彭 揚(yáng) 鄒黎敏

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函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用

彭 揚(yáng) 鄒黎敏

（重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶萬州 404020）

在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)的單調(diào)性既簡單又重要，利用函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式是一個(gè)非常有效的方法．文章利用函數(shù)的單調(diào)性，得到了幾何-算術(shù)平均值不等式的一個(gè)新證明．教學(xué)實(shí)踐證明，通過引入這些有趣的例題，可以讓學(xué)生更好的理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用．

函數(shù)；單調(diào)性；均值不等式

在中學(xué)或是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，不等式的證明是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，利用函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式是一個(gè)非常有效的方法[1]144，但是，如何利用函數(shù)的單調(diào)性來證明題目所給的不等式，這是學(xué)生很難把握的知識(shí)點(diǎn)．本文利用函數(shù)的單調(diào)性，給出了文獻(xiàn)[2]中一個(gè)不等式的新證明，同時(shí)也得到了關(guān)于多個(gè)正數(shù)的均值不等式的一個(gè)改進(jìn)．在教學(xué)實(shí)踐中，通過這些例題的引入，可以加深學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性及其應(yīng)用的理解．

文獻(xiàn)[3]給出了不等式（1）在算子不等式中的一個(gè)應(yīng)用．作為泰勒中值定理的一個(gè)應(yīng)用，我們在文獻(xiàn)[4]中得到了不等式（1）的一個(gè)推廣：設(shè)，則

在本文中，利用函數(shù)的單調(diào)性，我們給出了不等式（1）的一個(gè)新證明．

簡單計(jì)算可知

接下來，利用函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)學(xué)歸納法，我們將不等式(1)推廣到關(guān)于多個(gè)正實(shí)數(shù)的情形．

簡單計(jì)算可知

由歸納假設(shè)可知

所以

單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)既簡單又重要的性質(zhì)，它有廣泛的應(yīng)用，如，利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較兩個(gè)表達(dá)式之間的大小；利用函數(shù)的單調(diào)性還可以證明與正整數(shù)有關(guān)的命題；利用函數(shù)的單調(diào)性可以求解方程；利用函數(shù)的單調(diào)性可以求參數(shù)的取值范圍．本文利用函數(shù)的單調(diào)性給出了均值不等式的一個(gè)新證明，同時(shí)也得到了關(guān)于多個(gè)正數(shù)的均值不等式的一個(gè)改進(jìn)，通過這種較為新穎的例題的講解，可以加深學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性及其應(yīng)用的理解．

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：上冊，第七版[M].北京：高等教育出版社，2006．

[2] Limin Zou, Youyi Jiang．Improved arithmetic-geometric mean inequality and its application [J]． Journal of Mathematical Inequalities．2015（1）：107-111．

[3] 黃介武.關(guān)于有界線性算子的幾個(gè)不等式[J].湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2014（4）：92-95．

[4] Limin Zou, Yi Huang． A refinement of the arithmetic-geometric mean inequality [J]． International Journal of Mathematical Education in Science and Technology．2015（1）：158-160．

（責(zé)任編輯：涂正文）

Monotonicity of Functions and Its Applications

PENG Yang ZOU Limin

The monotonicity of function is simple but important in higher education. It is an efficient method to prove some inequalities. By using this method, the paper proves a new evidence of arithmetic-geometric mean inequality. Through these interesting examples, students are expected to get a better understanding for the monotonicity of function and its applications.

function; monotonicity; arithmetic-geometric mean

O174

A

1009-8135（2016）03-0013-03

2016-01-05

彭 揚(yáng)（1986-），女，重慶人，重慶三峽學(xué)院助教，碩士，主要研究矩陣分析．

鄒黎敏（1984-），男，重慶人，重慶三峽學(xué)院副教授，博士，主要研究矩陣分析.