趙海林

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230009)

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區(qū)間映射與其誘導(dǎo)函數(shù)包絡(luò)序列熵關(guān)系

趙海林

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230009)

研究了區(qū)間映射的拓?fù)湫蛄徐嘏c其誘導(dǎo)的函數(shù)包絡(luò)上的拓?fù)湫蛄徐刂g的關(guān)系.證明了區(qū)間映射誘導(dǎo)的函數(shù)包絡(luò)的拓?fù)湫蛄徐刂荒転?或+∞，并且當(dāng)區(qū)間映射的拓?fù)湫蛄徐卮笥? 時，其誘導(dǎo)的函數(shù)包絡(luò)上的拓?fù)湫蛄徐貫?∞.

區(qū)間映射； 函數(shù)包絡(luò)； 拓?fù)湫蛄徐?/p>

1　引　　言

一個自然的問題便是，對于序列熵是否有類似的結(jié)果.本文說明了對于區(qū)間映射，其函數(shù)包絡(luò) (S(X),F) 的拓?fù)湫蛄徐匾仓挥袃蓚€可能值 0 和 +∞，并且區(qū)間映射的拓?fù)湫蛄徐卮笥? 時，其誘導(dǎo)的函數(shù)包絡(luò)上的拓?fù)湫蛄徐貫?∞.

2　預(yù)備知識

下面主要介紹本文將會用到的一些相關(guān)概念和命題.首先介紹Hausdorff 度量和一致收斂度量.

定義2.1設(shè) (X,d) 是以 d 為度量的一個度量空間，X 中的集合 A1和 A2之間的Hausdorff度量定義為

設(shè) (X,d) 是緊致度量空間， f∶X→X 為連續(xù)自映射，(X,f) 是一個動力系統(tǒng).記 S(X) 為空間 X 上所有連續(xù)自映射的集合.

對任意 φ1，φ2∈S(X)，兩個連續(xù)映射 φ1，φ2之間的Hausdorff度量定義為

其中Grap(φ1)，Grap(φ2) 分別指 φ1，φ2的圖像.并且對于點 (x1,y1)，(x2,y2)∈X×X，

該 Hausdorff 度量 dH是由 dmax推導(dǎo)出來的，并應(yīng)用到連續(xù)映射的圖像上.相應(yīng)的度量空間記作 (SH(X),dH)，簡記 SH(X).

定義2.2若 (X,d) 是一個緊致度量空間，則對任意 φ1，φ2∈S(X)，兩映射 φ1，φ2之間的一致收斂度量可定義為

相應(yīng)的度量空間記作 (SU(X),dU)，簡記 SU(X)，且一致收斂度量 dU應(yīng)用到連續(xù)映射的圖像上.

其次介紹函數(shù)包絡(luò)的概念.函數(shù)包絡(luò)的概念是2007 年 Auslander，Kolyada 和 Snoha[4]引入的.

定義2.3設(shè)X是一個緊致度量空間，f是X上的一個連續(xù)自映射，對于一個動力系統(tǒng) (X,f)，定義自映射F∶S(X)→S(X)，若對任意ξ∈S(X)，F(xiàn)(ξ)=f°ξ，并且對任意n≥0，有Fn(ξ)=fn°ξ，則(X,f)稱為原系統(tǒng)，系統(tǒng) (S(X),F) 稱為原系統(tǒng) (X,f) 的一個函數(shù)包絡(luò).

該函數(shù)包絡(luò) (S(X),F) 的拓?fù)淇臻g S(X) 是由 X 的所有連續(xù)自映射構(gòu)成的，且賦予緊致開拓?fù)涞目臻g，可以被看作是賦予一致收斂度量或Hausdorff度量的一個度量空間.

記Const(X) 是由所有的常數(shù)映射constx∶X→x 構(gòu)成的集合 {constx∶x∈X}，則有以下的命題.

命題2.4[4]若緊致度量空間 X 的元素個數(shù)card(X) 不少于 2，則系統(tǒng) (S(X),F) 包含與原系統(tǒng) (X,f) 拓?fù)涔曹椀囊粋€系統(tǒng) (Const(X),F).

接下來介紹拓?fù)湫蛄徐氐亩x.按照Bowen 的定義方式來引入拓?fù)湫蛄徐?

如果任意x,y∈E?K(x≠y)，存在i∈{1,2,…,n}，使得d(fsix,fsiy)≥ε，那么E?K稱為一個 (S,n,ε,f,K)-分離集.用Srf(S,n,ε,K) 表示K相對于f的具有最多元素個數(shù)的(S,n,ε,f,K)-分離集的元素個數(shù)；

則 K 相對于 f 的沿著序列 S 拓?fù)湫蛄徐囟x為

映射 f 沿著序列 S 的拓?fù)湫蛄徐囟x為

下面介紹等度連續(xù)性和預(yù)緊性，以及與之相關(guān)的命題.

定義2.6設(shè) (X,d) 是一個緊致度量空間，D?C(X)(X 上連續(xù)函數(shù)的全體)稱為等度連續(xù)的是指對任意 ε>0，存在 δ>0，使得

|f(x)-f(y)|<ε

對任意的 x,y∈X 滿足 d(x,y)<δ 以及任意的 f∈D 成立.

D?C(X) 稱為一致有界的是指存在常數(shù)M，使得

|f(x)|≤M

對任意的 x∈X 以及 f∈D 成立.

命題 2.8[8](Ascoli-Alzela 定理)設(shè) (X,d) 是一個緊致度量空間，D?C(X)(X 上連續(xù)函數(shù)的全體)是預(yù)緊的當(dāng)且僅當(dāng) D 是等度連續(xù)且一致有界的.

3　主要結(jié)果及證明

由命題 2.4可引出原系統(tǒng) (X,f) 與其函數(shù)包絡(luò) (S(X),F) 沿著非負(fù)整數(shù)序列 S 的拓?fù)湫蛄徐刂g的聯(lián)系，于是給出以下引理.

證由命題 2.4 可得，拓?fù)涔曹椀膬蓚€系統(tǒng) (X,f) 和 (Const(X),F) 的序列熵之間的關(guān)系

并且函數(shù)包絡(luò) (S(X),F) 與其子系統(tǒng) (Const(X),F) 之間的序列熵滿足

所以

若映射F的拓?fù)湫蛄徐貫棣?，其?0<μ<+∞，則對任意σ>0且μ-σ>0，存在一個緊致子集 Kσ?S(I)，使得

接下來我們將詳細(xì)探討區(qū)間映射與其誘導(dǎo)的函數(shù)包絡(luò)之間拓?fù)湫蛄徐氐年P(guān)系，并給出下面的主要定理.

證令 I=[0,1]，K?S(I) 是緊致集.把單位區(qū)間 [0,1] 均分三等份，即

[0,1]=[0,1/3]∪[1/3,2/3]∪[2/3,1].

對任意 φ∈K，構(gòu)造映射

則 qφ∶[0,1/3]→I 為連續(xù)映射，且該映射的圖像是以 x=1/6 對稱.按照這種方式定義，從 [0,1/3] 到 [0,1] 映射的全體定義為

對任意 ψ∈K，構(gòu)造映射

則映射 gψ∶[2/3,1]→I 是連續(xù)的，且該映射的圖像是以 x=5/6 對稱.按照這種方式定義，從 [2/3,1] 到 [0,1] 映射的全體定義為

對于T1的任何給定的一個連續(xù)映射qφ和T3的任何一個給定的連續(xù)映射 gψ，我們需要構(gòu)造一個帳篷映射把連續(xù)映射 qφ和 gψ銜接起來，以便在整個單位區(qū)間 I 上能夠得到一個新的連續(xù)映射.因此，構(gòu)造的帳篷映射

可令

由 τ(x)=6(x-1/3)=qφ(1/3)=α，可得 x=1/3+α/6；由 τ(x)=6(2/3-x)=gψ(2/3)=β，可得 x=2/3-β/6，所以令

則它是從 [1/3,2/3] 到 [0,1] 的連續(xù)映射且連接了 qφ和 gψ.我們可以定義從 [1/3,2/3] 到 [0,1] 的連續(xù)映射的集合如下：

綜上所述，對任意給定的 φ,ψ∈K，定義從 [0,1] 到 [0,1] 的映射如下：

由定義知，這樣構(gòu)造的映射 fφ,ψ∶I→I 也是連續(xù)的.

圖1　　　　來自緊致集 K?S(I) 的兩條　　　　　　　　圖2　　　　來自預(yù)緊集 KK?S(I) 的四條　　　連續(xù)映射 φ 和 ψ 的圖像　　　連續(xù)的構(gòu)造映射 fφ,ψ 的圖像

對 n≥1 和 ε>0，令 E=E(S,n,ε) 是 K 的具有最多元素個數(shù)的 (S,n,ε,F,K)-分離子集，對任意 ξ∈E?K，存在一個映射 fξ∈KK，使得在區(qū)間 [0,1/6] 或 [2/3,5/6] 上至少有 ξ 的一個壓縮之后的映射.由于這兩個區(qū)間上有對應(yīng)的壓縮映射，分別為 (x,y)→(x/6,y) 和 (x,y)→(x/6+2/3,y)所以，兩個壓縮映射并不改變原映射圖像上的點的縱坐標(biāo).

接下來對 SH(I) 和 SU(I) 兩種情形分情況討論.

dH(Fsi(ξ1),Fsi(ξ2))≥ε.

從而存在 x0∈[0,1]，使得映射 Fsi(ξ1) 圖像上的點 (x0,Fsi°ξ1(x0)) 和另一條映射 Fsi(ξ2) 圖像上的任意點 (x′,Fsi°ξ2(x′)) 之間的距離

d(Fsi°ξ1(x0),Fsi°ξ2(x′))≥ε；

而當(dāng) x′?(x0-ε,x0+ε)∩[0,1] 且 x′∈[0,1] 時，自然有 d(x0,x′)≥ε.

即

接下來研究度量空間 SU(I) 的情形.

綜上所述，無論對于度量空間 SH(I) 和 SU(I)，進一步可得

依次類推，存在一個預(yù)緊集 K(n+1)?S(I)，使得

4　結(jié)　　論

[1]Adler R L, Konheim A G and McAndrew MH. Topological entropy[J]. Trans. Amer. Math. Soc., 1965, 114: 309-319.

[2]Bowen R. Entropy for group endomorphisms and homogeneous space[J]. Trans. Amer. Math. Soc., 1971, 153: 401-414.

[3]Goodman T N T. Topological sequence entropy[J]. Proc. London Math. Soc., 1974, 29: 331-350.

[4]Auslander J, Kolyada S and Snoha L. Functional envelope of a dynamical system[J]. Nonlinearity, 2007, 20(9): 2245-2269.

[5]Matviichuk M. Entropy of induced maps for one dimensional dynamics[J]. Grazer Math. Ber. In: A.N. Sharkovsky, I. M. Sushko (Eds.) Proc. ECIT ’, 2009，354(8)：180-185.

[6]Matviichuk M. On the dynamics of subcontinua of a tree[J]. Journal of Difference Equations and Applications, 2011，17(11): 1-11.

[7]Kolyada S and Semikina J. On topological entropy: When positivity implies +infinity[J]. Proceedings of the American mathematical society, 2014,30(2): 1-14.

[8]Yosida K. Functional Analysis[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1980.

The Relation of Sequence Entropy Between Interval Map and its Function Envelope Induced

ZHAOHai-lin

(Department of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

We mainly study the relationship of the topological sequence entropy between the interval map and its function envelope. We prove that the topological sequence entropy of the function envelope induced by interval map is either zero or infinite, and when the topological sequence entropy of the interval map is greater than zero, the topological sequence entropy of the function envelope induced by interval map is infinite.

the interval map; function envelope; topological sequence entropy

2015-12-02；[修改日期] 2016-03-08

國家自然基金(11001071,11171320)及中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(2015HGZX0017)

趙海林(1987-),男，合肥工業(yè)大學(xué)碩士研究生，從事動力系統(tǒng)研究. Email: hlzhao1017@163.com

O189.11

A

1672-1454(2016)03-0024-03