影響，得控制力作用下落點(diǎn)位置的變化量（即對(duì)射程和橫偏的影響）為

3.2修正效果評(píng)估

對(duì)于固定鴨舵式雙旋彈丸而言，控制指令為控制相位角φF，故為方便控制指令的提出，使用修正量和提前相位角評(píng)估控制力對(duì)彈丸的修正效果。修正量Δ表示控制力施加一段時(shí)間之后，有控落點(diǎn)與無(wú)控落點(diǎn)之間的直線(xiàn)距離。定義落點(diǎn)的修正方向角與彈頭部控制相位角（即控制力方向）φF之間的差值為提前相位角。其中落點(diǎn)的修正方向角定義為+x方向?yàn)?°，+z方向?yàn)?0°；控制相位角φF的定義如圖2所示。根據(jù)定義，修正量Δ和提前相位角γ的表達(dá)式為

3.3仿真、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.3.1仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證上述修正效果預(yù)測(cè)方法的可行性，對(duì)105mm彈丸（參數(shù)如表1所示）進(jìn)行仿真計(jì)算，控制力施力點(diǎn)距質(zhì)心0.3m.25s起控，60s結(jié)束控制，計(jì)算不同控制相位角下的有控落點(diǎn)，與無(wú)控落點(diǎn)進(jìn)行比較獲得仿真修正效果。

實(shí)測(cè)輸入?yún)?shù)使用有控彈道仿真計(jì)算值代入，提前錄入的先驗(yàn)彈道參數(shù)使用無(wú)控彈道計(jì)算值，代入（16）式計(jì)算理論時(shí)間差Δt和理論落點(diǎn)影響量；代入為檢驗(yàn)使用無(wú)控彈道參數(shù)進(jìn)行時(shí)間差Δt的合理性，分別使用有控參數(shù)和無(wú)控參數(shù)對(duì)Δt進(jìn)行理論計(jì)算。控制力大小設(shè)定為恒定的10N時(shí)，對(duì)比理論與仿真獲得的時(shí)間差如表3所示。為驗(yàn)證不同攻角下落點(diǎn)預(yù)測(cè)的精度，分別比較不同大?。?0N和20N）、方向的控制力作用下的理論與仿真計(jì)算的落點(diǎn)偏差量如表4所示。

表3　理論與仿真時(shí)間差Δt比較表Tab.3 Comparison of theoretical and numerical Δt

由表3數(shù)據(jù)可知，使用無(wú)控?cái)?shù)據(jù)和有控?cái)?shù)據(jù)計(jì)算的理論Δt值非常接近，故使用無(wú)控彈道數(shù)據(jù)計(jì)算Δt可行。當(dāng)Δt較小時(shí)，即主要修正橫偏時(shí)，Δt的理論計(jì)算誤差較大；反之，主要修正射程時(shí)，Δt的理論計(jì)算較精確。主修正方向的修正量計(jì)算比較精確，非主修正方向的計(jì)算精度較差。

表4　理論與仿真修正效果比較表Tab.4 Comparison of theoretical and numerical correction effects

由表4可知，控制力越大，對(duì)應(yīng)的彈道最大攻角越大?？刂屏?0N時(shí)，攻角較小（＜6°），提前相位角和修正量預(yù)測(cè)相對(duì)誤差均小于7%；控制力為20N時(shí)，攻角較大（＞10°），提前相位角和修正量的預(yù)測(cè)相對(duì)誤差略大于小攻角情況，但仍在10%以?xún)?nèi)。綜上所述，不同控制條件下，理論計(jì)算的提前相位角和修正量與仿真結(jié)果相比，相對(duì)誤差均在10%以?xún)?nèi)，能滿(mǎn)足使用要求。

3.3.2實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證理論計(jì)算的正確性，使用某155mm雙旋式彈道修正彈進(jìn)行程控飛行實(shí)驗(yàn)（飛行過(guò)程中在控制階段始終將舵翼控制在固定的角度），回收讀取的彈載實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較驗(yàn)證。彈體實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)包括:衛(wèi)星測(cè)得的彈丸速度和位置數(shù)據(jù)；地磁和霍爾測(cè)得的彈體和舵翼的轉(zhuǎn)速和滾轉(zhuǎn)角。

選取控制階段t1、t2（t1＜t2）兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)，分別以其對(duì)應(yīng)的彈載實(shí)測(cè)速度、位置、轉(zhuǎn)速等數(shù)據(jù)作為初始參數(shù)進(jìn)行無(wú)控彈道預(yù)測(cè)，得到對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)落點(diǎn)D1和D2.D1表示從t1時(shí)刻開(kāi)始無(wú)控飛行的彈丸落點(diǎn)；D2表示t1到t2時(shí)間段有控飛行，而t2時(shí)刻開(kāi)始無(wú)控飛行的彈丸落點(diǎn)。則D1和D2之間的距離表示t1到t2時(shí)間段控制力作用對(duì)落點(diǎn)的影響。

為使預(yù)測(cè)和理論計(jì)算更貼近實(shí)驗(yàn)，預(yù)測(cè)和理論計(jì)算均使用實(shí)驗(yàn)當(dāng)天實(shí)測(cè)的實(shí)驗(yàn)地氣象數(shù)據(jù)。并使用同種彈丸無(wú)控飛行實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)的彈道數(shù)據(jù)對(duì)計(jì)算使用的氣動(dòng)參數(shù)進(jìn)行小幅度的擬合修正，并將修正后的參數(shù)用于落點(diǎn)預(yù)測(cè)和理論修正量計(jì)算。實(shí)驗(yàn)時(shí)的側(cè)向控制力大小隨馬赫數(shù)等參數(shù)不斷變化，使用該彈丸側(cè)向控制力系數(shù)（方法參考文獻(xiàn)［15］）對(duì)彈丸控制力進(jìn)行計(jì)算，理論計(jì)算時(shí)使用分段積分的方法對(duì)變化的控制力引起的落點(diǎn)變化量進(jìn)行計(jì)算。理論計(jì)算均使用無(wú)控飛行彈道數(shù)據(jù)作為輸入量。

進(jìn)行了兩發(fā)程控實(shí)驗(yàn)，根據(jù)彈上回讀數(shù)據(jù)，一發(fā)實(shí)際控制穩(wěn)定時(shí)間為80～101s，控制角度為155.0°；另一發(fā)實(shí)際控制穩(wěn)定時(shí)間為70～95s，控制角度為44.8°.分別對(duì)這兩發(fā)彈丸的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算處理，比較理論計(jì)算的提前相位角和修正量與根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的落點(diǎn)處理獲得的結(jié)果，如表5所示。

表5　理論與實(shí)驗(yàn)修正效果比較表Tab.5 Comparison of theoretical and experimental correction effects

4 結(jié)論

本文通過(guò)建立適用于雙旋彈丸的7自由度彈道模型，推導(dǎo)了控制力作用下的彈丸攻角方程，從而得到了高旋彈丸在側(cè)向控制力作用下的落點(diǎn)修正量和提前相位角的公式。研究結(jié)論如下:

1）當(dāng)參考參量Pref＜0，即控制力施力點(diǎn)在壓心之前時(shí)，落點(diǎn)偏向與控制力方向相反；當(dāng)參考參量為正，即施力點(diǎn)在壓心之后時(shí)，落點(diǎn)偏向與力的方向相同。參考參量與修正距離幾乎呈正比。在彈丸參數(shù)、控制參數(shù)已知的條件下，可根據(jù)（19）式求解出彈丸落點(diǎn)的偏移量，從而方便地預(yù)測(cè)該段控制的作用效果。

2）當(dāng)使用彈道預(yù)測(cè)方法進(jìn)行彈道修正時(shí)，已知目標(biāo)點(diǎn)與預(yù)測(cè)落點(diǎn)的偏差，可根據(jù)（19）式計(jì)算出該時(shí)段和控制力方向?qū)?yīng)的提前相位角，從而為控制指令的提出提供依據(jù)。

3）經(jīng)過(guò)7自由度彈道仿真和程控飛行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，理論計(jì)算的提前相位角和修正量與仿真、實(shí)驗(yàn)結(jié)果獲得的結(jié)果相比誤差在10%以?xún)?nèi)。誤差的主要來(lái)源有:使用攻角的均值計(jì)算整個(gè)彈丸的角運(yùn)動(dòng)影響，忽略了起控和結(jié)束控制階段彈丸角運(yùn)動(dòng)震蕩對(duì)彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)造成的影響；理論計(jì)算時(shí)使用的先驗(yàn)信息均為無(wú)控彈道的相關(guān)參數(shù)，與實(shí)際有控彈道有一定差距。

本文使用的等效控制力分析方法在計(jì)算時(shí)有一定誤差，但對(duì)于高旋彈丸側(cè)向力作用下的響應(yīng)情況，尤其是彈上計(jì)算提前相位角和控制后落點(diǎn)的變化情況有很實(shí)際的參考意義。

（References）

［1］ Grosso V A.Modular aerodynamic gyrodynamic intelligent controlled projectile and method of operating same:US，5425514［P］.1995-06-20.

［2］ Corriveau D，Berner C，F(xiàn)leck V.Trajectory correction using impulse thrusters for conventional artillery projectiles［C］∥23rd International Symposium on Ballistics Tarragona.Tarragona，Spain: IBC，2007:639-646.

［3］ Costello M F，Peterson A A.Linear theory of a dual-spinning projectile in atmospheric flight［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2000，23（5）:789-797.

［4］ Burchett B，Peterson A，Costello M F.Prediction of swerving motion of a dual-spinning projectile with lateral pulsejets in atmospheric flight［J］.Mathematical and Computer Modeling，2002，35（7/8）:821-834.

［5］ Ollerenshaw D，Costello M F.Simplified projectile swerve solution for general control inputs［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2008，31（5）:1259-1265.

［6］ Fresconi F，Plostins P.Control mechanism strategies for spin-stabilized projectiles［J］.Journal of Aerospace Engineering，2010，224（9）:979-991.

［7］ 常思江，王中原，劉鐵錚.鴨式布局雙旋彈飛行動(dòng)力學(xué)建模與仿真［J］.彈道學(xué)報(bào)，2014，26（3）:1-6. CHANG Si-jiang，WANG Zhong-yuan，LIU Tie-zheng.Modeling and simulation of flight dynamics for dual-spin stabilized projectile equipped with canards［J］.Journal of Ballistics，2014，26（3）: 1-6.（in Chinese）

［8］ 許諾，于劍橋，王亞飛，等.固定翼雙旋彈動(dòng)力學(xué)特性分析［J］.兵工學(xué)報(bào)，2015，36（4）:602-609. XU Nuo，YU Jian-qiao，WANG Ya-fei，et al.Analysis of dynamic characteristics of fixed-wing dual-spin projectiles［J］.Acta Amarmanentarii，2015，36（4）:602-609.（in Chinese）

［9］ 張蛟龍.鴨式布局雙旋彈飛行力學(xué)特性研究［D］.南京:南京理工大學(xué)，2015. ZHANG Jiao-long.Investigation on flight dynamic characteristics of dual-spin stabilized projectiles equipped with canard［D］.Nanjing:Nanjing University of Science and Technology，2015.（in Chinese）

［10］ 朱大林.雙旋彈飛行特性與制導(dǎo)控制方案研究［D］.北京:北京理工大學(xué)，2015. ZHU Da-lin.Research on flight characteristics，guidance，and control for a dual-spin projectile［D］.Bejing:Beijing Institute of Technology，2015.（in Chinese）

［11］ Gao Y，Gu L X，Pan L.Modeling and simulating dynamics of missiles with deflectable nose control［J］.Chinese Journal of Aeronautics，2009，22（5）:474-479.

［12］ 程杰，于紀(jì)言，王曉鳴，等.隔轉(zhuǎn)鴨舵式彈道修正彈氣動(dòng)力工程模型與辨識(shí)［J］.兵工學(xué)報(bào)，2014，35（10）:1542-1548. CHENG Jie，YU Ji-yan，WANG Xiao-ming，et al.Engineering modeling and identification of aerodynamics of trajectory correction projectile with decoupled canard［J］.Acta Armamentarii，2014，35（10）:1542-1548.（in Chinese）

［13］ 韓子鵬.彈箭外彈道學(xué)［M］.北京:北京理工大學(xué)出版社，2008:127-129. HAN Zi-peng.Rocket exterior ballistic［M］.Beijing:Beijing Institute of Technology Press，2008:127-129.（in Chinese）

［14］ Murphy C H.Instability of controlled projectiles in ascending or descending flight［J］.Journal of Guidance and Control，1981，4（1）:66-69.

［15］ 程杰，王曉鳴，于紀(jì)言，等.次口徑非對(duì)稱(chēng)鴨舵對(duì)修正彈氣動(dòng)特性的影響［J］.北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，35（2）:133-138. CHENG Jie，WANG Xiao-ming，YU Ji-yan，et al.Study on the effect of sub-caliber asymmetry canards on the aerodynamics of trajectory correction projectiles［J］.Transactions of Beijing Institute of Technology，2015，35（2）:133-138.（in Chinese）

Analysis on Impact Point Response of a Dual-spin Projectile with Lateral Force Based on Equivalent Force Method

WANG Yu，WANG Xiao-ming，CHENG Jie，YU Ji-yan
（Ministerial Key Laboratory of ZNDY，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，Jiangsu，China）

An equivalent force method is proposed to analyze the impact point response of a dual-spin projectile with lateral control force and calculate the correction of impact point conveniently.The influence of lateral force on the mass-center motion of projectile is separated into two parts:the direct influence arose from the control force and the indirect influence caused by the variation of angular motion related to the control force and moment.Based on the seven-degrees-of-freedom rigid-body flight-dynamicmodel，the change of angle-of-attack caused by the lateral control force can be derived，thus calculating the equivalent force and the variation of impact point.According to the theoretical analysis，the correction distance is almost in proportion to the length between the origin of control force and the mass center under the same condition.Simulations and experiments demonstrate that the errors of correction and phase angle calculated by the proposed method are less than 10%.

ordnance science and technology；dual-spin projectile；lateral force；correction quantity of impact point；lead phase angle

TJ012.3+4

A

1000-1093（2016）08-1379-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2016.08.006

2015-12-03

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11402121）

王鈺（1989—），女，博士研究生。E-mail:15250996016@163.com；王曉鳴（1962—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail:202xm@163.com