王　飛， 周培桂， 馬曉艷

(1.浙江機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，杭州310053； 　2.浙江理工大學(xué)科技與藝術(shù)學(xué)院，杭州311121；3. 浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州310018)

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廣義橢圓積分的單調(diào)性和不等式

王飛1， 周培桂2， 馬曉艷3

(1.浙江機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室，杭州310053； 2.浙江理工大學(xué)科技與藝術(shù)學(xué)院，杭州311121；3. 浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州310018)

文中主要運用單調(diào)性L’Hpital法則等分析工具探討了由廣義橢圓積分所定義的組合函數(shù)的單調(diào)性，及與一些初等函數(shù)組合的單調(diào)性，并由此獲得其精確不等式.同時，推廣了廣義橢圓積分的相關(guān)已知結(jié)果，這些結(jié)果有助于廣義Gr?tzsch環(huán)函數(shù)和廣義Ramanujan模方程及其解的研究.

單調(diào)性； 廣義橢圓積分； 精確不等式； 模方程

1　引　　言

(a,n)=a(a+1)(a+2)…(a+n-1)=Γ(a+n)/Γ(a)，

(1)

給定實數(shù)a，b，c (c≠0,-1,-2,-3…)，高斯超幾何函數(shù)定義為[3-4]

(2)

(3)

(4)

其中，Ka(r)在(0,1)上單調(diào)上升，Ea(r)在(0,1)上單調(diào)下降.因廣義橢圓積分關(guān)于參數(shù)a的對稱性，本文只考慮a∈(0,1/2)的情形.特別地，當a=1/2時，K=K(r)=K1/2(r)與E=E(r)=E1/2(r)分別為第一類和第二類完全橢圓積分.

廣義橢圓積分作為最重要的特殊函數(shù)之一，不僅因為它是Gauss超幾何函數(shù)的特殊情形，而且在數(shù)論、幾何學(xué)、幾何函數(shù)論、擬共形理論及工程技術(shù)等領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用[6].另外，19世紀，Gauss，Abel 和Jacobi又對橢圓積分與橢圓函數(shù)有了重大發(fā)現(xiàn)，Legendre，Klein，Riemann也對完全橢圓積分做出了貢獻.上世紀九十年代后期以來，裘松良教授、Anderson， Vamanamurthy和Vuorinen教授從研究擬共形映射的需要出發(fā)，又系統(tǒng)深入地研究了廣義橢圓積分的新性質(zhì)，給出了許多關(guān)于廣義橢圓積分的精確界，從而掀起了國內(nèi)外數(shù)學(xué)工作者們對廣義橢圓積分的研究熱潮[7-9].

此外，在擬共形理論中，廣義橢圓積分出現(xiàn)在平面環(huán)域的模上[10-11].例如

(5)

顯然，當a=1/2時，μ(r)=μ1/2(r)為Gr?tzsch極值環(huán)B2[0,r]的模.而廣義Gr?tzsch環(huán)函數(shù)μa(r)出現(xiàn)于廣義Ramanujan模方程及其解中，對擬共形理論、特殊函數(shù)與模方程等領(lǐng)域交叉的新研究領(lǐng)域有重要的應(yīng)用價值[12-14].可見，廣義橢圓積分的研究推動數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展具有重要意義.

在本文中，作者獲得了如下主要結(jié)果.

定理1對任意的r∈(0,1)，a∈(0,1/2)，則

(i) 函數(shù)

從(0,1)到(0,2(1-a)/π)上嚴格單調(diào)下降.

(ii) 函數(shù)

從(0,1)到(a/π,2a(1-a)/sinaπ)上嚴格單調(diào)上升.

(iii) 函數(shù)

從(0,1)到(sinaπ/2,3(1-a)π/8)上嚴格單調(diào)下降.特別地，對r∈(0,1)，成立不等式

(6)

定理2對任意的r∈(0,1)，a∈(0,1/2)，則

(i) 函數(shù)

(7)

2　引　　理

在本文中，為了證明結(jié)論和引用方便，需要下面的公式和幾個引理.經(jīng)常用到以下導(dǎo)數(shù)公式

(8)

如下的引理2.1,2.2參見文獻[4]定理1.25.

引理2.1對-∞

也在(a,b)上單調(diào)上升(下降).而且，若f′/g′的單調(diào)性是嚴格的，則F和G的單調(diào)性也是嚴格的.

引理 2.2設(shè)r(n)和s(n)(n=0,1,2,…)都為實數(shù)，冪級數(shù)

接下來，引理2.3(i),(ii)參見文[5]引理5.2(1),(2)，引理2.3(iii)參見文[15]引理2.11(1)，引理2.3(iv)參見文[5]引理5.4(1).

引理2.3對任意的r∈(0,1)及a∈(0,1/2)，則

3　主要結(jié)果證明

F1(r)=f1(r)/f2(r)，f1(0)=f2(0)=0.

由此，根據(jù)式(2)、引理2.1、引理2.3(ii)便知函數(shù)F1(r)的單調(diào)性.

顯然，F(xiàn)1(1-)=0，F(xiàn)1(0+)=2(1-a)/π.

(ii) 令

f3(r)=a[Ka(r)-Ea(r)]-(1-a)[Ea(r)-r′2Ka(r)]，

f4(r)=[Ea(r)-r′2Ka(r)][Ka(r)-Ea(r)]，

則

F2(r)=f3(r)/f4(r)，f3(0)=f4(0)=0.

(9)

根據(jù)引理2.3(i)、引理2.3(iii)及引理2.3(iv)可知，函數(shù)f5(r)在(0,1)上嚴格單調(diào)下降.因此，由式(4)、式(9)、引理2.1可得F2(r)的單調(diào)性.

其次，由引理2.1、引理2.3可知，極限值

(iii)由式(1)-(4)可知

(10)

由式(2)及文[3]2.2(5)可知

故

這處傷口在右腰偏下方向，約有15公分，但傷口又被人用紅色絲線很整齊地縫了起來，如同趴了一條巨大的蜈蚣。老馬說：“這不是醫(yī)院縫的，但是縫的人顯然很細心?！碧鞖馊匀皇菬?，但秦明月徒然感到一陣寒意，他越來越感覺到這事非同小可。老馬又說：“這個傷口具體是什么原因還有待檢驗。”

(11)

利用式(10),(11)級數(shù)的展開式，可得

令c1(n)=a1(n)/b1(n)，則有

?(2n+5)(n+a)(n-a+2)-(2n+1)(n+2)2

=-2(a-1)2n-5(a-1)2+1<0.

也即c1(n)關(guān)于n∈嚴格單調(diào)下降.因此，由引理2.2知，F(xiàn)3(r)在(0,1)上也是嚴格單調(diào)下降.易得：

F3(0+)=3(1-a)π/8，F(xiàn)3(1-)=sin(aπ)/2.

定理2的證明

(i) 令g1(r)=π/2-Ea(r)，g2(r)=1-[r′2arthr]/r，則

G1(r)=g1(r)/g2(r)， g1(0)=g2(0)=0.

求導(dǎo)得

其中F3(r)由定理1.(3)定義.故由定理1(3)及引理2.1可知，G1(r)在(0,1)上嚴格單調(diào)下降.由式(3)、引理2.1、定理1(3)易得

顯然，不等式(7)成立.

(ii)對G2(r)進行求導(dǎo)得

r′G′2(r)=g3(r)=g4(r)+g5(r)，

其中

g5(r)=(1-2r2)Ka(r)K′a(r).

和

rr′2g5(r)=2(1-a)(1-2r2)g6(r)-4r2r′2Ka(r)K′a(r)，

因此，對g3(r)求導(dǎo)得

其中g(shù)7(r)=g6(r)g8(r)，g8(r)=1-2r2.

注(i)當a=1/2時，定理2(1)推廣了文[14]定理1.2(1)中關(guān)于第二類完全橢圓積分的結(jié)論，對廣義Hersch-Pfluger偏差函數(shù)的精確上界的初等估計有重要意義.

(ii)當a=1/2時，定理2(2)推廣了文[13]引理2.1(1)中關(guān)于第一類完全橢圓積分的結(jié)論，并對廣義Ramanujan模方程解的不等式的證明有重要作用.

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Monotonicity and Inequalities for The Generalized Elliptic Integrals

WANGFei1,ZHOUPei-gui2,MAXiao-yan3

(1. Mathematics Teaching and Research Section, Zhejiang Institute of Mechanical and Electrical Engineering, Hangzhou 310053, China;2. College of Science and Art, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 311121, China;3. School of Science, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

Some monotonicity properties of certain combinations of these functions defined in terms of the generalized elliptic integrals and some elementary functions are mainly obtained by monotone L’ Hpital rule, and from which some precise inequalities are obtained. Meanwhile, some known results are generalized for the generalized elliptic integrals, these results will be used to study the generalized Gr?tzsch ring function, Ramanujan’s modular equations and the solutions of them.

monotonicity; generalized elliptic integrals; precise inequalities; modular equation

2015-12-10;[修改日期] 2016-03-06

國家自然科學(xué)基金資助項目(11171307)；浙江省教育廳科研項目基金(Y201328799)；浙江機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院科研項目(A027116026)

王飛(1985-),男，碩士，講師，從事擬共形映射及特殊函數(shù)研究.Email:wf509529@163.com.

馬曉艷(1979-)，女，碩士，副教授，從事擬共形映射及特殊函數(shù)研究.Email:mxy@zstu.edu.cn

O174

C

1672-1454(2016)03-0077-06