劉明，劉偉

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獨(dú)立學(xué)院n維向量空間的教學(xué)改革

劉明，劉偉

（天津師范大學(xué) 津沽學(xué)院，天津 300387）

作為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課的高等代數(shù)課程，對(duì)于獨(dú)立院校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)而言，是一門(mén)重要而又難學(xué)的課程．高等代數(shù)有著深刻的幾何背景，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，要巧妙借助向量空間的幾何背景來(lái)優(yōu)化教學(xué)．以維向量空間為例，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論理論，給出相關(guān)的教學(xué)建議，從而達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量的目的．

高等代數(shù)；維向量空間；認(rèn)知結(jié)構(gòu)；幾何直觀；獨(dú)立院校

空間解析幾何、高等代數(shù)與數(shù)學(xué)分析組成了數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的三大基礎(chǔ)課程．學(xué)好這3門(mén)課程對(duì)學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)有著重要的作用．空間解析幾何的內(nèi)容與高中學(xué)習(xí)的平面解析幾何有著緊密的聯(lián)系，是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)里最簡(jiǎn)單的課程．高等代數(shù)內(nèi)容雖然比數(shù)學(xué)分析內(nèi)容要少，但是學(xué)習(xí)起來(lái)卻不是那么容易，最主要的原因就在于高等代數(shù)的抽象性[1]．?dāng)?shù)學(xué)分析研究的內(nèi)容是學(xué)生在中學(xué)就已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)，只不過(guò)數(shù)學(xué)分析用極限的方法來(lái)研究函數(shù)，也就是數(shù)學(xué)分析是用新方法來(lái)研究具體的函數(shù)．而高等代數(shù)名約“代數(shù)”，卻與中學(xué)里的代數(shù)相去甚遠(yuǎn)，中學(xué)的代數(shù)是具體的多項(xiàng)式、分式、方程和函數(shù)等．高等代數(shù)研究的對(duì)象之一是抽象的代數(shù)系統(tǒng)[2]（向量空間、線性空間和歐式空間等）和抽象的代數(shù)運(yùn)算（線性變換等），很多學(xué)生無(wú)法適應(yīng)這一抽象的轉(zhuǎn)變，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果不佳．

其實(shí)高等代數(shù)也有很直觀的幾何背景，而如今中學(xué)課程學(xué)習(xí)的平面向量完全可以作為高等代數(shù)的向量空間、線性空間和歐式空間的直觀模型．教師如果能夠在教學(xué)中借助直觀的幾何背景來(lái)教學(xué)，就能較好地簡(jiǎn)化高等代數(shù)的教學(xué)難度．

獨(dú)立院校的學(xué)生其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要弱于普通院校的學(xué)生．因此，教學(xué)中要更多地考慮到學(xué)生的基礎(chǔ)．目前天津師范大學(xué)津沽學(xué)院數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)依然采用面向普通本科院校的北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室編著的《高等代數(shù)》[3]（以下簡(jiǎn)稱(chēng)北大版高代）作為授課教材．因此，更要結(jié)合數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)理論去設(shè)計(jì)針對(duì)獨(dú)立學(xué)院學(xué)生的教學(xué)設(shè)計(jì)．

1.1從認(rèn)知接受理論角度分析

奧蘇貝爾的認(rèn)知接受理論在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著重要的應(yīng)用．按照奧蘇貝爾的觀點(diǎn)，學(xué)習(xí)過(guò)程是在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程[4]．所以對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)于新的數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)始終是一個(gè)最關(guān)鍵的因素．學(xué)習(xí)的主要形式是有意義的接受學(xué)習(xí)，即符號(hào)代表的新知識(shí)與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的適當(dāng)知識(shí)建立非人為的、實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系[5]．因此，學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，如果能在其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到足夠的內(nèi)容去同化新的知識(shí)，那么新知識(shí)的學(xué)習(xí)就會(huì)變得容易．

1.2結(jié)合幾何直觀角度分析

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門(mén)科學(xué)[6]．幾何直觀是一種思維形式，它是人腦對(duì)客觀事物及其關(guān)系的一種直接的識(shí)別或猜想的心理狀態(tài)，借助幾何直觀可以幫助學(xué)生更好地理解抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容[7]．大學(xué)里的抽象空間，如向量空間、歐式空間和賦范空間等，均有著具體的幾何背景，這些空間的抽象過(guò)程大致如下：中學(xué)幾何中的空間是以現(xiàn)實(shí)生活中的具體空間形式為基礎(chǔ)的表征抽象，屬于上的維空間是以表征性抽象為基礎(chǔ)的原理性抽象，而一般空間是以原理性抽象或已經(jīng)建立的概念為基礎(chǔ)的理想化抽象[8]．因此，即使是抽象的空間依然具有現(xiàn)實(shí)的幾何基礎(chǔ)，所以不能忽視幾何直觀在學(xué)習(xí)這些內(nèi)容中的重要性．對(duì)于維向量空間來(lái)說(shuō)，它的幾何背景就是平面向量，也就是．尤其是對(duì)于獨(dú)立學(xué)院的學(xué)生而言，其抽象概括能力弱于普通院校的學(xué)生，更要充分借助平面向量，才能使學(xué)生更好地理解維向量空間．

對(duì)于獨(dú)立學(xué)院數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生而言，其數(shù)學(xué)歸納和抽象能力更弱一些，但是高等代數(shù)課程的課時(shí)并沒(méi)有增加，反而少于普通院校，并且采用的教材也是大多數(shù)普通院校采用的北大版高代，很容易造成高等代數(shù)難教難學(xué)的情況．因此，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要充分考慮學(xué)生的特點(diǎn)，教學(xué)過(guò)程中要重視維向量空間概念的形成過(guò)程．高等代數(shù)課程的教學(xué)任務(wù)之一就是培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力．教學(xué)中要不斷地幫助學(xué)生去體會(huì)或掌握這種從特殊的幾何和代數(shù)事實(shí)中歸納抽象出一般代數(shù)結(jié)構(gòu)的能力，那么學(xué)生在學(xué)習(xí)后續(xù)高等代數(shù)內(nèi)容（如線性空間、線性變換和歐式空間）時(shí)，就會(huì)類(lèi)比之前的學(xué)習(xí)方法，產(chǎn)生有利于學(xué)習(xí)的正遷移．同樣也為后續(xù)課程，如近世代數(shù)或泛函分析的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)．

這里給出的教學(xué)設(shè)計(jì)思路是基于奧蘇貝爾有意義學(xué)習(xí)理論，突出維向量空間概念的形成，充分借助學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的平面向量知識(shí)，再次引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)平面向量的坐標(biāo)表示和線性運(yùn)算（加法與數(shù)乘），尋找舊知識(shí)與新知識(shí)之間非人為和實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系．不但教會(huì)學(xué)生知識(shí)，更重要的是在首次學(xué)習(xí)抽象空間的過(guò)程中就開(kāi)始強(qiáng)調(diào)幾何直觀與歸納抽象方法在高等代數(shù)學(xué)習(xí)中的重要作用．

2.2教學(xué)改革建議

2.2.1概念的引入首先，讓學(xué)生回憶中學(xué)所學(xué)習(xí)的平面向量的線性運(yùn)算和坐標(biāo)表示．對(duì)于向量學(xué)生很熟悉，而對(duì)于“維”和“空間”學(xué)生比較陌生，學(xué)生可能會(huì)好奇中學(xué)學(xué)習(xí)的向量和現(xiàn)在學(xué)習(xí)的向量是否有聯(lián)系和區(qū)別．按照有意義接受學(xué)習(xí)理論，有意義學(xué)習(xí)發(fā)生需要２個(gè)條件，一個(gè)是學(xué)習(xí)者具有意義學(xué)習(xí)的心向，也就是具有將新內(nèi)容與以前學(xué)過(guò)內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)的愿望．基于此，教師應(yīng)該先帶領(lǐng)學(xué)生回顧舊的知識(shí)，并對(duì)舊知識(shí)的認(rèn)識(shí)有一定提高．教師在學(xué)生回顧平面向量知識(shí)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生歸納出平面向量的坐標(biāo)表示，實(shí)質(zhì)是引出有序數(shù)對(duì)的概念．中學(xué)雖然接觸過(guò)有序數(shù)對(duì)，但對(duì)其理解并不深刻，見(jiàn)到的有序數(shù)對(duì)多數(shù)也只是坐標(biāo)形式．同時(shí)要強(qiáng)調(diào)向量的線性運(yùn)算最終可以抽象為有序數(shù)對(duì)的線性運(yùn)算，并且這個(gè)運(yùn)算是封閉的．要幫助學(xué)生歸納出平面向量可以看作是一個(gè)由二元有序數(shù)對(duì)組成的集合，并且這個(gè)集合對(duì)于線性運(yùn)算是封閉的．

其次，引導(dǎo)學(xué)生思考：除了平面向量外，還有哪些有序數(shù)對(duì)．這個(gè)問(wèn)題的設(shè)置是為了引導(dǎo)學(xué)生從具有幾何意義的特殊有序數(shù)對(duì)過(guò)渡到一般的有序數(shù)對(duì)．以便進(jìn)一步引出維向量的概念．由于學(xué)生對(duì)于有序數(shù)對(duì)的理解多局限于二維的坐標(biāo)，在教師提出這個(gè)問(wèn)題后，學(xué)生并不一定能夠舉出相關(guān)的實(shí)例．因此，需要教師舉例，先舉學(xué)生熟悉的例子，如平面中的點(diǎn)和空間中的點(diǎn)分別可以由二元有序數(shù)對(duì)和三元有序數(shù)對(duì)來(lái)表示．進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生去體會(huì)空間中球面的方程，有了這個(gè)方程就知道了球的大小和位置．要想確定這個(gè)方程，需要知道球心和半徑，換句話說(shuō)，如果知道了球心和半徑就可以確定球的位置和大?。敲从行驍?shù)對(duì)就可以唯一確定一個(gè)圓．這樣就把有序數(shù)對(duì)推廣到了四元．之后教師繼續(xù)舉例，最后要回到之前所講的線性方程組．對(duì)于一個(gè)元方程，就可以用元有序數(shù)對(duì)來(lái)表示．

2.2.2概念的形成介紹完有序數(shù)對(duì)，再次引導(dǎo)學(xué)生和平面向量對(duì)比．平面向量可以看作是二元有序數(shù)對(duì)，因此可以將元有序數(shù)對(duì)定義為維向量，這樣就比較自然地引出了維向量的概念．為幫助學(xué)生建立維向量空間的概念，可以進(jìn)行合理的問(wèn)題設(shè)計(jì)．

高等代數(shù)里的抽象空間就是賦予了一定運(yùn)算的集合，因此，講授向量空間等概念時(shí)首先要明確集合的元素，之后就要明確集合元素間的運(yùn)算．教學(xué)時(shí)教師可以借助線性方程組這一背景幫助學(xué)生理解維向量的運(yùn)算．

通過(guò)問(wèn)題的設(shè)計(jì)，在學(xué)生原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，就自然地引出了本節(jié)課的內(nèi)容——維向量空間．

問(wèn)題的設(shè)計(jì)也遵循了維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論．如果教師不加引導(dǎo)，學(xué)生自然很難想到新舊知識(shí)之間的聯(lián)系．而通過(guò)教師的精心設(shè)計(jì)，由問(wèn)題引入，一步步地引導(dǎo)學(xué)生想到解決問(wèn)題的方法，既降低了教學(xué)難度，也使學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造的過(guò)程．

3結(jié)束語(yǔ)

該教學(xué)設(shè)計(jì)通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，取得了較好的效果．在1個(gè)課時(shí)內(nèi)，通過(guò)教師的引導(dǎo)，多數(shù)學(xué)生能參與課堂活動(dòng)中來(lái)，基本能夠完成教學(xué)任務(wù)．并且學(xué)生不僅僅只獲得了知識(shí)，同時(shí)也對(duì)高等代數(shù)課程中的重要方法有了體會(huì)，并且經(jīng)歷了探究發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)過(guò)程，即觀察——?dú)w納——抽象，有助于提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也有助于提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)．

[1] 李尚志．線性代數(shù)[M]．北京：高等教育出版社，2006

[2] 莊瓦金．高等代數(shù)研究[M]．北京：科學(xué)出版社，2014

[3] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等代數(shù)[M]．3版．北京：北京大學(xué)出版社，2003

[4] 孔凡哲，曾崢．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2009

[5] 郭玉峰，劉春艷，程國(guó)紅．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)論[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2015

[6] 史寧中，孔凡哲．關(guān)于數(shù)學(xué)的定義的一個(gè)注[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006（15）：37-38

[7] 蔣文蔚．幾何直觀思維在科學(xué)研究及數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1997，6（4）：67-71

[8] 錢(qián)佩玲．?dāng)?shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2008

Teaching reform of-dimensional vector space in independent college

LIU Ming，LIU Wei

（Jingu College，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

As a basic course in mathematics major，advanced algebra is important and difficult to learn for students of independent colleges．Advanced algebra has a profound background of geometry，teachers must rely on geometric background of vector space to optimize teaching．Taking the-dimensional vector space as example，gave some suggestions to improve teaching quality based on mathematical theory of learning theory．

advanced algebra；-dimensional vector space；cognitive structure；geometric intuition；independent college

1007-9831（2016）07-0079-04

O151.24∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.07.021

2016-04-10

劉明（1989-），男，天津人，碩士，助教，從事數(shù)學(xué)教育研究．E-mail：121816834@qq.com